8.已知关于$x$的方程$x^2 + 2x + a - 2 = 0$。
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数$a$的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求$a$的值及该方程的另一个实数根。

解:(1)$\because \Delta=4-4(a-2)=12-4a＞0$，
$\therefore a＜3$,即实数 $a$ 的取值范围是 $a＜3$。
(2)$a$ 的值是$-1$,该方程的另一个根为$-3$。

【分析】
(1) 对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，根的个数由判别式$\Delta=B^2-4AC$决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题先确定方程各项系数，代入判别式公式得到关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
(2) 有两种解题思路：一是将已知根$x=1$代入原方程，先求出$a$的值，再代回原方程求解另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系，直接通过两根和、两根积的公式计算$a$的值和另一个根，两种方法均符合课标要求。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 2x + a - 2 = 0$中，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$a-2$，
则判别式$\Delta = 2^2 - 4×1×(a-2) = 4 - 4(a-2) = 12 - 4a$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$12-4a＞0$，
解得$a＜3$。
(2) 设方程的另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之和为$1+x_2 = -\frac{2}{1} = -2$，解得$x_2=-3$；
两根之积为$1× (-3) = \frac{a-2}{1}$，即$-3=a-2$，解得$a=-1$。
（或代入法：将$x=1$代入原方程得$1+2+a-2=0$，解得$a=-1$，代回原方程得$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x-1)(x+3)=0$，另一个根为$-3$）
【答案】
(1) $a＜3$；
(2) $a$的值是$-1$，该方程的另一个实数根为$-3$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考察题，核心考查根的判别式、根与系数关系的应用，解题思路清晰，掌握相关基础公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9.若一元二次方程$x^2 + 3x -1=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值为（）。

A.$\frac{3}{2}$
B.$-3$
C.$3$
D.$-\frac{3}{2}$

C

【分析】
要求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值，首先可先对该分式通分化简，得到它与两根之和、两根之积的关系；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接从方程系数求出两根之和与两根之积，最后代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简所求代数式：
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
2. 利用韦达定理求两根和、两根积：
已知一元二次方程$x^2 + 3x -1=0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=-1$，根据根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$
3. 代入计算：
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-1$代入$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$得：$\frac{-3}{-1}=3$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是先将目标代数式变形为用两根和、两根积表示的形式，再代入系数计算，熟练掌握韦达定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

10.若关于x的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，且$x_1=3x_2$，则m的值为（）。

A.4
B.8
C.12
D.16

C

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先，题目给出含参数的一元二次方程，且已知两个实数根的倍数关系，优先考虑用韦达定理（根与系数的关系）求解，无需直接解方程。第一步先根据方程系数求出两根之和的表达式，再结合已知的$x_1=3x_2$，联立求出两个根的具体值，最后通过两根之积与系数的关系求出m的值，可结合根的判别式验证结果是否符合“有两个实数根”的前提。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1 + x_2 = 8$得：
$3x_2 + x_2 = 8$，即$4x_2=8$，解得$x_2=2$。
则$x_1=3x_2=3×2=6$。
因此$m=x_1x_2=6×2=12$。
验证：此时方程的判别式$\Delta=(-8)^2 -4×1×12=16＞0$，符合方程有两个实数根的条件。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，结合题干给出的两根数量关系联立求解即可，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

11.在解一元二次方程$x^2+bx+c=0$时，小明看错了一次项系数$b$，得到的解为$x_1=-1,x_2=3$，小刚看错了常数项$c$，得到的解为$x_1=2,x_2=5$，则正确的一元二次方程为________。

$x^2-7x-3=0$

【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 先明确对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之积等于常数项$c$，两根之和等于一次项系数的相反数，即$x_1+x_2=-b$；2. 小明仅看错一次项系数$b$，说明他使用的常数项$c$是正确的，因此用小明得到的两根计算乘积即可得到正确的$c$值；3. 小刚仅看错常数项$c$，说明他使用的一次项系数$b$是正确的，因此用小刚得到的两根计算和即可求出正确的$b$值；4. 将求得的正确$b$、$c$代入原方程即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-b$，$x_1· x_2=c$。
1. 求正确的常数项$c$：
小明看错了一次项系数$b$，常数项$c$未看错，因此他得到的两根$x_1=-1$、$x_2=3$的乘积就是正确的$c$值：
$c = x_1· x_2 = (-1)×3 = -3$
2. 求正确的一次项系数$b$：
小刚看错了常数项$c$，一次项系数$b$未看错，因此他得到的两根$x_1=2$、$x_2=5$的和对应正确的$-b$值：
$x_1+x_2 = 2+5 =7 = -b$，解得$b=-7$
3. 写出正确的一元二次方程：
将$b=-7$、$c=-3$代入$x^2+bx+c=0$，得$x^2-7x-3=0$。
【答案】
$x^2-7x-3=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的解的含义
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题的核心是抓住“看错某一项时其余项系数正确”这一关键点，结合韦达定理分别求出正确系数即可，解题时要注意一次项系数的符号不要出错。
【难度系数】
0.7

12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$的一个实数根$x_1$是另一个实数根$x_2$的2倍，则$x_1=$，$x_2=$。

2 1

【分析】
本题已知一元二次方程两根的倍数关系，求两根具体值，优先采用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：首先根据方程确定二次项系数a和一次项系数b，算出两根之和，再结合$x_1=2x_2$的数量关系代入计算即可，无需求解未知常数项c，可简化计算步骤。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，
根据根与系数的关系，两根之和为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1}=3$
由题意知$x_1=2x_2$，代入上式得：
$2x_2 + x_2 = 3$
合并同类项得$3x_2=3$，解得$x_2=1$，
则$x_1=2x_2=2×1=2$。
【答案】
2；1
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代入法求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握两根之和与方程系数的对应关系，结合题干给出的两根数量关系即可快速求解，整体计算量小。
【难度系数】
0.85

13.已知关于$x$的方程$x^2 + kx -1=0$。
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，并且$x_1 + x_2 = x_1x_2$，求$k$的值。

(1)证明:$\because \Delta=k^2+4＞0$,$\therefore$该方程有两个不相等的实数根。
(2)解:$\because x_1+x_2=-k,x_1x_2=-1,x_1+x_2=x_1x_2$,$\therefore -k=-1$,$\therefore k=1$。

【分析】
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心思路是验证根的判别式Δ＞0。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac计算，再结合平方的非负性判断Δ的符号，即可完成证明。
（2）已知两根之和等于两根之积的等量关系，可直接利用一元二次方程根与系数的关系，分别写出两根和、两根积关于k的表达式，代入已知等量关系得到关于k的方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2 + kx -1=0$中，$a=1$，$b=k$，$c=-1$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$，
∵$k^2≥0$，
∴$k^2 + 4 ＞ 0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -k$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -1$，
∵$x_1 + x_2 = x_1x_2$，
∴$-k = -1$，
解得$k=1$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$k=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题，主要考查根的判别式和根与系数关系的直接应用，只要牢记相关知识点的内容就能顺利解题，是该模块必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

14.先阅读下面第(1)题的解答过程,再解第(2)(3)题。
(1)已知实数$m,n$满足$m^2=1−m,n^2=1−n$,且$m≠n(m,n≠0)$,求$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$的值。
解:由已知得$m^2+m−1=0,n^2+n−1=0$,且$m≠n$,故$m,n$是方程$x^2+x−1=0$的两个不相等的实数根。由根与系数的关系得$m+n=−1,mn=−1$。
$\therefore \frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{(m+n)^2−2mn}{mn}=\frac{(−1)^2−2×(−1)}{−1}=−3$。
(2)已知$a^2=5a−2$,且$a,b(a,b≠0)$为实数。
①若$b^2=5b−2$,且$a≠b$,则$a+b=$,$ab=$;
②若$2b^2=5b−1$,且$ab≠1$,则$a+\frac{1}{b}=$。
(3)已知实数$s,t(s≠t)$分别满足$s^2−s−3=0,t^2−t−3=0$,求$\frac{s}{t}+\frac{t}{s}$的值。

解:(2)①5 2
②5 提示:$\because 2b^2=5b-1$,
$\therefore 2=5×\frac{1}{b}-(\frac{1}{b})^2$,即$(\frac{1}{b})^2-5×\frac{1}{b}+2=0$。
$\because a^2=5a-2$,即$a^2-5a+2=0$,
$\therefore a$与$\frac{1}{b}$是方程$x^2-5x+2=0$的两个实数根,
$\therefore a+\frac{1}{b}=5$。
(3)$\because$ 实数 $s,t$ 满足 $s^2-s-3=0,t^2-t-3=0$,
$\therefore s$ 与 $t$ 是方程 $x^2-x-3=0$ 的两个实数根,
则 $s+t=1,st=-3$。
$\therefore \frac{s}{t}+\frac{t}{s}=\frac{s^2+t^2}{st}=\frac{(s+t)^2-2st}{st}=\frac{1-2×(-3)}{-3}=-\frac{7}{3}$。

【分析】
本题属于阅读理解型迁移题，核心运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解：
1. 解(2)①时，先将a、b满足的等式整理为同结构的一元二次方程形式，结合a≠b的条件，可知a、b是该方程的两个不等实根，直接用韦达定理即可求出a+b和ab的值；
2. 解(2)②时，对b满足的等式两边同时除以b²（已知b≠0），变形得到$\frac{1}{b}$满足的方程，和a满足的方程结构完全一致，结合ab≠1可得$a≠\frac{1}{b}$，因此a和$\frac{1}{b}$是对应方程的两个不等实根，用韦达定理即可求出$a+\frac{1}{b}$的值；
3. 解(3)时，同理判断s、t是方程$x^2-x-3=0$的两个不等实根，先求出s+t和st的值，再将所求代数式通分变形为含s+t、st的形式，代入计算即可。
【解析】
(2)① 由已知得$a^2-5a+2=0$，$b^2-5b+2=0$，且$a≠b$，因此a、b是方程$x^2-5x+2=0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得：$a+b=5$，$ab=2$。
② 已知$2b^2=5b-1$，且$b≠0$，等式两边同时除以$b^2$得：$2=5·\frac{1}{b}-(\frac{1}{b})^2$，整理得$(\frac{1}{b})^2-5·\frac{1}{b}+2=0$；又$a^2=5a-2$即$a^2-5a+2=0$，且$ab≠1$即$a≠\frac{1}{b}$，因此a与$\frac{1}{b}$是方程$x^2-5x+2=0$的两个实数根，根据根与系数的关系得$a+\frac{1}{b}=5$。
(3) 已知实数s、t满足$s^2-s-3=0$，$t^2-t-3=0$，且$s≠t$，因此s、t是方程$x^2-x-3=0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得：$s+t=1$，$st=-3$。
∴ $\frac{s}{t}+\frac{t}{s}=\frac{s^2+t^2}{st}=\frac{(s+t)^2-2st}{st}=\frac{1^2-2×(-3)}{-3}=\frac{1+6}{-3}=-\frac{7}{3}$。
【答案】
(2)①$\boxed{5}$，$\boxed{2}$；②$\boxed{5}$；(3)$\boxed{-\dfrac{7}{3}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式恒等变形
3. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题侧重对方法迁移能力的考查，需要先读懂例题的解题逻辑，掌握“将满足同结构等式的两个数看作对应一元二次方程两根”的构造思路，解题时要注意隐含条件（未知数不为0、两根不相等）的验证，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.6