登录
例1 已知关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$有实数根，则实数m的取值范围是（
A.$m＜\frac{5}{4}$
B.$m≥\frac{5}{4}$
C.$m＞\frac{5}{4}$
D.$m≤\frac{5}{4}$
D
）。A.$m＜\frac{5}{4}$
B.$m≥\frac{5}{4}$
C.$m＞\frac{5}{4}$
D.$m≤\frac{5}{4}$
答案
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$有实数根，
∴$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(m + 1) = 5 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{5}{4}$。
∴实数$m$的取值范围是$m ≤ \frac{5}{4}$。故选 D。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$时，方程有实数根。我们首先从给定方程中找出对应系数$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$m$的不等式，再解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$有实数根，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=m+1$，
代入得：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(m + 1) = 9 - 4m - 4 = 5 - 4m ≥ 0$，
解不等式可得$m ≤ \frac{5}{4}$。
因此实数$m$的取值范围是$m ≤ \frac{5}{4}$，故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意“有实数根”对应的是判别式大于等于0，不要遗漏等号的情况，解不等式移项时要注意符号变化规则。
【难度系数】0.8
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$时，方程有实数根。我们首先从给定方程中找出对应系数$a、b、c$的值，代入判别式列出关于$m$的不等式，再解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$有实数根，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=m+1$，
代入得：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(m + 1) = 9 - 4m - 4 = 5 - 4m ≥ 0$，
解不等式可得$m ≤ \frac{5}{4}$。
因此实数$m$的取值范围是$m ≤ \frac{5}{4}$，故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意“有实数根”对应的是判别式大于等于0，不要遗漏等号的情况，解不等式移项时要注意符号变化规则。
【难度系数】0.8
例2 已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m + 1)(n + 1)=$
2027
。答案
∵m,n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，
∴$m + n = 2025$，$mn = 1$.
∴$(m + 1)(n + 1) = mm + m + n + 1 = 1 + 2025 + 1 = 2027$.故答案为2027.
解析
【分析】
拿到本题首先观察已知条件，m、n是一元二次方程的两个根，首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值。再看所求代数式$(m+1)(n+1)$，先根据多项式乘多项式法则将其展开，展开后的式子刚好包含$m+n$和$mn$，代入已求出的数值计算即可得到结果。
【解析】
∵m,n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，
∴根据韦达定理可得：$m + n = 2025$，$mn = 1$。
将所求代数式展开：$(m + 1)(n + 1) = mn + m + n + 1$，
把$m + n = 2025$，$mn = 1$代入上式：
原式$= 1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用韦达定理快速得到两根和与两根积，再结合整式乘法展开所求式子代入求值，计算难度低，掌握相关基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察已知条件，m、n是一元二次方程的两个根，首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值。再看所求代数式$(m+1)(n+1)$，先根据多项式乘多项式法则将其展开，展开后的式子刚好包含$m+n$和$mn$，代入已求出的数值计算即可得到结果。
【解析】
∵m,n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，
∴根据韦达定理可得：$m + n = 2025$，$mn = 1$。
将所求代数式展开：$(m + 1)(n + 1) = mn + m + n + 1$，
把$m + n = 2025$，$mn = 1$代入上式：
原式$= 1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用韦达定理快速得到两根和与两根积，再结合整式乘法展开所求式子代入求值，计算难度低，掌握相关基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 4x - m = 0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是________.
答案
m＞−4
解析
【分析】
要解决这个问题，首先联想到一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先确定题目所给方程的各项系数$a、b、c$，再根据上述关系列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
在一元二次方程$x^2 + 4x - m = 0$中，$a=1$，$b=4$，$c=-m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$4^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
计算化简：
$16 + 4m ＞ 0$
移项得：
$4m ＞ -16$
两边同时除以4，解得：
$m ＞ -4$
【答案】
$m＞−4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要熟记判别式与方程根的个数的对应关系，准确代入系数计算、正确解不等式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先联想到一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先确定题目所给方程的各项系数$a、b、c$，再根据上述关系列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
在一元二次方程$x^2 + 4x - m = 0$中，$a=1$，$b=4$，$c=-m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$4^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
计算化简：
$16 + 4m ＞ 0$
移项得：
$4m ＞ -16$
两边同时除以4，解得：
$m ＞ -4$
【答案】
$m＞−4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要熟记判别式与方程根的个数的对应关系，准确代入系数计算、正确解不等式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为________.
答案
10
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，利用方程根的定义，因为α是方程的根，所以满足方程表达式，可将式子中的二次项2α²转化为含α的一次式，实现降次化简；第二步，化简后所求式子会出现两根和α+β的结构，此时利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和；第三步，将两根和整体代入化简后的式子计算即可得到结果，无需单独求解α、β的具体值。
【解析】
1. 由α是方程$2x^2 -6x -1=0$的根，将$x=α$代入方程得：
$2α^2 -6α -1=0$，整理可得$2α^2=6α+1$。
2. 将$2α^2=6α+1$代入所求代数式$2α^2 -3α +3β$中化简：
$\begin{aligned}原式&=6α+1 -3α +3β\\&=3α+3β +1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
3. 根据韦达定理，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$。
4. 将$α+β=3$代入化简后的式子计算：
$原式=3×3 +1=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考典型题型，解题核心是通过根的定义降次，结合韦达定理整体代入求值，规避了直接求解根的复杂运算，考查了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，利用方程根的定义，因为α是方程的根，所以满足方程表达式，可将式子中的二次项2α²转化为含α的一次式，实现降次化简；第二步，化简后所求式子会出现两根和α+β的结构，此时利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和；第三步，将两根和整体代入化简后的式子计算即可得到结果，无需单独求解α、β的具体值。
【解析】
1. 由α是方程$2x^2 -6x -1=0$的根，将$x=α$代入方程得：
$2α^2 -6α -1=0$，整理可得$2α^2=6α+1$。
2. 将$2α^2=6α+1$代入所求代数式$2α^2 -3α +3β$中化简：
$\begin{aligned}原式&=6α+1 -3α +3β\\&=3α+3β +1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
3. 根据韦达定理，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$。
4. 将$α+β=3$代入化简后的式子计算：
$原式=3×3 +1=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考典型题型，解题核心是通过根的定义降次，结合韦达定理整体代入求值，规避了直接求解根的复杂运算，考查了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
