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例3 如图1，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地.设矩形的宽为x m，根据题意可列方程(
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
A
).A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
答案
∵围栏的长度为24 m，矩形的宽为x m，
∴矩形的长为$(24-2x)$m. 根据题意得$x(24-2x)=40$. 故选A.
解析
【分析】
解题时首先明确围栏的围建规则：矩形一边靠墙无需围栏，围栏仅围剩下的3条边。已知设垂直于墙的矩形宽为x m，那么两条宽的总长度为2x m；围栏总长24m，因此平行于墙的矩形长为(24-2x)m。再根据矩形面积=长×宽，已知面积为40m²，将长和宽代入面积公式即可列出对应的方程，匹配选项得到答案。
【解析】
已知围栏总长度为24 m，矩形垂直于墙的宽为x m，因此两条宽的总长度为2x m，可得平行于墙的矩形长为$(24-2x)$m。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知场地面积为40 m²，代入得方程：
$x(24-2x)=40$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是靠墙围矩形的典型基础应用题，解题核心是注意靠墙一侧不需要围栏，准确表示出矩形的长和宽，再结合面积公式列方程即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确围栏的围建规则：矩形一边靠墙无需围栏，围栏仅围剩下的3条边。已知设垂直于墙的矩形宽为x m，那么两条宽的总长度为2x m；围栏总长24m，因此平行于墙的矩形长为(24-2x)m。再根据矩形面积=长×宽，已知面积为40m²，将长和宽代入面积公式即可列出对应的方程，匹配选项得到答案。
【解析】
已知围栏总长度为24 m，矩形垂直于墙的宽为x m，因此两条宽的总长度为2x m，可得平行于墙的矩形长为$(24-2x)$m。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知场地面积为40 m²，代入得方程：
$x(24-2x)=40$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是靠墙围矩形的典型基础应用题，解题核心是注意靠墙一侧不需要围栏，准确表示出矩形的长和宽，再结合面积公式列方程即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解析 ∵围栏的长度为24 m，矩形的宽为x m，∴矩形的长为$(24-2x)$m. 根据题意得$x(24-2x)=40$. 故选A.
答案
解析
【分析】
要解决这道列方程的实际问题，首先需要结合围栏的使用场景推导矩形的长：首先围栏总长24m，宽设为x m，从长的表达式可知围栏仅围了2条宽和1条长（另一条长无需围栏，如靠墙），因此先根据总围栏长度求出长的表达式，再利用矩形面积公式即可列出对应方程，匹配正确选项。
【解析】
由题意可知，围栏共围矩形的2条宽和1条长：
1. 已知宽为x m，因此2条宽的总长度为2x m；
2. 围栏总长24m，因此矩形的长为$(24-2x)$m；
3. 根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为40$\mathrm{m}^2$，代入得：
$x(24-2x)=40$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题的核心是结合实际场景正确表示出矩形的边长，再代入对应面积公式列方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程的实际问题，首先需要结合围栏的使用场景推导矩形的长：首先围栏总长24m，宽设为x m，从长的表达式可知围栏仅围了2条宽和1条长（另一条长无需围栏，如靠墙），因此先根据总围栏长度求出长的表达式，再利用矩形面积公式即可列出对应方程，匹配正确选项。
【解析】
由题意可知，围栏共围矩形的2条宽和1条长：
1. 已知宽为x m，因此2条宽的总长度为2x m；
2. 围栏总长24m，因此矩形的长为$(24-2x)$m；
3. 根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为40$\mathrm{m}^2$，代入得：
$x(24-2x)=40$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题的核心是结合实际场景正确表示出矩形的边长，再代入对应面积公式列方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
例4 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由1月份的8 000辆增加到3月份的12 000辆，设该汽车1月至3月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为(
A. $8000(1+2x)=12000$
B. $8000(1+x)^2=12000$
C. $8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D. $8000×2(1+x)=12000$
解析 由题意可得，$8000(1+x)^2=12000$.故选B.
B
).A. $8000(1+2x)=12000$
B. $8000(1+x)^2=12000$
C. $8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D. $8000×2(1+x)=12000$
解析 由题意可得，$8000(1+x)^2=12000$.故选B.
答案
由题意可得，$8000(1+x)^2=12000$.故选B.
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的已知量和数量关系：已知1月份销量为8000辆，月平均增长率为x，3月份销量为12000辆，1月到3月共经历2次增长。回忆增长率问题的基本模型：初始量为a，每期平均增长率为x，经过n期后的终值为$a(1+x)^n$。本题中初始量a=8000，增长次数n=2，终值为3月份的12000辆，代入模型即可列出对应方程，同时可快速排除干扰项：A误将两次增长的总增长率算作2x，C是1到3月的销量总和，不符合“3月份销量为12000辆”的条件，D无实际意义，均可排除。
【解析】
解：1月份销售量为8000辆，平均每月增长率为x。
则2月份销售量为：$8000(1+x)$辆；
3月份销售量为2月份销售量再增长x，即：$8000(1+x) × (1+x) = 8000(1+x)^2$辆。
已知3月份销售量为12000辆，因此可列方程：
$8000(1+x)^2 = 12000$
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类典型应用题，核心是掌握连续增长的数量关系，解题时要注意明确所求的是增长后某一期的数值还是多期累计的数值，避免混淆概念选错干扰项。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目中的已知量和数量关系：已知1月份销量为8000辆，月平均增长率为x，3月份销量为12000辆，1月到3月共经历2次增长。回忆增长率问题的基本模型：初始量为a，每期平均增长率为x，经过n期后的终值为$a(1+x)^n$。本题中初始量a=8000，增长次数n=2，终值为3月份的12000辆，代入模型即可列出对应方程，同时可快速排除干扰项：A误将两次增长的总增长率算作2x，C是1到3月的销量总和，不符合“3月份销量为12000辆”的条件，D无实际意义，均可排除。
【解析】
解：1月份销售量为8000辆，平均每月增长率为x。
则2月份销售量为：$8000(1+x)$辆；
3月份销售量为2月份销售量再增长x，即：$8000(1+x) × (1+x) = 8000(1+x)^2$辆。
已知3月份销售量为12000辆，因此可列方程：
$8000(1+x)^2 = 12000$
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类典型应用题，核心是掌握连续增长的数量关系，解题时要注意明确所求的是增长后某一期的数值还是多期累计的数值，避免混淆概念选错干扰项。
【难度系数】
0.8
如图2，某校有一块长20 m，宽14 m的矩形种植园。为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）。小路把种植园分成面积均为24 m²的9块矩形地块，请你求出小路的宽度。
答案
设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为(20−4x)m，宽为(14−4x)m的矩形，根据题意得(20−4x)(14−4x)=24×9，整理得$2x^2−17x+8=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$(不符合题意，舍去).因此，小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m
解析
【分析】
解题时可利用平移法，将9块分散的空白矩形地块拼接成一个整体大矩形，简化面积计算。首先明确：9块地块为3行3列排列，水平方向共有4条宽度为x的竖直小路（左右两侧各1条，3列地块间2条），因此拼接后大矩形的长为原种植园的长减去4x，即(20-4x)m；竖直方向共有4条宽度为x的水平小路（上下两侧各1条，3行地块间2条），因此拼接后大矩形的宽为原种植园的宽减去4x，即(14-4x)m。再根据9块地块的总面积等于拼接后大矩形的面积，即可列一元二次方程求解，最后需检验解是否符合实际意义（边长为正）。
【解析】
解：设小路的宽度为x m。
将9块矩形地块平移拼接后，所得大矩形的长为(20-4x)m，宽为(14-4x)m。
根据题意，9块地块的总面积为24×9 m²，因此列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开整理得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得：
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
检验：当$x=8$时，$20-4x=-12＜0$，$14-4x=-18＜0$，不符合实际，舍去；
当$x=\frac{1}{2}$时，矩形的长、宽均为正数，符合题意。
【答案】
$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的应用；图形面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题属于方程与几何结合的常规应用题，核心技巧是通过平移将分散的空白区域转化为整体矩形，降低计算复杂度。解题时要注意准确数出小路的数量，避免列错方程，同时不能忽略对实际问题解的合理性校验，排除不符合现实的增根。
【难度系数】
0.6
解题时可利用平移法，将9块分散的空白矩形地块拼接成一个整体大矩形，简化面积计算。首先明确：9块地块为3行3列排列，水平方向共有4条宽度为x的竖直小路（左右两侧各1条，3列地块间2条），因此拼接后大矩形的长为原种植园的长减去4x，即(20-4x)m；竖直方向共有4条宽度为x的水平小路（上下两侧各1条，3行地块间2条），因此拼接后大矩形的宽为原种植园的宽减去4x，即(14-4x)m。再根据9块地块的总面积等于拼接后大矩形的面积，即可列一元二次方程求解，最后需检验解是否符合实际意义（边长为正）。
【解析】
解：设小路的宽度为x m。
将9块矩形地块平移拼接后，所得大矩形的长为(20-4x)m，宽为(14-4x)m。
根据题意，9块地块的总面积为24×9 m²，因此列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开整理得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得：
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
检验：当$x=8$时，$20-4x=-12＜0$，$14-4x=-18＜0$，不符合实际，舍去；
当$x=\frac{1}{2}$时，矩形的长、宽均为正数，符合题意。
【答案】
$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的应用；图形面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题属于方程与几何结合的常规应用题，核心技巧是通过平移将分散的空白区域转化为整体矩形，降低计算复杂度。解题时要注意准确数出小路的数量，避免列错方程，同时不能忽略对实际问题解的合理性校验，排除不符合现实的增根。
【难度系数】
0.6
广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，7月产值增至9 100万元.设该公司6、7两个月产值的月均增长率为$x$，可列出的方程为(
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
A
).A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
答案
A
解析
【分析】
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先回忆平均增长率问题的核心等量关系：最终产值=初始产值×(1+月均增长率)^增长次数。第一步先确定初始值：5月产值2500万元为初始值；第二步确定增长次数：从5月到7月，共经历6月、7月两次增长；第三步判断增长类型：产值是增长的，所以增长率部分用加号；最后将已知的7月产值9100万元代入等量关系，即可列出方程，对比选项选出答案。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为$x$。
1. 计算6月产值：6月产值是在5月基础上增长$x$，可得6月产值为$2500(1+x)$万元；
2. 计算7月产值：7月产值是在6月基础上再增长$x$，因此7月产值为$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
3. 结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2=9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题的关键是找准初始量、最终量和增长次数，熟练掌握增长率的计算公式即可快速求解，解题时要注意区分增长和下降的符号差异，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先回忆平均增长率问题的核心等量关系：最终产值=初始产值×(1+月均增长率)^增长次数。第一步先确定初始值：5月产值2500万元为初始值；第二步确定增长次数：从5月到7月，共经历6月、7月两次增长；第三步判断增长类型：产值是增长的，所以增长率部分用加号；最后将已知的7月产值9100万元代入等量关系，即可列出方程，对比选项选出答案。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为$x$。
1. 计算6月产值：6月产值是在5月基础上增长$x$，可得6月产值为$2500(1+x)$万元；
2. 计算7月产值：7月产值是在6月基础上再增长$x$，因此7月产值为$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
3. 结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2=9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题的关键是找准初始量、最终量和增长次数，熟练掌握增长率的计算公式即可快速求解，解题时要注意区分增长和下降的符号差异，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
