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2. 如图28.1-3,在$△ ABC$中,$AB=2$,$BC=3.6$,$∠ B=60°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ ADE$,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为(
A.1.6
B.1.8
C.2
D.2.6
A
).A.1.6
B.1.8
C.2
D.2.6
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应边AB=AD，结合已知∠B=60°，可判定△ABD为等边三角形，从而求出BD的长度，最后用BC的长度减去BD的长度即可得到CD的长。
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点为D
∴由旋转的性质可得：AB=AD
又
∵∠B=60°
∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BD=AB=2
∵BC=3.6
∴CD=BC - BD=3.6 - 2=1.6
故选：A
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，能结合已知角度判定等边三角形，再通过线段和差计算得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先利用旋转的性质得到对应边AB=AD，结合已知∠B=60°，可判定△ABD为等边三角形，从而求出BD的长度，最后用BC的长度减去BD的长度即可得到CD的长。
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点为D
∴由旋转的性质可得：AB=AD
又
∵∠B=60°
∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BD=AB=2
∵BC=3.6
∴CD=BC - BD=3.6 - 2=1.6
故选：A
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，能结合已知角度判定等边三角形，再通过线段和差计算得到结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图28.1-4所示，点E是正方形ABCD内一点，把$△ BEC$绕点C旋转至$△ DFC$的位置，连接EF，则$∠ EFC$等于（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
图28.1-3
图28.1-4
B
）.A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
图28.1-3
图28.1-4
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质分析：旋转前后的两个三角形全等，可得对应边CE=CF，对应角∠BCE=∠DCF；再结合正方形内角为90°的性质，可推出∠ECF=90°，进而判断△EFC是等腰直角三角形，即可求出∠EFC的度数。
【解析】
∵△BEC绕点C旋转得到△DFC，
∴△BEC≌△DFC，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠DCF+∠ECD=∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠EFC=(180°-90°)÷2=45°。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合正方形的特征判断出等腰直角三角形，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质分析：旋转前后的两个三角形全等，可得对应边CE=CF，对应角∠BCE=∠DCF；再结合正方形内角为90°的性质，可推出∠ECF=90°，进而判断△EFC是等腰直角三角形，即可求出∠EFC的度数。
【解析】
∵△BEC绕点C旋转得到△DFC，
∴△BEC≌△DFC，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠DCF+∠ECD=∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠EFC=(180°-90°)÷2=45°。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，结合正方形的特征判断出等腰直角三角形，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图28.1-5,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-2,0)$和$(2,0)$.月牙①绕点B顺时针旋转$90°$得到月牙②,则点A的对应点$A'$的坐标为(
A.$(2,2)$
B.$(2,4)$
C.$(4,2)$
D.$(1,2)$
B
).A.$(2,2)$
B.$(2,4)$
C.$(4,2)$
D.$(1,2)$
答案
4. B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据A、B的坐标求出线段AB的长度，两点都在x轴上，横坐标差的绝对值就是AB的长；2. 依据旋转的性质，旋转后对应线段BA'和AB长度相等，且夹角等于旋转角90°；3. 结合顺时针旋转90°的方向特点，判断A'相对于B点的位置，进而计算A'的坐标。
【解析】
第一步：计算AB的长度
已知点A坐标为$(-2,0)$，点B坐标为$(2,0)$，两点均在x轴上，因此AB的长度为：$AB=|2 - (-2)|=4$。
第二步：根据旋转性质确定BA'的特征
月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、对应线段的夹角等于旋转角，因此$BA'=AB=4$，且$BA' ⊥ AB$。
第三步：计算A'的坐标
AB在x轴上，沿AB方向向左的线段顺时针旋转90°后方向为竖直向上，因此点A'在点B的正上方，横坐标与B点相同为2，纵坐标为B点纵坐标加BA'的长度，即$0+4=4$，故A'的坐标为$(2,4)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，平面直角坐标系坐标计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考查旋转性质的灵活运用，解题核心是抓住旋转前后线段长度不变、旋转角为90°的特征，结合坐标系方向判断点的位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据A、B的坐标求出线段AB的长度，两点都在x轴上，横坐标差的绝对值就是AB的长；2. 依据旋转的性质，旋转后对应线段BA'和AB长度相等，且夹角等于旋转角90°；3. 结合顺时针旋转90°的方向特点，判断A'相对于B点的位置，进而计算A'的坐标。
【解析】
第一步：计算AB的长度
已知点A坐标为$(-2,0)$，点B坐标为$(2,0)$，两点均在x轴上，因此AB的长度为：$AB=|2 - (-2)|=4$。
第二步：根据旋转性质确定BA'的特征
月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、对应线段的夹角等于旋转角，因此$BA'=AB=4$，且$BA' ⊥ AB$。
第三步：计算A'的坐标
AB在x轴上，沿AB方向向左的线段顺时针旋转90°后方向为竖直向上，因此点A'在点B的正上方，横坐标与B点相同为2，纵坐标为B点纵坐标加BA'的长度，即$0+4=4$，故A'的坐标为$(2,4)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，平面直角坐标系坐标计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考查旋转性质的灵活运用，解题核心是抓住旋转前后线段长度不变、旋转角为90°的特征，结合坐标系方向判断点的位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图28.1-6，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于
35°
。答案
5. 35°
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的相关性质：图形旋转后，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题中△OAB绕O逆时针旋转到△OCD，OB的对应边是OD，因此∠BOD就是旋转角，等于80°。观察图形可知所求∠AOD等于旋转角∠BOD减去已知的∠AOB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴旋转角∠BOD=80°，
又
∵已知∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠BOD - ∠AOB=80°-45°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
旋转的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查旋转性质的简单应用，解题的关键是准确识别旋转角，理清各个角之间的和差关系。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆旋转的相关性质：图形旋转后，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题中△OAB绕O逆时针旋转到△OCD，OB的对应边是OD，因此∠BOD就是旋转角，等于80°。观察图形可知所求∠AOD等于旋转角∠BOD减去已知的∠AOB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴旋转角∠BOD=80°，
又
∵已知∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠BOD - ∠AOB=80°-45°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
旋转的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查旋转性质的简单应用，解题的关键是准确识别旋转角，理清各个角之间的和差关系。
【难度系数】
0.85
6. 如图28.1-7，在平面直角坐标系中，$A(2,0)$，$B(0,1)$，AC由AB绕点A顺时针旋转$90°$得到，则AC所在直线的解析式是
$y=2x-4$
。答案
6. $y=2x-4$
解析
【分析】
要得到AC所在直线的解析式，需要先求出直线上两个点的坐标，已知点A的坐标，因此关键是求点C的坐标。由旋转的性质可知AB=AC，∠BAC=90°，我们可以过点C作x轴的垂线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质求出点C的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AC由AB绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠OAB + ∠CAD = 90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB + ∠OBA = 90°，
∴∠OBA=∠CAD。
在△AOB和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠CDA=90° \\∠OBA=∠CAD \\AB=AC\end{array} $
∴△AOB≌△CDA（AAS）。
已知A(2,0)，B(0,1)，则OA=2，OB=1，
∴AD=OB=1，CD=OA=2，
∴OD=OA + AD=2+1=3，即点C的坐标为(3,2)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将A(2,0)、C(3,2)代入解析式得：
$\{\begin{array}{l}2k + b = 0 \\3k + b = 2\end{array} $
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，
将$k=2$代入$2k + b = 0$，得$4 + b = 0$，解得$b=-4$，
∴直线AC的解析式为$y=2x-4$。
【答案】
$y=2x-4$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何与函数结合的典型习题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形求出未知点的坐标，再结合函数知识求解，能较好地考察学生的几何推理和函数应用能力。
【难度系数】
0.6
要得到AC所在直线的解析式，需要先求出直线上两个点的坐标，已知点A的坐标，因此关键是求点C的坐标。由旋转的性质可知AB=AC，∠BAC=90°，我们可以过点C作x轴的垂线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质求出点C的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AC由AB绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠OAB + ∠CAD = 90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB + ∠OBA = 90°，
∴∠OBA=∠CAD。
在△AOB和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠CDA=90° \\∠OBA=∠CAD \\AB=AC\end{array} $
∴△AOB≌△CDA（AAS）。
已知A(2,0)，B(0,1)，则OA=2，OB=1，
∴AD=OB=1，CD=OA=2，
∴OD=OA + AD=2+1=3，即点C的坐标为(3,2)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将A(2,0)、C(3,2)代入解析式得：
$\{\begin{array}{l}2k + b = 0 \\3k + b = 2\end{array} $
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，
将$k=2$代入$2k + b = 0$，得$4 + b = 0$，解得$b=-4$，
∴直线AC的解析式为$y=2x-4$。
【答案】
$y=2x-4$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何与函数结合的典型习题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形求出未知点的坐标，再结合函数知识求解，能较好地考察学生的几何推理和函数应用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图28.1-8,已知△ABC和△DEC都是等边三角形,D是BC延长线上一点,AD与BE相交于点P,AC与BE相交于点M.
(1)①求证:$AD=BE$;
②$∠APB=$
(2)说明:△ACD是△BCE经过怎样的旋转得到的?(请从旋转“三要素”加以说明)
(3)当△CDE绕点C沿逆时针方向旋转得到如图28.1-9所示的图形时,$∠APB$的度数会发生变化吗?请说明理由.
(1)①求证:$AD=BE$;
②$∠APB=$
$60°$
.(2)说明:△ACD是△BCE经过怎样的旋转得到的?(请从旋转“三要素”加以说明)
(3)当△CDE绕点C沿逆时针方向旋转得到如图28.1-9所示的图形时,$∠APB$的度数会发生变化吗?请说明理由.
答案
7.(1) ①$\because △ABC$ 和$△DEC$ 都是等边三角形,$\therefore AC=BC,CD=CE,∠DCE=∠BCA=60°$.
$\therefore ∠DCE+∠ACE=∠BCA+∠ACE. \therefore ∠ACD=∠BCE. \therefore △ACD≌ △BCE(SAS). \therefore AD=BE$
② $60°$
(2) $△ACD$ 是$△BCE$ 绕点 C 顺时针旋转60°得到的
(3) $∠APB$ 的度数不会发生变化. 理由如下: 由(1)得, $△ACD ≌ △BCE, \therefore ∠DAC = ∠EBC. 又\because ∠AMP=∠BMC, \therefore 180°-∠DAC-∠AMP = 180°-∠EBC-∠BMC, 即∠APB = 60°$
$\therefore ∠DCE+∠ACE=∠BCA+∠ACE. \therefore ∠ACD=∠BCE. \therefore △ACD≌ △BCE(SAS). \therefore AD=BE$
② $60°$
(2) $△ACD$ 是$△BCE$ 绕点 C 顺时针旋转60°得到的
(3) $∠APB$ 的度数不会发生变化. 理由如下: 由(1)得, $△ACD ≌ △BCE, \therefore ∠DAC = ∠EBC. 又\because ∠AMP=∠BMC, \therefore 180°-∠DAC-∠AMP = 180°-∠EBC-∠BMC, 即∠APB = 60°$
解析
【分析】
(1)①要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。已知两个等边三角形，可得两组对应边相等，通过角的和差推导两边的夹角相等，即可用SAS判定△ACD和△BCE全等，进而得到AD=BE。
②求∠APB的度数，可利用①中全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和、对顶角相等的性质，即可推导∠APB等于等边三角形的内角度数。
(2)旋转三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角，观察两个三角形的对应顶点位置，确定旋转中心，再根据对应边的夹角和位置关系确定旋转方向和角度即可。
(3)判断∠APB是否变化，依旧先证△ACD≌△BCE，得到对应角相等，再结合对顶角相等、三角形内角和推导∠APB的度数，即可判断其是否变化。
【解析】
(1)①证明：
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$CD=CE$，$∠DCE=∠BCA=60°$，
∴$∠DCE+∠ACE=∠BCA+∠ACE$，即$∠ACD=∠BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ ACD=∠ BCE\\ CD=CE\end{array} $
∴$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BE$。
②由①得$△ ACD≌△ BCE$，
∴$∠DAC=∠EBC$，
又
∵$∠AMP=∠BMC$（对顶角相等），根据三角形内角和为$180°$，可得$∠APB=∠ACB=60°$。
(2)旋转三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角，$△ ACD$是$△ BCE$绕点C顺时针旋转$60°$得到的。
(3)$∠APB$的度数不会发生变化，理由如下：
同(1)①的证明思路，可得$△ ACD≌△ BCE$，
∴$∠DAC=∠EBC$，
又
∵$∠AMP=∠BMC$（对顶角相等），
∴$180°-∠DAC-∠AMP=180°-∠EBC-∠BMC$，即$∠APB=∠ACB=60°$，因此$∠APB$的度数不变。
【答案】
(1)①证明见解析；②$\boldsymbol{60°}$
(2)$△ ACD$是$△ BCE$绕点C顺时针旋转$60°$得到的
(3)$∠APB$的度数不会发生变化，理由见解析
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题是三角形与旋转结合的常考基础综合题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，旋转类问题要抓住图形旋转前后全等这一不变量，即可快速推导边角的恒等关系。
【难度系数】
0.7
(1)①要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。已知两个等边三角形，可得两组对应边相等，通过角的和差推导两边的夹角相等，即可用SAS判定△ACD和△BCE全等，进而得到AD=BE。
②求∠APB的度数，可利用①中全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和、对顶角相等的性质，即可推导∠APB等于等边三角形的内角度数。
(2)旋转三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角，观察两个三角形的对应顶点位置，确定旋转中心，再根据对应边的夹角和位置关系确定旋转方向和角度即可。
(3)判断∠APB是否变化，依旧先证△ACD≌△BCE，得到对应角相等，再结合对顶角相等、三角形内角和推导∠APB的度数，即可判断其是否变化。
【解析】
(1)①证明：
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$CD=CE$，$∠DCE=∠BCA=60°$，
∴$∠DCE+∠ACE=∠BCA+∠ACE$，即$∠ACD=∠BCE$，
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ ACD=∠ BCE\\ CD=CE\end{array} $
∴$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BE$。
②由①得$△ ACD≌△ BCE$，
∴$∠DAC=∠EBC$，
又
∵$∠AMP=∠BMC$（对顶角相等），根据三角形内角和为$180°$，可得$∠APB=∠ACB=60°$。
(2)旋转三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角，$△ ACD$是$△ BCE$绕点C顺时针旋转$60°$得到的。
(3)$∠APB$的度数不会发生变化，理由如下：
同(1)①的证明思路，可得$△ ACD≌△ BCE$，
∴$∠DAC=∠EBC$，
又
∵$∠AMP=∠BMC$（对顶角相等），
∴$180°-∠DAC-∠AMP=180°-∠EBC-∠BMC$，即$∠APB=∠ACB=60°$，因此$∠APB$的度数不变。
【答案】
(1)①证明见解析；②$\boldsymbol{60°}$
(2)$△ ACD$是$△ BCE$绕点C顺时针旋转$60°$得到的
(3)$∠APB$的度数不会发生变化，理由见解析
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题是三角形与旋转结合的常考基础综合题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，旋转类问题要抓住图形旋转前后全等这一不变量，即可快速推导边角的恒等关系。
【难度系数】
0.7
8. 如图28.1 - 10，在△ABC和△ADE中，AB = AC，∠BAC = ∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD//BC时，∠BAE的度数是
30°或150°
。答案
8. 30°或150°
解析
【分析】
首先利用等腰三角形“等边对等角”以及三角形内角和，求出△ABC的两个底角均为70°；由于△ADE绕点A旋转，AD平行BC存在两种不同的位置情况，分别结合平行线的内错角相等的性质，得到AD与AB、AC的夹角，再结合已知∠DAE=40°，即可计算出两种情况下∠BAE的度数，避免漏解。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°
∴$∠ B = ∠ C = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 40°}{2}=70°$
分两种情况讨论：
① 当AD位于AB左侧且AD//BC时：
由两直线平行，内错角相等可得：$∠ DAB = ∠ B = 70°$
∵$∠ DAE = 40°$
∴$∠ BAE = ∠ DAB - ∠ DAE = 70° - 40° = 30°$
② 当AD位于AC右侧且AD//BC时：
由两直线平行，内错角相等可得：$∠ DAC = ∠ C = 70°$
∴$∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 70° + 40° = 110°$
∵$∠ DAE = 40°$
∴$∠ BAE = ∠ DAB + ∠ DAE = 110° + 40° = 150°$
综上，∠BAE的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于旋转背景下的角度计算问题，解题的关键是考虑到AD平行于BC的两种不同位置，避免出现漏解的情况，同时需要熟练运用等腰三角形和平行线的性质进行角度推导。
【难度系数】
0.6
首先利用等腰三角形“等边对等角”以及三角形内角和，求出△ABC的两个底角均为70°；由于△ADE绕点A旋转，AD平行BC存在两种不同的位置情况，分别结合平行线的内错角相等的性质，得到AD与AB、AC的夹角，再结合已知∠DAE=40°，即可计算出两种情况下∠BAE的度数，避免漏解。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°
∴$∠ B = ∠ C = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 40°}{2}=70°$
分两种情况讨论：
① 当AD位于AB左侧且AD//BC时：
由两直线平行，内错角相等可得：$∠ DAB = ∠ B = 70°$
∵$∠ DAE = 40°$
∴$∠ BAE = ∠ DAB - ∠ DAE = 70° - 40° = 30°$
② 当AD位于AC右侧且AD//BC时：
由两直线平行，内错角相等可得：$∠ DAC = ∠ C = 70°$
∴$∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 70° + 40° = 110°$
∵$∠ DAE = 40°$
∴$∠ BAE = ∠ DAB + ∠ DAE = 110° + 40° = 150°$
综上，∠BAE的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于旋转背景下的角度计算问题，解题的关键是考虑到AD平行于BC的两种不同位置，避免出现漏解的情况，同时需要熟练运用等腰三角形和平行线的性质进行角度推导。
【难度系数】
0.6
