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1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC。
（1）若$∠ A=60°$，则$∠ B$的度数是________，$∠ C$的度数是________；
（2）若$∠ B=35°$，则$∠ A$的度数是________，$∠ C$的度数是________。
（1）若$∠ A=60°$，则$∠ B$的度数是________，$∠ C$的度数是________；
（2）若$∠ B=35°$，则$∠ A$的度数是________，$∠ C$的度数是________。
答案
1.（1）60°;60° （2）110°;35°
解析
【分析】
首先明确等腰三角形的核心性质：等边对等角，即相等的边对应的角相等，本题中AB=AC，因此底角∠B与∠C相等，再结合三角形内角和为180°的定理，即可根据已知角的度数计算未知角。对于第（1）问，已知顶角∠A=60°，既可以用内角和平分剩余角度计算，也可通过“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”直接得出三个角均为60°；第（2）问已知底角∠B的度数，先由等边对等角得∠C的度数，再用内角和求顶角∠A即可。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C。
（1）已知∠A=60°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°
又因为∠B=∠C，所以∠B=∠C=120°÷2=60°。
（2）已知∠B=35°，由∠B=∠C可得∠C=35°，再根据三角形内角和为180°：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
（1）60°；60° （2）110°；35°
【知识点】
1.等腰三角形等边对等角 2.三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用考题，解题关键是先根据等边对等角确定两个底角相等，再结合三角形内角和计算未知角度，解题时要注意区分已知角是顶角还是底角，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9
首先明确等腰三角形的核心性质：等边对等角，即相等的边对应的角相等，本题中AB=AC，因此底角∠B与∠C相等，再结合三角形内角和为180°的定理，即可根据已知角的度数计算未知角。对于第（1）问，已知顶角∠A=60°，既可以用内角和平分剩余角度计算，也可通过“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”直接得出三个角均为60°；第（2）问已知底角∠B的度数，先由等边对等角得∠C的度数，再用内角和求顶角∠A即可。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C。
（1）已知∠A=60°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°
又因为∠B=∠C，所以∠B=∠C=120°÷2=60°。
（2）已知∠B=35°，由∠B=∠C可得∠C=35°，再根据三角形内角和为180°：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
（1）60°；60° （2）110°；35°
【知识点】
1.等腰三角形等边对等角 2.三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用考题，解题关键是先根据等边对等角确定两个底角相等，再结合三角形内角和计算未知角度，解题时要注意区分已知角是顶角还是底角，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9
2. 如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为
120°
。答案
2. 120°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由D、E是BC的三等分点可得BD=DE=EC，再结合△ADE是等边三角形的性质，可推得BD=AD、EC=AE，即△ABD和△ACE均为等腰三角形；接下来利用等边三角形的内角为60°，可求出等腰△ABD和△ACE的顶角度数，进而算出底角∠B、∠C的度数；最后利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵点D，E是BC上的三等分点，
∴BD=DE=EC，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴BD=AD，EC=AE，即△ABD、△ACE为等腰三角形，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，同理∠AEC=120°，
在等腰△ABD中，∠B=∠BAD=(180°-∠ADB)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
同理可得∠C=∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，侧重考查对等腰、等边三角形角度、边长性质的灵活运用，解题的核心是通过三等分点和等边三角形的边长关系挖掘出隐藏的等腰三角形，再逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由D、E是BC的三等分点可得BD=DE=EC，再结合△ADE是等边三角形的性质，可推得BD=AD、EC=AE，即△ABD和△ACE均为等腰三角形；接下来利用等边三角形的内角为60°，可求出等腰△ABD和△ACE的顶角度数，进而算出底角∠B、∠C的度数；最后利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵点D，E是BC上的三等分点，
∴BD=DE=EC，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴BD=AD，EC=AE，即△ABD、△ACE为等腰三角形，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，同理∠AEC=120°，
在等腰△ABD中，∠B=∠BAD=(180°-∠ADB)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
同理可得∠C=∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，侧重考查对等腰、等边三角形角度、边长性质的灵活运用，解题的核心是通过三等分点和等边三角形的边长关系挖掘出隐藏的等腰三角形，再逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
3. 等腰三角形顶角的度数比一个底角度数的2倍多$20°$，则这个底角的度数是(
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
)。A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是三角形的内角和为180°。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：先设底角的度数为未知数，再根据题目给出的顶角和底角的数量关系表示出顶角的度数，最后利用三角形内角和为180°的等量关系列方程，解方程即可得到底角的度数。
【解析】
设这个等腰三角形的底角度数为$x°$，
∵ 等腰三角形的两个底角相等，且顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，
∴ 另一个底角也为$x°$，顶角度数为$(2x+20)°$，
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + x + (2x + 20) = 180$
合并同类项得：$4x + 20 = 180$
移项计算得：$4x = 160$
解得：$x = 40$
即这个底角的度数是40°，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，主要考察基础性质的综合应用，解题关键是找准等量关系列方程求解，掌握基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是三角形的内角和为180°。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：先设底角的度数为未知数，再根据题目给出的顶角和底角的数量关系表示出顶角的度数，最后利用三角形内角和为180°的等量关系列方程，解方程即可得到底角的度数。
【解析】
设这个等腰三角形的底角度数为$x°$，
∵ 等腰三角形的两个底角相等，且顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，
∴ 另一个底角也为$x°$，顶角度数为$(2x+20)°$，
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + x + (2x + 20) = 180$
合并同类项得：$4x + 20 = 180$
移项计算得：$4x = 160$
解得：$x = 40$
即这个底角的度数是40°，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，主要考察基础性质的综合应用，解题关键是找准等量关系列方程求解，掌握基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC。求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数。
答案
4. $∠B=40°,∠C=40°,∠BAD=50°,∠CAD=50°$。
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，第一步利用等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，结合三角形内角和为180°和已知顶角∠BAC=100°，即可计算出∠B和∠C的度数；再根据AD⊥BC，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线，因此∠BAD和∠CAD均为∠BAC的一半，即可求出这两个角的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠BAC=100°
∴ △ABC为等腰三角形，$∠ B = ∠ C$（等腰三角形等边对等角）
由三角形内角和为180°得：
$∠ B = ∠ C = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$
又
∵ AD⊥BC，AB=AC
∴ AD平分$∠ BAC$（等腰三角形三线合一）
∴ $∠ BAD = ∠ CAD = \frac{∠ BAC}{2} = \frac{100°}{2} = 50°$
【答案】
$∠ B=40°,∠ C=40°,∠ BAD=50°,∠ CAD=50°$
【知识点】
等边对等角，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形的相关性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，第一步利用等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，结合三角形内角和为180°和已知顶角∠BAC=100°，即可计算出∠B和∠C的度数；再根据AD⊥BC，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线，因此∠BAD和∠CAD均为∠BAC的一半，即可求出这两个角的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠BAC=100°
∴ △ABC为等腰三角形，$∠ B = ∠ C$（等腰三角形等边对等角）
由三角形内角和为180°得：
$∠ B = ∠ C = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$
又
∵ AD⊥BC，AB=AC
∴ AD平分$∠ BAC$（等腰三角形三线合一）
∴ $∠ BAD = ∠ CAD = \frac{∠ BAC}{2} = \frac{100°}{2} = 50°$
【答案】
$∠ B=40°,∠ C=40°,∠ BAD=50°,∠ CAD=50°$
【知识点】
等边对等角，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形的相关性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 已知:如图,BE是$△ ABC$的角平分线,点D在AB上,且$DB=DE$。
（1）求证:$DE// BC$。
（2）若$∠ A=60°,∠ AED=50°$,求$∠ EBC$的大小。
（1）求证:$DE// BC$。
（2）若$∠ A=60°,∠ AED=50°$,求$∠ EBC$的大小。
答案
5.（1）因为BE是△ABC的角平分线，所以$∠DBE=∠EBC$。又因为$DB=DE$，所以$∠DEB=∠DBE$，故有$∠DEB=∠EBC$，所以$DE// BC$。
（2）因为$DE// BC$，所以$∠C=∠AED=50°$。又因为$∠A+∠ABC+∠C=180°$，所以$∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-50°=70°$。因为BE是△ABC的角平分线，所以$∠EBC=∠DBE=\frac{1}{2}∠ABC=35°$。
（2）因为$DE// BC$，所以$∠C=∠AED=50°$。又因为$∠A+∠ABC+∠C=180°$，所以$∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-50°=70°$。因为BE是△ABC的角平分线，所以$∠EBC=∠DBE=\frac{1}{2}∠ABC=35°$。
解析
【分析】
（1）要证明$DE// BC$，可通过证明内错角$∠ DEB=∠ EBC$实现：首先根据角平分线的定义可得$∠ DBE=∠ EBC$，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质，由$DB=DE$推出$∠ DEB=∠ DBE$，通过等量代换得到内错角相等，即可判定两直线平行。
（2）求$∠ EBC$的度数，可先利用平行线的性质，由$DE// BC$得到$∠ C=∠ AED$，再根据三角形内角和为$180°$计算出$∠ ABC$的度数，最后根据角平分线的定义，$∠ EBC$是$∠ ABC$的一半，即可求出结果。
【解析】
（1）证明：
$\because$BE是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ DBE=∠ EBC$。
$\because DB=DE$，
$\therefore ∠ DEB=∠ DBE$（等腰三角形等边对等角），
$\therefore ∠ DEB=∠ EBC$，
$\therefore DE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
（2）解：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-60°-50°=70°$。
$\because$BE是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$35°$
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过角的等量代换推导关系，解题时可直接将第一问的结论作为第二问的已知条件使用，梳理清楚角之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$DE// BC$，可通过证明内错角$∠ DEB=∠ EBC$实现：首先根据角平分线的定义可得$∠ DBE=∠ EBC$，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质，由$DB=DE$推出$∠ DEB=∠ DBE$，通过等量代换得到内错角相等，即可判定两直线平行。
（2）求$∠ EBC$的度数，可先利用平行线的性质，由$DE// BC$得到$∠ C=∠ AED$，再根据三角形内角和为$180°$计算出$∠ ABC$的度数，最后根据角平分线的定义，$∠ EBC$是$∠ ABC$的一半，即可求出结果。
【解析】
（1）证明：
$\because$BE是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ DBE=∠ EBC$。
$\because DB=DE$，
$\therefore ∠ DEB=∠ DBE$（等腰三角形等边对等角），
$\therefore ∠ DEB=∠ EBC$，
$\therefore DE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
（2）解：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-60°-50°=70°$。
$\because$BE是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$35°$
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过角的等量代换推导关系，解题时可直接将第一问的结论作为第二问的已知条件使用，梳理清楚角之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 已知$△ ABC$的一个外角是$140°$，且$AC=BC$，求$∠ C$的度数。
答案
6. $40°$或$100°$
解析
【分析】
首先根据AC=BC可判断△ABC为等腰三角形，其中∠A、∠B为相等的底角，∠C为顶角。题目仅给出一个外角为140°，未明确该外角对应的是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算，结合三角形内角和定理、外角性质分别求解∠C的度数，再验证结果是否合理即可。
【解析】
解：
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠A=∠B，分两种情况讨论：
① 若140°是顶角∠C的外角：
根据邻补角的性质，∠C = 180° - 140° = 40°；
② 若140°是底角∠A（或∠B）的外角：
同理可得底角∠A = 180° - 140° = 40°，
根据三角形内角和为180°，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 40° = 100°。
两种情况均符合三角形内角和规律，均成立。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略外角对应内角的两种可能性，导致漏解，计算后注意验证结果是否满足三角形的基本性质即可。
【难度系数】
0.7
首先根据AC=BC可判断△ABC为等腰三角形，其中∠A、∠B为相等的底角，∠C为顶角。题目仅给出一个外角为140°，未明确该外角对应的是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算，结合三角形内角和定理、外角性质分别求解∠C的度数，再验证结果是否合理即可。
【解析】
解：
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠A=∠B，分两种情况讨论：
① 若140°是顶角∠C的外角：
根据邻补角的性质，∠C = 180° - 140° = 40°；
② 若140°是底角∠A（或∠B）的外角：
同理可得底角∠A = 180° - 140° = 40°，
根据三角形内角和为180°，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 40° = 100°。
两种情况均符合三角形内角和规律，均成立。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略外角对应内角的两种可能性，导致漏解，计算后注意验证结果是否满足三角形的基本性质即可。
【难度系数】
0.7
