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1. 已知抛物线 $ y = x^2 -6x + m $ 与x轴有且只有一个交点，则 $ m = $
9
。答案
1. 9
2. 若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=-2,x_2=4$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的对称轴为
直线 $ x=1 $
。答案
2. 直线 $ x=1 $
3. 二次函数 $ y = ax^2 - 2ax + c(a ≠ 0) $ 的图象过点(-1,0),则关于x的方程 $ ax^2 - 2ax + c = 0 $ 的解为
$ x_1 = -1, x_2 = 3 $
.答案
3. $ x_1 = -1, x_2 = 3 $
【点拨】抛物线的对称轴为直线 $ x=-\frac{-2a}{2a}=1 $,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0),所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0).所以关于x的方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解为$x_1=-1,x_2=3$.
【点拨】抛物线的对称轴为直线 $ x=-\frac{-2a}{2a}=1 $,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0),所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0).所以关于x的方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解为$x_1=-1,x_2=3$.
4. 如图是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象，若关于x的方程 $ ax^2 + bx + c = m $ 总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是 （
A.$ m＞3 $
B.$ m＜3 $
C.$ m≥3 $
D.$ m≤3 $
A
）A.$ m＞3 $
B.$ m＜3 $
C.$ m≥3 $
D.$ m≤3 $
答案
4. A
【点拨】
当 $ m＞3 $ 时,抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 与直线 $ y=m $ 有两个交点,且一个交点的横坐标为正,另一个交点的横坐标为负.所以当关于x的方程$ax^2+bx+c=m$总有一正一负两个实数根时,m的取值范围是$m＞3$,故选A.5. 新考法 画示意图法 已知 $ m＞n＞0 $，若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x - 3 - m = 0 $ 的解为 $ x_1, x_2 (x_1 ＜ x_2) $，关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x - 3 - n = 0 $ 的解为 $ x_3, x_4 (x_3 ＜ x_4) $。
则下列结论正确的是（
A.$ x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4 $
B.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $
D.$ x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2 $
则下列结论正确的是（
B
）A.$ x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4 $
B.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $
D.$ x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2 $
答案
5. B
【点拨】关于x的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点的横坐标,关于x的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为抛物线$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点的横坐标.画示意图如图
.由图可知,$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$,故选B.6. 新考法 表格信息法 根据下列表格中的对应值，判断方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解的范围是（
A.$x＞3.26$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
C
）A.$x＞3.26$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
答案
6. C
7. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1,0), B(2,0) $.
(1) 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解为 ______;
(2) 不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集为 ______;
(3) 不等式 $ ax^2 + bx + c ≤ 0 $ 的解集为 ______.
(1) 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解为 ______;
(2) 不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集为 ______;
(3) 不等式 $ ax^2 + bx + c ≤ 0 $ 的解集为 ______.
答案
7. (1)$x_1=-1,x_2=2$ (2)$-1＜x＜2$ (3)$x≤-1$ 或 $x≥2$
8. 如图,已知二次函数 $ y_1 = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 与一次函数 $ y_2 = kx + m(k ≠ 0) $ 的图象相交于 $ A(-1,2), B(4,1) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ ax^2 + (b - k)x + c - m ＞ 0 $ 的解集为________。
答案
8. $ x＜-1 或 x＞4 $
点方法 根据两个图象交点的横坐标,再根据图象的上下关系(图象在上方即函数值较大),得出不等式的解集.如本题,观察图象可知,抛物线与直线交点的横坐标分别为-1和4,因此抛物线上、直线在下的自变量的取值范围为$x＜-1$或$x＞4$.
点方法 根据两个图象交点的横坐标,再根据图象的上下关系(图象在上方即函数值较大),得出不等式的解集.如本题,观察图象可知,抛物线与直线交点的横坐标分别为-1和4,因此抛物线上、直线在下的自变量的取值范围为$x＜-1$或$x＞4$.
9.若函数$y=(a-1)x^2 -4x +2a$的图象与x轴有且只有一个交点，则交点的坐标是
$ (\frac{1}{2},0) $或$ (-1,0) $或$ (2,0) $
。答案
9. $ (\frac{1}{2},0) $或$ (-1,0) $或$ (2,0) $
【点拨】
∵函数$y=(a-1)x^2-4x+2a$的图象与x轴有且只有一个交点，
∴分两种情况讨论：
①当函数为一次函数时，$a-1=0$，解得$a=1$.此时，函数$y=-4x+2$的图象与x轴交点的坐标为$(\frac{1}{2},0)$.
②当函数为二次函数时，对应的一元二次方程的根的判别式$16-4(a-1)×2a=0$，解得$a_1=-1,a_2=2$.
当$a=-1$时，函数$y=-2x^2-4x-2=-2(x+1)^2$的图象与x轴交点的坐标为$(-1,0)$.
当$a=2$时，函数$y=x^2-4x+4=(x-2)^2$的图象与x轴交点的坐标为$(2,0)$.
点易错 因为二次项系数含有字母，所以要分两种情况讨论：①函数是一次函数；②函数是二次函数，不能看到已知“图象与x轴有且只有一个交点”就盲目认为其所对应的一元二次方程的根的判别式为0.
【点拨】
∵函数$y=(a-1)x^2-4x+2a$的图象与x轴有且只有一个交点，
∴分两种情况讨论：
①当函数为一次函数时，$a-1=0$，解得$a=1$.此时，函数$y=-4x+2$的图象与x轴交点的坐标为$(\frac{1}{2},0)$.
②当函数为二次函数时，对应的一元二次方程的根的判别式$16-4(a-1)×2a=0$，解得$a_1=-1,a_2=2$.
当$a=-1$时，函数$y=-2x^2-4x-2=-2(x+1)^2$的图象与x轴交点的坐标为$(-1,0)$.
当$a=2$时，函数$y=x^2-4x+4=(x-2)^2$的图象与x轴交点的坐标为$(2,0)$.
点易错 因为二次项系数含有字母，所以要分两种情况讨论：①函数是一次函数；②函数是二次函数，不能看到已知“图象与x轴有且只有一个交点”就盲目认为其所对应的一元二次方程的根的判别式为0.
10. [2025德阳] 已知抛物线 $ y=ax^2+bx+c $（$ a,b,c $ 是常数，$ a＞0 $）过点$(1,0),(m,0)$，且$2＜m＜3$，该抛物线与直线 $ y=kx+c $（$ k,c $ 是常数，$ k≠0 $）相交于$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $两点（点A在点B左侧）.下列结论:①$ bc＜0 $;②$ 3a+b＞0 $;③点$ A' $是点A关于直线 $ x=-\frac{b}{2a} $的对称点,则$3＜AA'＜4$;④当$ x_2=4 $时,不等式 $ ax^2+(b-k)x＜0 $的解集为$0＜x＜4$.其中正确的结论个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10. B
【点拨】
∵抛物线过点$(1,0)$和$(m,0)(2＜m＜3)$,
∴抛物线为$y=a(x-1)(x-m)$.
∴$y=ax^2-a(1+m)x+am$.
∴$b=-a(1+m),c=am$.
∵$a＞0$且$2＜m＜3$,
∴$b＜0,c＞0$.
∴$bc＜0$,结论①正确;
∵$b=-a(1+m)$,
∴$3a+b=3a-a(1+m)=a(2-m)$.
∵$2＜m＜3$,
∴$2-m＜0$,
∴$3a+b＜0$,结论②错误;由题意,第一种情况,若$A(0,c)$,
∵对称轴为直线$x=\frac{1+m}{2}$,
∴对称点$A'$的横坐标为$2×\frac{1+m}{2}=1+m$.
∴两点间的横向距离为$1+m-0=1+m$.
∵$2＜m＜3$,
∴$3＜1+m＜4$,即$3＜AA'＜4$;第二种情况,若$B(0,c)$,则$AA'＞4$,故结论③错误;当$x_2=4$时,方程$ax^2+(b-k)x=0$的根为$x=0$和$x=4$,即$ax^2+(b-k)x=ax(x-4)$.
∵$a＞0$,
∴不等式$ax(x-4)＜0$的解集为$0＜x＜4$,结论④正确.综上,正确结论为①④,共2个,故选B.
【点拨】
∵抛物线过点$(1,0)$和$(m,0)(2＜m＜3)$,
∴抛物线为$y=a(x-1)(x-m)$.
∴$y=ax^2-a(1+m)x+am$.
∴$b=-a(1+m),c=am$.
∵$a＞0$且$2＜m＜3$,
∴$b＜0,c＞0$.
∴$bc＜0$,结论①正确;
∵$b=-a(1+m)$,
∴$3a+b=3a-a(1+m)=a(2-m)$.
∵$2＜m＜3$,
∴$2-m＜0$,
∴$3a+b＜0$,结论②错误;由题意,第一种情况,若$A(0,c)$,
∵对称轴为直线$x=\frac{1+m}{2}$,
∴对称点$A'$的横坐标为$2×\frac{1+m}{2}=1+m$.
∴两点间的横向距离为$1+m-0=1+m$.
∵$2＜m＜3$,
∴$3＜1+m＜4$,即$3＜AA'＜4$;第二种情况,若$B(0,c)$,则$AA'＞4$,故结论③错误;当$x_2=4$时,方程$ax^2+(b-k)x=0$的根为$x=0$和$x=4$,即$ax^2+(b-k)x=ax(x-4)$.
∵$a＞0$,
∴不等式$ax(x-4)＜0$的解集为$0＜x＜4$,结论④正确.综上,正确结论为①④,共2个,故选B.
11. 当$n=1,2,3,···,2\,025,2\,026$时，二次函数$y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1$的图象与$x$轴所截得的线段长度之和为________。
答案
11. $\frac{2\ 026}{2\ 027}$
【点拨】当$y=0$时,$(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1=0$,设$x_1$和$x_2$是方程$(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1=0$的两个解,$d_n$为二次函数$y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1$的图象与x轴所截得的线段长度,则$x_1+x_2=\frac{2n+1}{n^2+n},x_1·x_2=\frac{1}{n^2+n}$,则$d_n=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,$∴d_1+d_2+…+d_{2026}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{2\ 026}-\frac{1}{2\ 027})=1-\frac{1}{2\ 027}=\frac{2\ 026}{2\ 027}$.
【点拨】当$y=0$时,$(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1=0$,设$x_1$和$x_2$是方程$(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1=0$的两个解,$d_n$为二次函数$y=(n^2+n)x^2-(2n+1)x+1$的图象与x轴所截得的线段长度,则$x_1+x_2=\frac{2n+1}{n^2+n},x_1·x_2=\frac{1}{n^2+n}$,则$d_n=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,$∴d_1+d_2+…+d_{2026}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{2\ 026}-\frac{1}{2\ 027})=1-\frac{1}{2\ 027}=\frac{2\ 026}{2\ 027}$.
