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12. 如图，这是抛物线$y=ax^2+bx+3(a≠0)$的部分图象，对称轴为直线$x=1$，与$x$轴的交点为$(n,0)$，且$3＜n＜4$，则关于$x$的一元二次方程$a(x+\dfrac{3}{2})^2 + b(x+\dfrac{3}{2}) = -3$的整数解的和为________。
答案
12. $-1$
【点拨】
∵抛物线$y=ax^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$,与x轴的交点为$(n,0)$,且$3＜n＜4$,
∴设另一个交点的坐标为$(m,0)$,则$-2＜m＜-1$.将抛物线向左平移$\frac{3}{2}$个单位长度得$y=a(x+\frac{3}{2})^2+b(x+\frac{3}{2})+3$,则抛物线$y=a(x+\frac{3}{2})^2+b(x+\frac{3}{2})+3$与x轴的交点在$\frac{3}{2}$与$\frac{5}{2}$和$-\frac{7}{2}$与$-\frac{5}{2}$之间,
∴关于x的一元二次方程$a(x+\frac{3}{2})^2+b(x+\frac{3}{2})=-3$的整数解为$x_1=-3,x_2=2$,
∴整数解的和为$-3+2=-1$.
【点拨】
∵抛物线$y=ax^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$,与x轴的交点为$(n,0)$,且$3＜n＜4$,
∴设另一个交点的坐标为$(m,0)$,则$-2＜m＜-1$.将抛物线向左平移$\frac{3}{2}$个单位长度得$y=a(x+\frac{3}{2})^2+b(x+\frac{3}{2})+3$,则抛物线$y=a(x+\frac{3}{2})^2+b(x+\frac{3}{2})+3$与x轴的交点在$\frac{3}{2}$与$\frac{5}{2}$和$-\frac{7}{2}$与$-\frac{5}{2}$之间,
∴关于x的一元二次方程$a(x+\frac{3}{2})^2+b(x+\frac{3}{2})=-3$的整数解为$x_1=-3,x_2=2$,
∴整数解的和为$-3+2=-1$.
13. 已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 4 $，其中 $ m $ 为实数。
(1) 求证:该抛物线与 $ x $ 轴没有交点；
(2) 若与 $ x $ 轴平行的直线与这条抛物线相交于 $ M,N $ 两点(点 $ M $ 在点 $ N $ 的左侧),已知点 $ M $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ \frac{1}{2} $，求点 $ N $ 到 $ y $ 轴的距离；
(3) 设这条抛物线的顶点的纵坐标为 $ p $，当 $ -3 ≤ m ≤ 2 $ 时，求 $ p $ 的取值范围。
(1) 求证:该抛物线与 $ x $ 轴没有交点；
(2) 若与 $ x $ 轴平行的直线与这条抛物线相交于 $ M,N $ 两点(点 $ M $ 在点 $ N $ 的左侧),已知点 $ M $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ \frac{1}{2} $，求点 $ N $ 到 $ y $ 轴的距离；
(3) 设这条抛物线的顶点的纵坐标为 $ p $，当 $ -3 ≤ m ≤ 2 $ 时，求 $ p $ 的取值范围。
答案
13. (1)【证明】
∵$y=x^2-2x+m^2+4$,
∴$b^2-4ac=(-2)^2-4(m^2+4)=-4m^2-12＜0$,
∴该抛物线与x轴没有交点.
(2)【解】抛物线$y=x^2-2x+m^2+4$的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×1}=1$.
∵与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M,N两点(点M在点N的左侧),
∴M,N关于直线$x=1$对称.
∵点M到y轴的距离为$\frac{1}{2}$,
∴M的横坐标为$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$,
∴点N的横坐标为$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$,
∴点N到y轴的距离为$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$.
(3)【解】
∵$y=x^2-2x+m^2+4=(x-1)^2+m^2+3$,
∴抛物线顶点的纵坐标$p=m^2+3$,当$m=0$时,p的最小值为3;当$m=-3$时,$p=12$;当$m=2$时,$p=7$,
∴当$-3≤m≤2$时,p的取值范围为$3≤p≤12$.
∵$y=x^2-2x+m^2+4$,
∴$b^2-4ac=(-2)^2-4(m^2+4)=-4m^2-12＜0$,
∴该抛物线与x轴没有交点.
(2)【解】抛物线$y=x^2-2x+m^2+4$的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×1}=1$.
∵与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M,N两点(点M在点N的左侧),
∴M,N关于直线$x=1$对称.
∵点M到y轴的距离为$\frac{1}{2}$,
∴M的横坐标为$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$,
∴点N的横坐标为$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$,
∴点N到y轴的距离为$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$.
(3)【解】
∵$y=x^2-2x+m^2+4=(x-1)^2+m^2+3$,
∴抛物线顶点的纵坐标$p=m^2+3$,当$m=0$时,p的最小值为3;当$m=-3$时,$p=12$;当$m=2$时,$p=7$,
∴当$-3≤m≤2$时,p的取值范围为$3≤p≤12$.
14. 新题型 程序计算题 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入$x$的值为－2时，输出$y$的值为1；输入$x$的值为2时，输出$y$的值为3；输入$x$的值为3时，输出$y$的值为6.
(1)直接写出$k,a,b$的值.
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于$x$的函数图象，如图②.
Ⅰ.当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围为
Ⅱ.若关于$x$的方程$ax^2 + bx + 3 - t = 0$（$t$为实数），在$0 ＜ x ＜ 4$时无解，求$t$的取值范围.
Ⅲ.若在函数图象上有点$P,Q$($P$与$Q$不重合).$P$的横坐标为$m$,$Q$的横坐标为$-m + 1$.小明对$P,Q$之间(含$P,Q$两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随$m$的变化而变化时，直接写出$m$的取值范围.
(1)直接写出$k,a,b$的值.
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于$x$的函数图象，如图②.
Ⅰ.当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围为
$ x≤0 或 x≥1 $
.Ⅱ.若关于$x$的方程$ax^2 + bx + 3 - t = 0$（$t$为实数），在$0 ＜ x ＜ 4$时无解，求$t$的取值范围.
Ⅲ.若在函数图象上有点$P,Q$($P$与$Q$不重合).$P$的横坐标为$m$,$Q$的横坐标为$-m + 1$.小明对$P,Q$之间(含$P,Q$两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随$m$的变化而变化时，直接写出$m$的取值范围.
答案
14. 【解】(1)$k=1,a=1,b=-2$.
(2)Ⅰ.$x≤0$ 或 $x≥1$
【点拨】
∵$k=1,a=1,b=-2$,
∴一次函数的表达式为$y=x+3$,二次函数的表达式为$y=x^2-2x+3$.
当$x＞0$时,$y=x^2-2x+3$,其对称轴为直线$x=1$,开口向上,
∴当$x≥1$时,y随x的增大而增大;
当$x≤0$时,$y=x+3$,其中$k=1＞0$,
∴当$x≤0$时,y随x的增大而增大.
综上,当y随x的增大而增大时,x的取值范围为$x≤0$或$x≥1$.
Ⅱ.易知该问题可转化为抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=t$在$0＜x＜4$时无交点.
∵对于$y=x^2-2x+3$,当$x=1$时,$y=2$.
∴该抛物线的顶点坐标为$(1,2)$,如图
.∴当$t=2$时,抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=t$在$0＜x＜4$时正好有一个交点.
∴当$t＜2$时,抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=t$在$0＜x＜4$时没有交点.
∵当$x=4$时,$y=16-8+3=11$,
∴当$t≥11$时,抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=t$在$0＜x＜4$时没有交点.
∴当$t＜2$或$t≥11$时,抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=t$在$0＜x＜4$时没有交点,
即当$t＜2$或$t≥11$时,关于x的方程$ax^2+bx+3-t=0$(t为实数),在$0＜x＜4$时无解.
Ⅲ.$-1≤m≤0$ 或 $1≤m≤2$.
