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16 已知关于$x$的方程$x^2 + nx + m = 0$有一个根是$m(m≠0)$，则$m+n$的值为 （
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
16. A
解析
【分析】
解答本题的核心是利用一元二次方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，则将其代入方程后等式成立。解题思路为：第一步，将已知根x=m代入原方程，得到含m、n的等式；第二步，对得到的等式提取公因式变形；第三步，结合m≠0的条件，化简得到m+n的数值。
【解析】
∵ m（m≠0）是方程$x^2 + nx + m = 0$的根
∴ 将$x=m$代入原方程，可得：
$m^2 + n· m + m = 0$
对等式左边提取公因式m，得：
$m(m + n + 1) = 0$
∵ $m≠0$，因此只有$m + n + 1 = 0$才能满足乘积为0
移项得：$m + n = -1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、等式的性质
【点评】
本题是基础考查题，重点考察方程根的基本应用，只要掌握根的定义，代入后简单化简即可求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解答本题的核心是利用一元二次方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，则将其代入方程后等式成立。解题思路为：第一步，将已知根x=m代入原方程，得到含m、n的等式；第二步，对得到的等式提取公因式变形；第三步，结合m≠0的条件，化简得到m+n的数值。
【解析】
∵ m（m≠0）是方程$x^2 + nx + m = 0$的根
∴ 将$x=m$代入原方程，可得：
$m^2 + n· m + m = 0$
对等式左边提取公因式m，得：
$m(m + n + 1) = 0$
∵ $m≠0$，因此只有$m + n + 1 = 0$才能满足乘积为0
移项得：$m + n = -1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、等式的性质
【点评】
本题是基础考查题，重点考察方程根的基本应用，只要掌握根的定义，代入后简单化简即可求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
17 新情境数学文化《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短. 横放，竿比门宽长4尺；竖放，竿比门高长2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等. 门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，则下列方程符合题意的是 （
A.$(x+2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
B.$(x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
C.$x^2 + (x-2)^2 = (x-4)^2$
D.$(x-2)^2 + x^2 = (x+4)^2$
B
）A.$(x+2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
B.$(x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
C.$x^2 + (x-2)^2 = (x-4)^2$
D.$(x-2)^2 + x^2 = (x+4)^2$
答案
17. B
解析
【分析】
本题是勾股定理结合实际情境的应用题，解题思路如下：第一步，先根据题目给出的设元，用含x的式子表示出门的高和宽；第二步，明确门的高、宽与对角线恰好构成直角三角形，其中对角线为斜边；第三步，利用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知设门对角线的长为x尺，由题意得竿长等于门对角线长，即竿长为x尺：
1. 竖放时竿比门高长2尺，因此门的高度为：$x - 2$（尺）
2. 横放时竿比门宽长4尺，因此门的宽度为：$x - 4$（尺）
门为矩形，其高、宽和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$(x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的情境出题，既弘扬了传统文化，又考查了数学知识的实际应用，解题的核心是准确梳理各量之间的关系，正确表示出门的高和宽，再结合勾股定理列式，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理结合实际情境的应用题，解题思路如下：第一步，先根据题目给出的设元，用含x的式子表示出门的高和宽；第二步，明确门的高、宽与对角线恰好构成直角三角形，其中对角线为斜边；第三步，利用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知设门对角线的长为x尺，由题意得竿长等于门对角线长，即竿长为x尺：
1. 竖放时竿比门高长2尺，因此门的高度为：$x - 2$（尺）
2. 横放时竿比门宽长4尺，因此门的宽度为：$x - 4$（尺）
门为矩形，其高、宽和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$(x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的情境出题，既弘扬了传统文化，又考查了数学知识的实际应用，解题的核心是准确梳理各量之间的关系，正确表示出门的高和宽，再结合勾股定理列式，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
18 如图,在矩形 ABCD 中,$AB=8$ cm,$AD=3$ cm,动点 $P,Q$ 同时出发,点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $2$ cm/s 的速度向点 $B$ 移动,点 $Q$ 从点 $C$ 出发以 $1$ cm/s 的速度向点 $D$ 移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.若点 $P$ 和点 $Q$ 之间的距离是 $5$ cm,则 $P,Q$ 两点出发了 (
A.$4$ s
B.$\frac{4}{3}$ s 或 $4$ s
C.$\frac{8}{3}$ s 或 $8$ s
D.$\frac{8}{3}$ s
B
)A.$4$ s
B.$\frac{4}{3}$ s 或 $4$ s
C.$\frac{8}{3}$ s 或 $8$ s
D.$\frac{8}{3}$ s
答案
18. B
【解析】$8÷2=4(\mathrm{s})$。
，过点 $Q$ 作 $QE⊥ AB$ 于点 $E$，则四边形 $BCQE$ 是矩形。易得 $QE=3\ \mathrm{cm}$，$BE=CQ$。设移动时间为 $t\ \mathrm{s}(0≤ t≤4)$，则 $AP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=BE=t\ \mathrm{cm}$。$\therefore PE=|AB-AP-BE|=|8-2t-t|=|8-3t|\ \mathrm{cm}$。根据题意，得 $PE^2+EQ^2=PQ^2$，即 $(8-3t)^2+3^2=5^2$，整理，得 $3t^2-16t+16=0$，解得 $t_1=\frac{4}{3},t_2=4$。$\therefore$ 若点 $P$ 和点 $Q$ 之间的距离是 $5$ cm，则 $P,Q$ 两点出发了 $\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$ 或 $4\ \mathrm{s}$。解析
【分析】
本题是矩形中的动点距离求解问题，解题思路如下：首先先确定两点运动的最大时间：点P速度更快，走完全程AB需要$8÷2=4\mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0≤t≤4$。接下来要求PQ的长度，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，把斜线段PQ放到直角三角形中利用勾股定理计算：过Q作QE垂直AB于E，此时QE等于矩形的宽$AD=3\mathrm{cm}$，PE的长度可以用AB减去AP和BE（BE等于CQ）的绝对值表示，避免出现长度为负的情况。最后根据勾股定理列一元二次方程求解，检验解是否在$t$的取值范围内即可。
【解析】
首先计算两点运动的最长时间：点P从A到B的时间为$8÷2=4(\mathrm{s})$，因此运动时间$t$的取值范围为$0≤ t≤4$。
过点 $Q$ 作 $QE⊥ AB$ 于点 $E$，则四边形 $BCQE$ 是矩形，可得 $QE=AD=3\ \mathrm{cm}$，$BE=CQ$。
设移动时间为 $t\ \mathrm{s}$，则 $AP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=BE=t\ \mathrm{cm}$。
因此 $PE=|AB-AP-BE|=|8-2t-t|=|8-3t|\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ PEQ$中，根据勾股定理$PE^2+EQ^2=PQ^2$，已知$PQ=5\mathrm{cm}$，代入得：
$(8-3t)^2+3^2=5^2$
整理得：$3t^2-16t+16=0$
解得 $t_1=\frac{4}{3},t_2=4$，两个解均满足$0≤ t≤4$，均符合题意。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于动点与几何结合的基础综合题，核心解题方法是通过作垂线构造直角三角形，将几何距离问题转化为代数方程求解，解题时要注意先确定运动时间的取值范围，对求解出的方程根要验证是否符合实际运动情况，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.6
本题是矩形中的动点距离求解问题，解题思路如下：首先先确定两点运动的最大时间：点P速度更快，走完全程AB需要$8÷2=4\mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0≤t≤4$。接下来要求PQ的长度，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，把斜线段PQ放到直角三角形中利用勾股定理计算：过Q作QE垂直AB于E，此时QE等于矩形的宽$AD=3\mathrm{cm}$，PE的长度可以用AB减去AP和BE（BE等于CQ）的绝对值表示，避免出现长度为负的情况。最后根据勾股定理列一元二次方程求解，检验解是否在$t$的取值范围内即可。
【解析】
首先计算两点运动的最长时间：点P从A到B的时间为$8÷2=4(\mathrm{s})$，因此运动时间$t$的取值范围为$0≤ t≤4$。
过点 $Q$ 作 $QE⊥ AB$ 于点 $E$，则四边形 $BCQE$ 是矩形，可得 $QE=AD=3\ \mathrm{cm}$，$BE=CQ$。
设移动时间为 $t\ \mathrm{s}$，则 $AP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=BE=t\ \mathrm{cm}$。
因此 $PE=|AB-AP-BE|=|8-2t-t|=|8-3t|\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ PEQ$中，根据勾股定理$PE^2+EQ^2=PQ^2$，已知$PQ=5\mathrm{cm}$，代入得：
$(8-3t)^2+3^2=5^2$
整理得：$3t^2-16t+16=0$
解得 $t_1=\frac{4}{3},t_2=4$，两个解均满足$0≤ t≤4$，均符合题意。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于动点与几何结合的基础综合题，核心解题方法是通过作垂线构造直角三角形，将几何距离问题转化为代数方程求解，解题时要注意先确定运动时间的取值范围，对求解出的方程根要验证是否符合实际运动情况，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.6
19 分类讨论思想 若一元二次方程$x^2 -9x +20=0$的两根恰好是一个直角三角形的两边长，则这个直角三角形的第三边长为
$3或\sqrt{41}$
。答案
19. 3 或 $\sqrt{41}$
解析
【分析】
首先求解一元二次方程得到两根为4和5，由于题目未明确这两边是直角三角形的直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①两根均为直角边；②较长的边5为斜边、4为直角边，再分别根据勾股定理计算第三边长，最后验证结果是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=5$，即直角三角形的两条已知边长为4和5。
2. 分类讨论计算第三边长：
① 当4和5均为直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$；
② 当5为斜边长，4为一条直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
两种情况均符合三角形三边关系，均成立。
【答案】
3 或 $\sqrt{41}$
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略对已知边长的角色分类，容易遗漏5作为斜边的情况。解题时若题目未明确直角三角形的边长是直角边还是斜边，一定要分情况讨论，同时注意边长为正数，最后要验证结果是否符合三角形三边关系。
【难度系数】
0.7
首先求解一元二次方程得到两根为4和5，由于题目未明确这两边是直角三角形的直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①两根均为直角边；②较长的边5为斜边、4为直角边，再分别根据勾股定理计算第三边长，最后验证结果是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=5$，即直角三角形的两条已知边长为4和5。
2. 分类讨论计算第三边长：
① 当4和5均为直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$；
② 当5为斜边长，4为一条直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
两种情况均符合三角形三边关系，均成立。
【答案】
3 或 $\sqrt{41}$
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略对已知边长的角色分类，容易遗漏5作为斜边的情况。解题时若题目未明确直角三角形的边长是直角边还是斜边，一定要分情况讨论，同时注意边长为正数，最后要验证结果是否符合三角形三边关系。
【难度系数】
0.7
20 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$的两个实数根为$x_1, x_2$. 若$x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 = 1$, 则$k=$
$-5$
.答案
20. $-5$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先，对于有两个实数根的一元二次方程，可根据韦达定理写出两根之和、两根之积关于参数k的表达式；其次，观察题干给出的等式，将其变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，方便整体代入；最后，代入后解出k的值，再验证判别式是否满足“有两个实数根”的条件，确认k的取值有效即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有两个实数根$x_1, x_2$
∴ 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k$
将已知等式$x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 = 1$变形得：
$x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) = 1$
把$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = k$代入上式得：
$k + 2×3 = 1$
解得：$k = -5$
验证判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1× k = 9 - 4k$
当$k=-5$时，$\Delta = 9 - 4×(-5) = 29 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的条件
∴ $k = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，能够将给定的代数式变形后整体代入计算，同时要注意结合方程有实根的条件验证所求参数的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先，对于有两个实数根的一元二次方程，可根据韦达定理写出两根之和、两根之积关于参数k的表达式；其次，观察题干给出的等式，将其变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，方便整体代入；最后，代入后解出k的值，再验证判别式是否满足“有两个实数根”的条件，确认k的取值有效即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有两个实数根$x_1, x_2$
∴ 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k$
将已知等式$x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 = 1$变形得：
$x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) = 1$
把$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = k$代入上式得：
$k + 2×3 = 1$
解得：$k = -5$
验证判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1× k = 9 - 4k$
当$k=-5$时，$\Delta = 9 - 4×(-5) = 29 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的条件
∴ $k = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，能够将给定的代数式变形后整体代入计算，同时要注意结合方程有实根的条件验证所求参数的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
21 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2-m)·x+1-m=0$.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若$m＜0$，且该方程的两个实数根的差为3，求$m$的值.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若$m＜0$，且该方程的两个实数根的差为3，求$m$的值.
答案
21. (1) $\because \Delta=(2-m)^2-4×1×(1-m)=m^2≥0$，$\therefore$ 该方程总有两个实数根
(2) 设方程的较大的实数根为 $x_1$，较小的实数根为 $x_2$。由题意，得 $x_1-x_2=3$，$x_1+x_2=m-2$，$x_1x_2=1-m$。
$\therefore (x_1-x_2)^2=3^2$，即 $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=9$。$\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$。$\therefore (m-2)^2-4(1-m)=9$，解得 $m=3$ 或 $m=-3$。$\because m＜0$，$\therefore m=-3$
(2) 设方程的较大的实数根为 $x_1$，较小的实数根为 $x_2$。由题意，得 $x_1-x_2=3$，$x_1+x_2=m-2$，$x_1x_2=1-m$。
$\therefore (x_1-x_2)^2=3^2$，即 $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=9$。$\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$。$\therefore (m-2)^2-4(1-m)=9$，解得 $m=3$ 或 $m=-3$。$\because m＜0$，$\therefore m=-3$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是证明根的判别式$\Delta ≥ 0$。先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式化简，判断结果的非负性即可完成证明。
（2）已知两根的差为3，可先通过根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再将两根差的平方转化为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$m$的方程，求解后结合$m＜0$的限制条件筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2+(2-m)x+1-m=0$中，$a=1$，$b=2-m$，$c=1-m$，
则根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (2-m)^2 - 4×1×(1-m)$
$=4-4m+m^2-4+4m=m^2$。
∵ 无论$m$取任意实数，都有$m^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
（2）解：设方程的较大实数根为$x_1$，较小实数根为$x_2$，
由题意得$x_1-x_2=3$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = m-2$，$x_1x_2=1-m$。
对$x_1-x_2=3$两边同时平方得：$(x_1-x_2)^2=9$，
变形可得：$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$，
将$x_1+x_2=m-2$、$x_1x_2=1-m$代入上式得：
$(m-2)^2-4(1-m)=9$，
化简得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$。
∵ $m＜0$，
∴ $m=3$不符合条件，舍去，即$m=-3$。
【答案】
（1）该方程总有两个实数根，证明成立；
（2）$m=-3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查根的判别式的应用，第二问需要掌握两根差与两根和、积的转化关系，解题时注意不要遗漏题干的限制条件，要对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是证明根的判别式$\Delta ≥ 0$。先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式化简，判断结果的非负性即可完成证明。
（2）已知两根的差为3，可先通过根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再将两根差的平方转化为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$m$的方程，求解后结合$m＜0$的限制条件筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2+(2-m)x+1-m=0$中，$a=1$，$b=2-m$，$c=1-m$，
则根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (2-m)^2 - 4×1×(1-m)$
$=4-4m+m^2-4+4m=m^2$。
∵ 无论$m$取任意实数，都有$m^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
（2）解：设方程的较大实数根为$x_1$，较小实数根为$x_2$，
由题意得$x_1-x_2=3$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = m-2$，$x_1x_2=1-m$。
对$x_1-x_2=3$两边同时平方得：$(x_1-x_2)^2=9$，
变形可得：$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$，
将$x_1+x_2=m-2$、$x_1x_2=1-m$代入上式得：
$(m-2)^2-4(1-m)=9$，
化简得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$。
∵ $m＜0$，
∴ $m=3$不符合条件，舍去，即$m=-3$。
【答案】
（1）该方程总有两个实数根，证明成立；
（2）$m=-3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查根的判别式的应用，第二问需要掌握两根差与两根和、积的转化关系，解题时注意不要遗漏题干的限制条件，要对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
22 某数学实践小组去超市调查某种商品的销售情况，下列是调查后三名同学给出的信息.
小阳:据调查,该商品的进价为11元/件.
小佳:当该商品定价为20元/件时,每天可售400件.
小欣:在定价为20元/件的基础上,每涨价1元/件,每天少售20件.
根据他们给出的信息,若销售的商品每天能获利3800元,为尽快减少库存,应该怎样定价更合理?
小阳:据调查,该商品的进价为11元/件.
小佳:当该商品定价为20元/件时,每天可售400件.
小欣:在定价为20元/件的基础上,每涨价1元/件,每天少售20件.
根据他们给出的信息,若销售的商品每天能获利3800元,为尽快减少库存,应该怎样定价更合理?
答案
22. 设每件商品定价为 $x$ 元，则每件商品的销售利润为 $(x-11)$ 元。根据题意，得 $[400-20(x-20)](x-11)=3\ 800$，整理，得 $x^2-51x+630=0$，解得 $x_1=21$，$x_2=30$。$\because$ 为尽快减少库存，$\therefore x=21$。$\therefore$ 为尽快减少库存，应该定价为每件 21 元更合理
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心依据是“总利润=单件利润×销售总量”的等量关系。首先设每件商品定价为x元，先推导单件利润：单件利润为售价减去进价，即(x-11)元；再推导对应销售量：原定价20元时销量为400件，每涨价1元少售20件，定价为x元时相比20元涨了(x-20)元，因此少售出20(x-20)件，实际销售量为[400-20(x-20)]件；再根据总获利3800元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择销量更高（定价更低）的解即可。
【解析】
解：设每件商品定价为$x$元，则每件商品的销售利润为$(x-11)$元，实际销售量为$[400-20(x-20)]$件。
根据总利润的计算公式列方程：
$[400-20(x-20)](x-11)=3800$
整理方程：
化简得$(800-20x)(x-11)=3800$，展开移项合并同类项后得：
$x^2-51x+630=0$
因式分解得$(x-21)(x-30)=0$，解得$x_1=21$，$x_2=30$。
$\because$ 要尽快减少库存，定价越低销售量越高，需选择更低的定价，
$\therefore x=21$。
【答案】
应该定价为每件21元更合理
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于销售类典型应用题，解题关键是找准总利润、单件利润、销售量三者的等量关系，准确列方程求解，同时要注意题目给出的附加限制条件，对所得的根进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心依据是“总利润=单件利润×销售总量”的等量关系。首先设每件商品定价为x元，先推导单件利润：单件利润为售价减去进价，即(x-11)元；再推导对应销售量：原定价20元时销量为400件，每涨价1元少售20件，定价为x元时相比20元涨了(x-20)元，因此少售出20(x-20)件，实际销售量为[400-20(x-20)]件；再根据总获利3800元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择销量更高（定价更低）的解即可。
【解析】
解：设每件商品定价为$x$元，则每件商品的销售利润为$(x-11)$元，实际销售量为$[400-20(x-20)]$件。
根据总利润的计算公式列方程：
$[400-20(x-20)](x-11)=3800$
整理方程：
化简得$(800-20x)(x-11)=3800$，展开移项合并同类项后得：
$x^2-51x+630=0$
因式分解得$(x-21)(x-30)=0$，解得$x_1=21$，$x_2=30$。
$\because$ 要尽快减少库存，定价越低销售量越高，需选择更低的定价，
$\therefore x=21$。
【答案】
应该定价为每件21元更合理
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于销售类典型应用题，解题关键是找准总利润、单件利润、销售量三者的等量关系，准确列方程求解，同时要注意题目给出的附加限制条件，对所得的根进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
