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6 某市有四家专卖店销售同样品牌的羽绒服.如图,用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率(利润和成本的比值)$y$与该店成本$x$的情况,其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上,那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
(第6题) (第7题)
C
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
(第6题) (第7题)
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确利润的计算方式：利润率$y=\frac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本}}$，可得利润=成本$x$×利润率$y$，即单店利润可表示为$x$与$y$的乘积。已知甲、丁在同一反比例函数图象上，结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质，图象上的点满足$x· y=k$（定值），因此甲、丁的利润相等。接下来只需比较四个店的$x· y$的大小即可：在反比例函数图象上方的点，$x· y＞k$；在图象下方的点，$x· y＜k$，据此就能判断出利润最大的店。
【解析】
根据利润率的定义可知：$\mathrm{利润} = \mathrm{成本} × \mathrm{利润率} = x· y$。
∵ 甲、丁两点在同一个反比例函数图象上，设该反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），
∴ 对甲、丁两点均满足$x· y=k$，即甲、丁两店的利润相等，均为$k$。
观察图象可知：
丙点在反比例函数图象上方，对丙点的横坐标$x_丙$，其纵坐标$y_丙＞\frac{k}{x_丙}$，因此$x_丙· y_丙＞k$，即丙店利润大于$k$；
乙点在反比例函数图象下方，对乙点的横坐标$x_乙$，其纵坐标$y_乙＜\frac{k}{x_乙}$，因此$x_乙· y_乙＜k$，即乙店利润小于$k$。
综上，四家店利润大小关系为：丙＞甲=丁＞乙，因此利润最多的是丙店。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数k的几何意义，销售利润计算
【点评】
本题结合生活中的销售问题考查反比例函数的实际应用，解题的核心是将利润转化为点的横纵坐标的乘积，结合反比例函数的性质比较大小，能有效考查学生知识迁移和结合图象分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确利润的计算方式：利润率$y=\frac{\mathrm{利润}}{\mathrm{成本}}$，可得利润=成本$x$×利润率$y$，即单店利润可表示为$x$与$y$的乘积。已知甲、丁在同一反比例函数图象上，结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质，图象上的点满足$x· y=k$（定值），因此甲、丁的利润相等。接下来只需比较四个店的$x· y$的大小即可：在反比例函数图象上方的点，$x· y＞k$；在图象下方的点，$x· y＜k$，据此就能判断出利润最大的店。
【解析】
根据利润率的定义可知：$\mathrm{利润} = \mathrm{成本} × \mathrm{利润率} = x· y$。
∵ 甲、丁两点在同一个反比例函数图象上，设该反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），
∴ 对甲、丁两点均满足$x· y=k$，即甲、丁两店的利润相等，均为$k$。
观察图象可知：
丙点在反比例函数图象上方，对丙点的横坐标$x_丙$，其纵坐标$y_丙＞\frac{k}{x_丙}$，因此$x_丙· y_丙＞k$，即丙店利润大于$k$；
乙点在反比例函数图象下方，对乙点的横坐标$x_乙$，其纵坐标$y_乙＜\frac{k}{x_乙}$，因此$x_乙· y_乙＜k$，即乙店利润小于$k$。
综上，四家店利润大小关系为：丙＞甲=丁＞乙，因此利润最多的是丙店。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数k的几何意义，销售利润计算
【点评】
本题结合生活中的销售问题考查反比例函数的实际应用，解题的核心是将利润转化为点的横纵坐标的乘积，结合反比例函数的性质比较大小，能有效考查学生知识迁移和结合图象分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
7 某研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度$y$(微克/毫升)与注射时间$x$(天)之间的函数关系如图所示(当$x≤20$时，$y$与$x$成正比例函数关系；当$x＞20$时，$y$与$x$成反比例函数关系)。当体内抗体浓度高于70微克/毫升时，相应的自变量$x$的取值范围是
$5＜x＜80$
。答案
7. $5＜x＜80$
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题分三步：第一步，先根据已知点坐标分别求出x≤20时的正比例函数解析式，和x＞20时的反比例函数解析式；第二步，分别在两段函数中令y=70，求出对应的x的值；第三步，结合两段函数的增减性，确定y＞70时对应的x的取值范围，最后合并两段的范围得到最终结果。
【解析】
① 当$0≤ x≤20$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=kx(k≠0)$，
将点$(20,280)$代入得：$280=20k$，解得$k=14$，
因此该段解析式为$y=14x(0≤ x≤20)$。
令$y=70$，则$14x=70$，解得$x=5$。
由于正比例函数$y=14x$中$k=14＞0$，$y$随$x$的增大而增大，因此当$y＞70$时，$x＞5$，结合$0≤ x≤20$，得$5＜x≤20$。
② 当$x＞20$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，
将点$(20,280)$代入得：$280=\frac{m}{20}$，解得$m=280×20=5600$，
因此该段解析式为$y=\frac{5600}{x}(x＞20)$。
令$y=70$，则$\frac{5600}{x}=70$，解得$x=80$。
由于反比例函数$y=\frac{5600}{x}$中$m=5600＞0$，在$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此当$y＞70$时，$x＜80$，结合$x＞20$，得$20＜x＜80$。
综上，当体内抗体浓度高于70微克/毫升时，$x$的取值范围是$5＜x＜80$。
【答案】
$\boldsymbol{5＜x＜80}$
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合实际背景考查分段函数的应用，解题的核心是准确求出两段函数的解析式，再结合函数的增减性分析符合条件的自变量范围，解题时要注意两段函数自变量的取值边界。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，解题分三步：第一步，先根据已知点坐标分别求出x≤20时的正比例函数解析式，和x＞20时的反比例函数解析式；第二步，分别在两段函数中令y=70，求出对应的x的值；第三步，结合两段函数的增减性，确定y＞70时对应的x的取值范围，最后合并两段的范围得到最终结果。
【解析】
① 当$0≤ x≤20$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=kx(k≠0)$，
将点$(20,280)$代入得：$280=20k$，解得$k=14$，
因此该段解析式为$y=14x(0≤ x≤20)$。
令$y=70$，则$14x=70$，解得$x=5$。
由于正比例函数$y=14x$中$k=14＞0$，$y$随$x$的增大而增大，因此当$y＞70$时，$x＞5$，结合$0≤ x≤20$，得$5＜x≤20$。
② 当$x＞20$时，设$y$与$x$的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，
将点$(20,280)$代入得：$280=\frac{m}{20}$，解得$m=280×20=5600$，
因此该段解析式为$y=\frac{5600}{x}(x＞20)$。
令$y=70$，则$\frac{5600}{x}=70$，解得$x=80$。
由于反比例函数$y=\frac{5600}{x}$中$m=5600＞0$，在$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此当$y＞70$时，$x＜80$，结合$x＞20$，得$20＜x＜80$。
综上，当体内抗体浓度高于70微克/毫升时，$x$的取值范围是$5＜x＜80$。
【答案】
$\boldsymbol{5＜x＜80}$
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合实际背景考查分段函数的应用，解题的核心是准确求出两段函数的解析式，再结合函数的增减性分析符合条件的自变量范围，解题时要注意两段函数自变量的取值边界。
【难度系数】
0.7
8 教材变式题 市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为$10^6$立方米.某运输公司承担了运送土石方的任务.
（1）设该公司平均每天运送的土石方总量为$y$立方米，完成运送任务所需的时间为$t$天.
① 写出$y$关于$t$的函数解析式；
② 当$0＜t≤80$时，写出$y$的取值范围.
（2）若1辆卡车每天可运送土石方$10^2$立方米，工期要求不超过80天，则该公司至少要安排多少辆相同型号的卡车运输？
（1）设该公司平均每天运送的土石方总量为$y$立方米，完成运送任务所需的时间为$t$天.
① 写出$y$关于$t$的函数解析式；
② 当$0＜t≤80$时，写出$y$的取值范围.
（2）若1辆卡车每天可运送土石方$10^2$立方米，工期要求不超过80天，则该公司至少要安排多少辆相同型号的卡车运输？
答案
8. (1) ① $y=\frac{10^6}{t}$ ② $y≥12500$
(2) 设要安排$x$辆相同型号的卡车运输. 由题意,得$10^2x×80≥10^6$,解得$x≥125$. $\therefore$ 该公司至少要安排125辆相同型号的卡车运输
(2) 设要安排$x$辆相同型号的卡车运输. 由题意,得$10^2x×80≥10^6$,解得$x≥125$. $\therefore$ 该公司至少要安排125辆相同型号的卡车运输
解析
【分析】
解题时紧扣工程问题的核心等量关系：运送土石方总量=每天运送量×运送时间，按以下思路推导：
1. 解(1)①：已知总土石方量固定为$10^6$立方米，将上述等量关系变形即可得到y关于t的函数解析式，注意时间t的实际意义为正数；
2. 解(1)②：先判断反比例函数的增减性，因反比例系数为正，t＞0时y随t增大而减小，因此t取最大值80时y取最小值，代入计算即可得y的取值范围；
3. 解(2)：设卡车数量为x，先表示出x辆卡车80天的总运送量，根据总运送量不低于土石方总量列不等式，求解后取正整数解即可。
【解析】
(1) ① 根据“每天运送量×运送时间=总土石方量”，可得$yt=10^6$，整理得：
$y=\frac{10^6}{t} \quad (t＞0)$
② 函数$y=\frac{10^6}{t}$中$k=10^6＞0$，当$t＞0$时，y随t的增大而减小，
当$t=80$时，$y=\frac{10^6}{80}=12500$，
结合$0＜t≤80$，可得$y≥12500$。
(2) 设要安排$x$辆相同型号的卡车运输，
由题意得x辆卡车80天的总运送量不少于$10^6$立方米，列不等式：
$10^2 x × 80 ≥10^6$
化简得$8000x≥10^6$，解得$x≥125$。
【答案】
(1) ① $y=\frac{10^6}{t}(t＞0)$；② $y≥12500$
(2) 该公司至少要安排125辆相同型号的卡车运输
【知识点】
反比例函数的实际应用、反比例函数的性质、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是反比例函数与工程问题结合的基础应用题，解题关键是熟练掌握“工作总量=工作效率×工作时间”的等量关系，会结合反比例函数增减性求取值范围，同时注意实际问题中解的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
解题时紧扣工程问题的核心等量关系：运送土石方总量=每天运送量×运送时间，按以下思路推导：
1. 解(1)①：已知总土石方量固定为$10^6$立方米，将上述等量关系变形即可得到y关于t的函数解析式，注意时间t的实际意义为正数；
2. 解(1)②：先判断反比例函数的增减性，因反比例系数为正，t＞0时y随t增大而减小，因此t取最大值80时y取最小值，代入计算即可得y的取值范围；
3. 解(2)：设卡车数量为x，先表示出x辆卡车80天的总运送量，根据总运送量不低于土石方总量列不等式，求解后取正整数解即可。
【解析】
(1) ① 根据“每天运送量×运送时间=总土石方量”，可得$yt=10^6$，整理得：
$y=\frac{10^6}{t} \quad (t＞0)$
② 函数$y=\frac{10^6}{t}$中$k=10^6＞0$，当$t＞0$时，y随t的增大而减小，
当$t=80$时，$y=\frac{10^6}{80}=12500$，
结合$0＜t≤80$，可得$y≥12500$。
(2) 设要安排$x$辆相同型号的卡车运输，
由题意得x辆卡车80天的总运送量不少于$10^6$立方米，列不等式：
$10^2 x × 80 ≥10^6$
化简得$8000x≥10^6$，解得$x≥125$。
【答案】
(1) ① $y=\frac{10^6}{t}(t＞0)$；② $y≥12500$
(2) 该公司至少要安排125辆相同型号的卡车运输
【知识点】
反比例函数的实际应用、反比例函数的性质、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是反比例函数与工程问题结合的基础应用题，解题关键是熟练掌握“工作总量=工作效率×工作时间”的等量关系，会结合反比例函数增减性求取值范围，同时注意实际问题中解的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
9 新情境 科技创新 某生物实践小组搜集了学校种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0～24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度$y(°C)$随时间$x$(时)变化的图象.如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为$15°C$，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到$15°C$.
(1) 求线段AB及曲线CD段对应的函数解析式.
(2) 求该大棚在0～24时内，温度不低于$24°C$的时长.
(3) 此地的日出时间为$7:00$，日落时间为$17:00$.为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照，且在此期间大棚内温度不低于$24°C$.小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟
(1) 求线段AB及曲线CD段对应的函数解析式.
(2) 求该大棚在0～24时内，温度不低于$24°C$的时长.
(3) 此地的日出时间为$7:00$，日落时间为$17:00$.为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照，且在此期间大棚内温度不低于$24°C$.小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟
1
小时，能满足上述要求.答案
9. (1) 由题意,知升温阶段大棚内的温度每小时升高$(30-15)÷5=3(°C)$,$\therefore$ 升温阶段$AB$对应的函数解析式为$y=3x+15(0≤ x≤5)$. 设曲线$CD$段对应的函数解析式为$y=\frac{m}{x}$($m$为常数,且$m≠0$). 将$D(24,15)$代入,得$\frac{m}{24}=15$,则$m=360$. $\therefore y=\frac{360}{x}$. 令$\frac{360}{x}=30$,解得$x=12$. $\therefore$ 曲线$CD$段对应的函数解析式为$y=\frac{360}{x}(12≤ x≤24)$
(2) 令$3x+15=24$,解得$x=3$,令$\frac{360}{x}=24$,解得$x=15$,$15-3=12$(小时). $\therefore$ 大棚在$0∼24$时内,温度不低于$24\ °C$的时长为12小时
(3) 1 【解析】由题意,知日照时间为$7:00∼17:00$(共10小时),需保证此期间至少有9小时温度不低于$24\ °C$. 原系统中,温度不低于$24\ °C$的时间段为$3:00∼15:00$. 设推迟$t$小时启动,则温度不低于$24\ °C$的时间段为$3:00+t∼15:00+t$. $\because$ 日照时间段为$7:00∼17:00$,$\therefore$ 至少推迟1小时.
(2) 令$3x+15=24$,解得$x=3$,令$\frac{360}{x}=24$,解得$x=15$,$15-3=12$(小时). $\therefore$ 大棚在$0∼24$时内,温度不低于$24\ °C$的时长为12小时
(3) 1 【解析】由题意,知日照时间为$7:00∼17:00$(共10小时),需保证此期间至少有9小时温度不低于$24\ °C$. 原系统中,温度不低于$24\ °C$的时间段为$3:00∼15:00$. 设推迟$t$小时启动,则温度不低于$24\ °C$的时间段为$3:00+t∼15:00+t$. $\because$ 日照时间段为$7:00∼17:00$,$\therefore$ 至少推迟1小时.
解析
【分析】
(1) 求线段AB的解析式：AB为一次函数图象，已知起点A(0,15)和终点B(5,30)，用待定系数法代入两点即可求解，同时标注x的取值范围。求CD段的解析式：CD是反比例函数图象，已知D点坐标(24,15)，先设反比例函数解析式代入求参数，再通过C点温度30℃求出C点横坐标，确定CD段x的取值范围。
(2) 温度不低于24℃即y≥24，分别在AB段的一次函数、CD段的反比例函数中令y=24，求出对应的两个x值，两值的差就是符合要求的时长。
(3) 先得出原温度≥24℃的时间段是3:00~15:00，设推迟t小时启动，则该时间段变为(3+t)点~(15+t)点，要和日照时间段7:00~17:00的交集至少9小时，计算得到t的最小值。
【解析】
(1) ① 设线段AB对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(0,15)$、$B(5,30)$代入得：
$b=15$，$5k+15=30$，解得$k=3$，
$\therefore$ 线段AB对应的函数解析式为$y=3x+15(0≤x≤5)$。
② 设曲线CD段对应的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将$D(24,15)$代入得：
$\frac{m}{24}=15$，解得$m=360$，
令$y=30$，则$\frac{360}{x}=30$，解得$x=12$，即C点坐标为$(12,30)$，
$\therefore$ 曲线CD段对应的函数解析式为$y=\frac{360}{x}(12≤x≤24)$。
(2) 在AB段令$y=24$：$3x+15=24$，解得$x=3$；
在CD段令$y=24$：$\frac{360}{x}=24$，解得$x=15$；
温度不低于24℃的时长为$15-3=12$（小时）。
(3) 原温度不低于24℃的时间段为3:00~15:00，设推迟$t$小时启动，对应时间段变为$(3+t):00~(15+t):00$。
要和日照时间段7:00~17:00的交集至少9小时，当$t=1$时，对应时间段为4:00~16:00，和7:00~17:00的交集为7:00~16:00，共9小时，刚好满足要求，故至少推迟1小时。
【答案】
(1) 线段AB：$y=3x+15(0≤x≤5)$；曲线CD：$y=\frac{360}{x}(12≤x≤24)$
(2) 12小时
(3) 1
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，函数的实际应用
【点评】
本题结合温室大棚温度控制的实际情境，考查了一次函数和反比例函数的综合应用，需要学生准确读取图象信息，结合题意建立函数关系求解，第三问需要结合时间段的交集分析，能较好地锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求线段AB的解析式：AB为一次函数图象，已知起点A(0,15)和终点B(5,30)，用待定系数法代入两点即可求解，同时标注x的取值范围。求CD段的解析式：CD是反比例函数图象，已知D点坐标(24,15)，先设反比例函数解析式代入求参数，再通过C点温度30℃求出C点横坐标，确定CD段x的取值范围。
(2) 温度不低于24℃即y≥24，分别在AB段的一次函数、CD段的反比例函数中令y=24，求出对应的两个x值，两值的差就是符合要求的时长。
(3) 先得出原温度≥24℃的时间段是3:00~15:00，设推迟t小时启动，则该时间段变为(3+t)点~(15+t)点，要和日照时间段7:00~17:00的交集至少9小时，计算得到t的最小值。
【解析】
(1) ① 设线段AB对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(0,15)$、$B(5,30)$代入得：
$b=15$，$5k+15=30$，解得$k=3$，
$\therefore$ 线段AB对应的函数解析式为$y=3x+15(0≤x≤5)$。
② 设曲线CD段对应的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将$D(24,15)$代入得：
$\frac{m}{24}=15$，解得$m=360$，
令$y=30$，则$\frac{360}{x}=30$，解得$x=12$，即C点坐标为$(12,30)$，
$\therefore$ 曲线CD段对应的函数解析式为$y=\frac{360}{x}(12≤x≤24)$。
(2) 在AB段令$y=24$：$3x+15=24$，解得$x=3$；
在CD段令$y=24$：$\frac{360}{x}=24$，解得$x=15$；
温度不低于24℃的时长为$15-3=12$（小时）。
(3) 原温度不低于24℃的时间段为3:00~15:00，设推迟$t$小时启动，对应时间段变为$(3+t):00~(15+t):00$。
要和日照时间段7:00~17:00的交集至少9小时，当$t=1$时，对应时间段为4:00~16:00，和7:00~17:00的交集为7:00~16:00，共9小时，刚好满足要求，故至少推迟1小时。
【答案】
(1) 线段AB：$y=3x+15(0≤x≤5)$；曲线CD：$y=\frac{360}{x}(12≤x≤24)$
(2) 12小时
(3) 1
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，函数的实际应用
【点评】
本题结合温室大棚温度控制的实际情境，考查了一次函数和反比例函数的综合应用，需要学生准确读取图象信息，结合题意建立函数关系求解，第三问需要结合时间段的交集分析，能较好地锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
