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1 某工厂要生产一批相同的零件，生产零件的总个数是定值.若每天生产的零件个数为m，完成生产任务需要的天数为n，则以下说法正确的是（
A.当m增大时，n也增大
B.当m减小时，n不变
C.当m增大时，n减小
D.m与n的乘积是变化的
C
）A.当m增大时，n也增大
B.当m减小时，n不变
C.当m增大时，n减小
D.m与n的乘积是变化的
答案
1. C
解析
【分析】
首先明确本题考查反比例关系在实际问题中的应用，解题第一步先找到题目中的不变量：生产零件的总个数。根据“总个数=每天生产个数×所需天数”，可得到m和n的乘积为定值，因此m、n成反比例关系。再结合反比例关系的性质：两个成反比例的量，一个量增大时另一个量随之减小，逐一判断选项即可。
【解析】
设生产零件的总个数为定值$ k $（$ k＞0 $），由题意可得数量关系：$ k = m × n $，因此m与n成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 当m增大时，因为乘积$ k $为定值，所以n会减小，该选项错误；
B. 当m减小时，乘积$ k $不变，因此n会增大，该选项错误；
C. 当m增大时，乘积$ k $为定值，因此n减小，该选项正确；
D. m与n的乘积等于总个数$ k $，是定值，不会变化，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 反比例的增减性
【点评】
本题结合生产实际场景考查反比例的基本概念，核心是抓住题目中“总个数是定值”这一关键条件，判断出两个变量的反比例关系，再结合反比例的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查反比例关系在实际问题中的应用，解题第一步先找到题目中的不变量：生产零件的总个数。根据“总个数=每天生产个数×所需天数”，可得到m和n的乘积为定值，因此m、n成反比例关系。再结合反比例关系的性质：两个成反比例的量，一个量增大时另一个量随之减小，逐一判断选项即可。
【解析】
设生产零件的总个数为定值$ k $（$ k＞0 $），由题意可得数量关系：$ k = m × n $，因此m与n成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 当m增大时，因为乘积$ k $为定值，所以n会减小，该选项错误；
B. 当m减小时，乘积$ k $不变，因此n会增大，该选项错误；
C. 当m增大时，乘积$ k $为定值，因此n减小，该选项正确；
D. m与n的乘积等于总个数$ k $，是定值，不会变化，该选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 反比例的增减性
【点评】
本题结合生产实际场景考查反比例的基本概念，核心是抓住题目中“总个数是定值”这一关键条件，判断出两个变量的反比例关系，再结合反比例的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 已知某品牌量子器的使用寿命为定值.这种量子器可工作的天数$y$与平均每天工作的小时数$x$满足反比例函数关系,图象如图所示.如果这种量子器至少要用2 000天,那么量子器平均每天工作的小时数$x$应控制在（
A.$0＜x≤10$
B.$10≤x≤24$
C.$0＜x≤20$
D.$20≤x≤24$
A
）A.$0＜x≤10$
B.$10≤x≤24$
C.$0＜x≤20$
D.$20≤x≤24$
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据y与x是反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式；再利用图象给出的已知点坐标，用待定系数法求出函数解析式；最后结合“至少要用2000天”的条件列出不等式，求解不等式并结合自变量的实际意义得到x的取值范围。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $，$ x＞0 $）。
由图象可知，函数过点$(20,1000)$，将$ x=20 $，$ y=1000 $代入解析式得：
$ 1000=\frac{k}{20} $，解得$ k=20×1000=20000 $，
因此函数解析式为$ y=\frac{20000}{x} $。
根据题意，量子器至少要用2000天，即$ y≥2000 $，代入解析式得：
$ \frac{20000}{x}≥2000 $，
因为$ x $是平均每天工作的小时数，所以$ x＞0 $，不等式两边同时乘$ x $不等号方向不变，得：
$ 20000≥2000x $，
解得$ x≤10 $，
结合$ x＞0 $，可得$ 0＜x≤10 $。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数实际应用；待定系数法；解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的关键是正确求出反比例函数解析式，再根据题意列出不等式求解，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免忽略隐含条件导致出错。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据y与x是反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式；再利用图象给出的已知点坐标，用待定系数法求出函数解析式；最后结合“至少要用2000天”的条件列出不等式，求解不等式并结合自变量的实际意义得到x的取值范围。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $，$ x＞0 $）。
由图象可知，函数过点$(20,1000)$，将$ x=20 $，$ y=1000 $代入解析式得：
$ 1000=\frac{k}{20} $，解得$ k=20×1000=20000 $，
因此函数解析式为$ y=\frac{20000}{x} $。
根据题意，量子器至少要用2000天，即$ y≥2000 $，代入解析式得：
$ \frac{20000}{x}≥2000 $，
因为$ x $是平均每天工作的小时数，所以$ x＞0 $，不等式两边同时乘$ x $不等号方向不变，得：
$ 20000≥2000x $，
解得$ x≤10 $，
结合$ x＞0 $，可得$ 0＜x≤10 $。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数实际应用；待定系数法；解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的关键是正确求出反比例函数解析式，再根据题意列出不等式求解，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免忽略隐含条件导致出错。
【难度系数】
0.7
3 一个蓄水池的容积是300立方米，打开放水阀后，水池内水的高度h（米）与水池底面积S（平方米）成反比例关系，那么它们之间的函数解析式为
$h=\frac{300}{S}$
；当S=25时，h=12
。答案
3. $h=\frac{300}{S}$，12
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的函数为反比例函数。解题时先抓住题目中的不变量：蓄水池的容积为300立方米，而蓄水池容积的计算公式为“容积=底面积×水的高度”，即$ V=S· h $，已知$ V=300 $是定值，说明$ S $和$ h $的乘积为定值，符合反比例函数的特征，变形即可得到$ h $与$ S $的函数解析式；接下来求$ S=25 $时的$ h $值，只需将$ S=25 $代入已求出的解析式计算即可。
【解析】
根据容积计算公式可得：$ S· h=300 $，
将式子变形为$ h $关于$ S $的函数形式：$ h=\frac{300}{S} $（$ S＞0 $）；
把$ S=25 $代入解析式$ h=\frac{300}{S} $中，得：
$ h=\frac{300}{25}=12 $。
【答案】
$ h=\frac{300}{S} $；12
【知识点】
反比例函数的概念；反比例函数解析式确定；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题关键是找到问题中的定值，结合常见的数量公式建立两个变量的反比例关系，再代入计算即可，主要考查对反比例函数基础概念的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
首先回忆反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的函数为反比例函数。解题时先抓住题目中的不变量：蓄水池的容积为300立方米，而蓄水池容积的计算公式为“容积=底面积×水的高度”，即$ V=S· h $，已知$ V=300 $是定值，说明$ S $和$ h $的乘积为定值，符合反比例函数的特征，变形即可得到$ h $与$ S $的函数解析式；接下来求$ S=25 $时的$ h $值，只需将$ S=25 $代入已求出的解析式计算即可。
【解析】
根据容积计算公式可得：$ S· h=300 $，
将式子变形为$ h $关于$ S $的函数形式：$ h=\frac{300}{S} $（$ S＞0 $）；
把$ S=25 $代入解析式$ h=\frac{300}{S} $中，得：
$ h=\frac{300}{25}=12 $。
【答案】
$ h=\frac{300}{S} $；12
【知识点】
反比例函数的概念；反比例函数解析式确定；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题关键是找到问题中的定值，结合常见的数量公式建立两个变量的反比例关系，再代入计算即可，主要考查对反比例函数基础概念的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
4 如图，科技小组准备用材料围建一个面积为$60\ \mathrm{m}^2$的矩形科技园$ABCD$，其中一边$AB$完全靠墙，墙长$12\ \mathrm{m}$.设$AD$的长为$x\ \mathrm{m}$，$DC$的长为$y\ \mathrm{m}$.
（1）求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）若围建的矩形科技园$ABCD$的三边材料总长不超过$26\ \mathrm{m}$，边$AD$和$DC$的材料长度都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.
（1）求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）若围建的矩形科技园$ABCD$的三边材料总长不超过$26\ \mathrm{m}$，边$AD$和$DC$的材料长度都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.
答案
4. (1) $\because AD$的长为$x\ \mathrm{m}$,$DC$的长为$y\ \mathrm{m}$,矩形$ABCD$的面积为$60\ \mathrm{m}^2$,$\therefore xy=60$,即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{60}{x}$
(2) $\because y=\frac{60}{x}$,$2x+y≤26$,$0＜y≤12$,且$x$,$y$都是正整数,$\therefore x$可取5,6,10. $\therefore$ 当$x=5$时,$y=12$;当$x=6$时,$y=10$;当$x=10$时,$y=6$. $\therefore$ 满足条件的围建方案有三种:$AD=5\ \mathrm{m}$,$DC=12\ \mathrm{m}$;$AD=6\ \mathrm{m}$,$DC=10\ \mathrm{m}$;$AD=10\ \mathrm{m}$,$DC=6\ \mathrm{m}$
(2) $\because y=\frac{60}{x}$,$2x+y≤26$,$0＜y≤12$,且$x$,$y$都是正整数,$\therefore x$可取5,6,10. $\therefore$ 当$x=5$时,$y=12$;当$x=6$时,$y=10$;当$x=10$时,$y=6$. $\therefore$ 满足条件的围建方案有三种:$AD=5\ \mathrm{m}$,$DC=12\ \mathrm{m}$;$AD=6\ \mathrm{m}$,$DC=10\ \mathrm{m}$;$AD=10\ \mathrm{m}$,$DC=6\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
（1）求y关于x的函数解析式，可利用矩形面积的等量关系推导：矩形面积等于相邻两边长的乘积，已知面积为60m²，AD长为x m、DC长为y m，代入等量关系整理即可得到函数式，同时要注意实际场景下y不能超过墙长12m。
（2）找围建方案需要先明确所有限制条件：一是三边AD、DC、BC的总长不超过26m，即2x+y≤26；二是DC靠墙，所以y≤12；三是x、y均为正整数。将第一问得到的函数式代入不等式，先确定x的取值范围，再筛选出符合要求的整数x，对应得到y的值即可得到所有方案。
【解析】
（1）由矩形面积公式可得：
$xy=60$
整理得y关于x的函数解析式为：$\boldsymbol{y=\frac{60}{x}}$
（2）根据题意列约束条件：
$\begin{cases}2x+y≤26\\0＜y≤12\\x,y均为正整数\end{cases}$
将$y=\frac{60}{x}$代入不等式：
由$0＜\frac{60}{x}≤12$，解得$x≥5$；
由$2x+\frac{60}{x}≤26$，x为正数，两边同乘x得$2x^2-26x+60≤0$，化简得$(x-3)(x-10)≤0$，解得$3≤ x≤10$。
综上x的取值范围为$5≤ x≤10$的正整数，逐一代入验证：
x=5时，$y=\frac{60}{5}=12$，符合要求；
x=6时，$y=\frac{60}{6}=10$，符合要求；
x=7时，$y=\frac{60}{7}$不是整数，舍去；
x=8时，$y=7.5$不是整数，舍去；
x=9时，$y=\frac{20}{3}$不是整数，舍去；
x=10时，$y=\frac{60}{10}=6$，符合要求。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}$
(2) 满足条件的围建方案有三种：$AD=5\ \mathrm{m}$，$DC=12\ \mathrm{m}$；$AD=6\ \mathrm{m}$，$DC=10\ \mathrm{m}$；$AD=10\ \mathrm{m}$，$DC=6\ \mathrm{m}$
【知识点】
反比例函数应用，不等式组应用，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考察反比例函数与不等式组的综合应用，解题核心是准确提取题目中的等量、不等限制条件，同时要注意实际问题的自变量取值必须符合现实要求，筛选整数解时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
（1）求y关于x的函数解析式，可利用矩形面积的等量关系推导：矩形面积等于相邻两边长的乘积，已知面积为60m²，AD长为x m、DC长为y m，代入等量关系整理即可得到函数式，同时要注意实际场景下y不能超过墙长12m。
（2）找围建方案需要先明确所有限制条件：一是三边AD、DC、BC的总长不超过26m，即2x+y≤26；二是DC靠墙，所以y≤12；三是x、y均为正整数。将第一问得到的函数式代入不等式，先确定x的取值范围，再筛选出符合要求的整数x，对应得到y的值即可得到所有方案。
【解析】
（1）由矩形面积公式可得：
$xy=60$
整理得y关于x的函数解析式为：$\boldsymbol{y=\frac{60}{x}}$
（2）根据题意列约束条件：
$\begin{cases}2x+y≤26\\0＜y≤12\\x,y均为正整数\end{cases}$
将$y=\frac{60}{x}$代入不等式：
由$0＜\frac{60}{x}≤12$，解得$x≥5$；
由$2x+\frac{60}{x}≤26$，x为正数，两边同乘x得$2x^2-26x+60≤0$，化简得$(x-3)(x-10)≤0$，解得$3≤ x≤10$。
综上x的取值范围为$5≤ x≤10$的正整数，逐一代入验证：
x=5时，$y=\frac{60}{5}=12$，符合要求；
x=6时，$y=\frac{60}{6}=10$，符合要求；
x=7时，$y=\frac{60}{7}$不是整数，舍去；
x=8时，$y=7.5$不是整数，舍去；
x=9时，$y=\frac{20}{3}$不是整数，舍去；
x=10时，$y=\frac{60}{10}=6$，符合要求。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}$
(2) 满足条件的围建方案有三种：$AD=5\ \mathrm{m}$，$DC=12\ \mathrm{m}$；$AD=6\ \mathrm{m}$，$DC=10\ \mathrm{m}$；$AD=10\ \mathrm{m}$，$DC=6\ \mathrm{m}$
【知识点】
反比例函数应用，不等式组应用，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考察反比例函数与不等式组的综合应用，解题核心是准确提取题目中的等量、不等限制条件，同时要注意实际问题的自变量取值必须符合现实要求，筛选整数解时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
5 新情境 市场营销 某商场出售一批衬衣，衬衣进价为80元，在试销期间发现，定价在某个范围内时，该衬衣的日销售量y(件)是售价x(元/件)的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每天可售出30件.
（1）请写出y与x之间的函数解析式；
（2）若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1000元，则其单价应定为多少元？
（1）请写出y与x之间的函数解析式；
（2）若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1000元，则其单价应定为多少元？
答案
5. (1) 设$y=\frac{k}{x}$,将$x=100$,$y=30$代入,得$30=\frac{k}{100}$,解得$k=3000$. $\therefore y=\frac{3000}{x}$
(2) 由题意,得$\frac{3000}{x}(x-80)=1000$,解得$x=120$. 经检验,$x=120$是原分式方程的解. $\therefore$ 单价应定为120元
(2) 由题意,得$\frac{3000}{x}(x-80)=1000$,解得$x=120$. 经检验,$x=120$是原分式方程的解. $\therefore$ 单价应定为120元
解析
【分析】
（1）已知y是x的反比例函数，求解反比例函数解析式可先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将题目给出的$x=100$、$y=30$的对应值代入解析式，求出待定系数k的值，即可得到y与x的函数解析式。
（2）解决销售利润问题，核心是抓住等量关系：日销售总利润=单件利润×日销售量。其中单件利润为售价x减去进价80元，日销售量可直接代入（1）中求出的y的表达式，结合总利润为1000元的条件列方程，求解后检验分式方程的根是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=100$，$y=30$代入解析式，得$30=\frac{k}{100}$，
解得$k=30×100=3000$，
$\therefore$ y与x之间的函数解析式为$y=\frac{3000}{x}$。
(2) 单件衬衣的利润为$(x-80)$元，日销售量为$\frac{3000}{x}$件，根据总利润的等量关系列方程：
$\frac{3000}{x}(x-80)=1000$，
方程两边同乘x得：$3000(x-80)=1000x$，
展开整理得：$2000x=240000$，
解得：$x=120$，
检验：当$x=120$时，$x≠0$，且售价大于进价，符合实际销售的要求，是原方程的解。
$\therefore$ 此种衬衣的单价应定为120元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{3000}{x}}$
(2) $\boldsymbol{120}$元
【知识点】
反比例函数解析式确定；分式方程实际应用；销售利润计算
【点评】
本题结合真实的市场营销情境考查反比例函数与分式方程的综合运用，解题的关键是准确把握反比例函数的形式和销售问题的利润等量关系，同时要注意分式方程的解需要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
（1）已知y是x的反比例函数，求解反比例函数解析式可先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将题目给出的$x=100$、$y=30$的对应值代入解析式，求出待定系数k的值，即可得到y与x的函数解析式。
（2）解决销售利润问题，核心是抓住等量关系：日销售总利润=单件利润×日销售量。其中单件利润为售价x减去进价80元，日销售量可直接代入（1）中求出的y的表达式，结合总利润为1000元的条件列方程，求解后检验分式方程的根是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=100$，$y=30$代入解析式，得$30=\frac{k}{100}$，
解得$k=30×100=3000$，
$\therefore$ y与x之间的函数解析式为$y=\frac{3000}{x}$。
(2) 单件衬衣的利润为$(x-80)$元，日销售量为$\frac{3000}{x}$件，根据总利润的等量关系列方程：
$\frac{3000}{x}(x-80)=1000$，
方程两边同乘x得：$3000(x-80)=1000x$，
展开整理得：$2000x=240000$，
解得：$x=120$，
检验：当$x=120$时，$x≠0$，且售价大于进价，符合实际销售的要求，是原方程的解。
$\therefore$ 此种衬衣的单价应定为120元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{3000}{x}}$
(2) $\boldsymbol{120}$元
【知识点】
反比例函数解析式确定；分式方程实际应用；销售利润计算
【点评】
本题结合真实的市场营销情境考查反比例函数与分式方程的综合运用，解题的关键是准确把握反比例函数的形式和销售问题的利润等量关系，同时要注意分式方程的解需要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
