11 [2025 苏州]如图,一次函数$y=2x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,与函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$C$,过点$B$作$x$轴的平行线,与函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$D$.连接$CD$.
(1) 求$A,B$两点的坐标;
(2) 若$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形,求$k$的值.

11. (1) 在 $y=2x+4$ 中,令 $y=0$,得 $2x+4=0$,解得 $x=-2$;令 $x=0$,得 $y=4$. $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$,点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$
(2) 如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ BD$,垂足为 $E$. $\because △ BCD$ 是以 $BD$ 为底边的等腰三角形, $\therefore CB=CD$. $\because CE⊥ BD$,$\therefore BE=DE$. 在 $y=\dfrac{k}{x}$ 中,令 $y=4$,得 $x=\dfrac{k}{4}$. $\therefore D(\dfrac{k}{4},4)$. $\therefore BE=DE=\dfrac{k}{8}$. 在 $y=\dfrac{k}{x}$ 中,令 $x=\dfrac{k}{8}$,得 $y=8$. $\therefore C(\dfrac{k}{8},8)$. $\because$ 点 $C$ 在一次函数 $y=2x+4$ 的图象上, $\therefore 8=2×\dfrac{k}{8}+4$,解得 $k=16$. $\therefore k$ 的值为 16

【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴的交点，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入一次函数解析式计算即可得到A、B两点坐标。
(2) 已知△BCD是以BD为底边的等腰三角形，首先结合等腰三角形“三线合一”的性质，过C作CE⊥BD，可得E是BD的中点；由于BD平行于x轴，因此B、D两点纵坐标相同，代入反比例函数可表示出D点坐标，进而得到BD的长度，推出E点横坐标也就是C点的横坐标；再将C点横坐标代入反比例函数得到其纵坐标，最后结合C点在一次函数图象上，列方程即可求出k的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+4$：
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，因此点A的坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，得$y=2×0+4=4$，因此点B的坐标为$(0,4)$。
(2) 如图，过点$C$作$CE⊥ BD$，垂足为$E$。
$\because △ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形，$\therefore CB=CD$。
$\because CE⊥ BD$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BE=DE$。
$\because BD// x$轴，B点纵坐标为4，$\therefore$D点纵坐标也为4。
将$y=4$代入$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$，得$x=\dfrac{k}{4}$，即$D(\dfrac{k}{4},4)$。
$\therefore BD=\dfrac{k}{4}$，因此$BE=DE=\dfrac{k}{8}$，即点E的横坐标为$\dfrac{k}{8}$。
$\because CE⊥BD$，$\therefore$点C的横坐标与点E相同，为$\dfrac{k}{8}$。
将$x=\dfrac{k}{8}$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$y=8$，即$C(\dfrac{k}{8},8)$。
$\because$点C在一次函数$y=2x+4$的图象上，代入得：
$8=2×\dfrac{k}{8}+4$，解得$k=16$。
【答案】
(1) 点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$,点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$；
(2) $k$的值为16

【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求法
2. 等腰三角形的性质
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题，侧重考查函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质推导得到点C的坐标特征，是函数综合类的常考题型。
【难度系数】
0.65

12 如图，A是直线$y=2x$与函数$y=\dfrac{m-1}{x}$（$m$为常数，$x＞0$）的图象的交点，过点A作$x$轴的垂线，垂足为B，且$OB=2$。
（1）求点A的坐标及$m$的值。
（2）已知点$P(0,n)(0＜n≤8)$，过点P作平行于$x$轴的直线，交直线$y=2x$于点$C(x_1,y_1)$，交函数$y=\dfrac{m-1}{x}$（$m$为常数，$x＞0$）的图象于点$D(x_2,y_2)$，交直线AB于点$E(x_3,y_3)$。若$x_2＜x_3＜x_1$，结合函数的图象，直接写出$x_1+x_2+x_3$的取值范围。

12. (1) 由题意,得点 $A$ 的横坐标是 2. $\because$ 点 $A$ 在直线 $y=2x$ 上, $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(2,4)$. $\because$ 点 $A$ 在函数 $y=\dfrac{m-1}{x}$ 的图象上, $\therefore 4=\dfrac{m-1}{2}$,解得 $m=9$
(2) $6＜x_1+x_2+x_3≤7$
【解析】由题意,得函数的解析式为 $y=\dfrac{8}{x}$,$4＜n≤8$. $\because$ 当 $n=4$ 时,$x_1=x_2=x_3=2$,即 $x_1+x_2+x_3=2+2+2=6$;当 $n=8$ 时,$x_1=4$,$x_2=1$,$x_3=2$,即 $x_1+x_2+x_3=4+1+2=7$,$\therefore$ 易得 $6＜x_1+x_2+x_3≤7$.

【分析】
（1）由AB垂直x轴、OB=2可知点A的横坐标为2，将x=2代入直线y=2x即可求出点A的纵坐标，得到点A的坐标；再将点A坐标代入反比例函数解析式，即可解出m的值。
（2）先根据m的值确定反比例函数的解析式，过点P平行于x轴的直线解析式为y=n，分别求出三个交点对应的$x_1$、$x_2$、$x_3$关于n的表达式；结合$x_2＜x_3＜x_1$的条件推导n的取值范围，再代入$x_1+x_2+x_3$的表达式，结合端点取值即可求出该式的取值范围。
【解析】
（1）
∵AB⊥x轴，OB=2，
∴点A的横坐标为2。
∵点A在直线y=2x上，将x=2代入得$y=2×2=4$，
∴点A的坐标为$(2,4)$。
∵点A在反比例函数$y=\dfrac{m-1}{x}$的图象上，将A(2,4)代入得$4=\dfrac{m-1}{2}$，解得$m=9$。
（2）由（1）得反比例函数解析式为$y=\dfrac{8}{x}$，直线AB为$x=2$。
过点P(0,n)平行于x轴的直线为$y=n$：
与$y=2x$交于点C，得$x_1=\dfrac{n}{2}$；
与$y=\dfrac{8}{x}$交于点D，得$x_2=\dfrac{8}{n}$；
与AB交于点E，得$x_3=2$。
由$x_2＜x_3＜x_1$得$\dfrac{8}{n}＜2＜\dfrac{n}{2}$，结合已知$0＜n≤8$，解得$4＜n≤8$。
当n=4时，$x_1=x_2=x_3=2$，$x_1+x_2+x_3=6$，此时不符合$x_2＜x_3＜x_1$，故取不到6；
当n=8时，$x_1=4$，$x_2=1$，$x_3=2$，$x_1+x_2+x_3=4+1+2=7$，符合条件可取到。
因此$6＜x_1+x_2+x_3≤7$。
【答案】
（1）点A的坐标为$(2,4)$，$m=9$；（2）$6＜x_1+x_2+x_3≤7$
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，函数与不等式
【点评】
本题结合一次函数、反比例函数的图象与性质，考查了待定系数法求参数、函数交点坐标求解以及结合图象推导取值范围，侧重对数形结合思想的应用，解题时要注意端点是否可取的判断。
【难度系数】
0.6