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1 在平面直角坐标系中，点$A(1,4a)$，$B(a,a+2)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，则k的值为（
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
1.D
解析
【分析】
要计算反比例函数的系数k，首先回忆反比例函数的性质：若点P(x,y)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则横纵坐标的乘积等于k，即$xy=k$。已知点A、B都在该反比例函数图象上，因此两点的横纵坐标乘积均等于k，由此可以先建立关于a的方程，求解得到a的取值后，需结合$k≠0$的条件舍去不符合的解，最后代入计算k的值即可。
【解析】
解：
∵点$A(1,4a)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴代入得 $1× 4a = k$，即$k=4a$ ①
又
∵点$B(a,a+2)$也在该反比例函数图象上
∴代入得 $a· (a+2) = k$ ②
联立①②可得方程：$4a = a(a+2)$
整理方程得：$a^2 - 2a = 0$
因式分解得：$a(a-2)=0$
解得 $a=0$ 或 $a=2$
∵反比例函数中$k≠0$，当$a=0$时，$k=4a=0$，不符合要求，故舍去
∴$a=2$，代入①得 $k=4×2=8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元二次方程
3. 反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，解题的核心是利用图象上的点满足函数解析式建立等量关系求解参数，求解后要注意结合反比例函数系数不为0的条件检验解的合理性，难度不大。
【难度系数】
0.8
要计算反比例函数的系数k，首先回忆反比例函数的性质：若点P(x,y)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则横纵坐标的乘积等于k，即$xy=k$。已知点A、B都在该反比例函数图象上，因此两点的横纵坐标乘积均等于k，由此可以先建立关于a的方程，求解得到a的取值后，需结合$k≠0$的条件舍去不符合的解，最后代入计算k的值即可。
【解析】
解：
∵点$A(1,4a)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴代入得 $1× 4a = k$，即$k=4a$ ①
又
∵点$B(a,a+2)$也在该反比例函数图象上
∴代入得 $a· (a+2) = k$ ②
联立①②可得方程：$4a = a(a+2)$
整理方程得：$a^2 - 2a = 0$
因式分解得：$a(a-2)=0$
解得 $a=0$ 或 $a=2$
∵反比例函数中$k≠0$，当$a=0$时，$k=4a=0$，不符合要求，故舍去
∴$a=2$，代入①得 $k=4×2=8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元二次方程
3. 反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，解题的核心是利用图象上的点满足函数解析式建立等量关系求解参数，求解后要注意结合反比例函数系数不为0的条件检验解的合理性，难度不大。
【难度系数】
0.8
2 已知反比例函数$y=\frac{a^2+a+1}{x}$(a为常数)，则
下列说法正确的是 （
A.函数图象在第一、第三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y随x的增大而增大
下列说法正确的是 （
A
）A.函数图象在第一、第三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y随x的增大而增大
答案
2.A
解析
【分析】
要判断反比例函数相关说法的正误，首先需要明确反比例函数的图象位置和增减性都由比例系数$k$的符号决定，因此解题第一步是通过配方判断本题中比例系数$a^2+a+1$的正负，再结合反比例函数的性质逐一验证各选项即可。
【解析】
反比例函数的通用形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），本题中比例系数$k=a^2+a+1$。
1. 判断$k$的符号：
对$k$进行配方可得：
$a^2+a+1 = a^2+a+\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = (a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
根据平方的非负性，$(a+\frac{1}{2})^2≥0$，因此$(a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$k＞0$。
2. 逐一分析选项：
A选项：当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、第三象限，说法正确；
B选项：$k＞0$时，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，选项未限定“在每个象限内”，表述错误；
C选项：$k＞0$时图象在一、三象限，不是二、四象限，说法错误；
D选项：$k＞0$时同一象限内$y$随$x$增大而减小，且选项未限定象限，表述错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质、配方法的应用、非负数的性质
【点评】
这道题是反比例函数性质的基础应用题，易错点在于忽略反比例函数增减性的适用前提“在同一象限内”，解题的核心是准确判断比例系数的符号。
【难度系数】
0.7
要判断反比例函数相关说法的正误，首先需要明确反比例函数的图象位置和增减性都由比例系数$k$的符号决定，因此解题第一步是通过配方判断本题中比例系数$a^2+a+1$的正负，再结合反比例函数的性质逐一验证各选项即可。
【解析】
反比例函数的通用形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），本题中比例系数$k=a^2+a+1$。
1. 判断$k$的符号：
对$k$进行配方可得：
$a^2+a+1 = a^2+a+\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = (a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
根据平方的非负性，$(a+\frac{1}{2})^2≥0$，因此$(a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$k＞0$。
2. 逐一分析选项：
A选项：当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、第三象限，说法正确；
B选项：$k＞0$时，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，选项未限定“在每个象限内”，表述错误；
C选项：$k＞0$时图象在一、三象限，不是二、四象限，说法错误；
D选项：$k＞0$时同一象限内$y$随$x$增大而减小，且选项未限定象限，表述错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质、配方法的应用、非负数的性质
【点评】
这道题是反比例函数性质的基础应用题，易错点在于忽略反比例函数增减性的适用前提“在同一象限内”，解题的核心是准确判断比例系数的符号。
【难度系数】
0.7
3 [2025 连云港]如图,正比例函数 $ y = k_1x $（$ k_1 ＜ 0 $）的图象与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $（$ k_2 ＜ 0 $）的图象相交于A,B两点,点A的横坐标为-1,当 $ k_1x ＜ \frac{k_2}{x} $ 时,x的取值范围是 （
A.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 1 $
B.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
C
）A.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 1 $
B.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
答案
3.C
解析
【分析】
首先，正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此两函数的交点A、B也关于原点对称，已知点A的横坐标为-1，可推出点B的横坐标为1。不等式$k_1x ＜ \frac{k_2}{x}$的几何意义是同一x值下，正比例函数的函数值小于反比例函数的函数值，即正比例函数图象位于反比例函数图象下方的区域，我们只需分x＜0和x＞0两个区间观察图象位置，就能得到对应的x的取值范围，注意反比例函数自变量x不能为0。
【解析】
1. 求交点B的横坐标：
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴ 两图象的交点A、B关于原点对称，
∵ 点A的横坐标为-1，
∴ 点B的横坐标为1。
2. 结合图象分析不等式的解集：
不等式$k_1x ＜ \frac{k_2}{x}$对应正比例函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围，分区间观察：
① 当$x＜0$时，在$-1＜x＜0$区间内，正比例函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
② 当$x＞0$时，在$x＞1$区间内，正比例函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式。
综上，x的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，函数图象与不等式关系，中心对称的性质
【点评】
本题属于函数图象的常考题型，解题的关键是利用函数的对称性得到两个交点的横坐标，再将不等式的大小关系转化为图象的上下位置关系，分区间讨论即可得到解集，解题时要注意反比例函数自变量不为0，避免漏考虑区间。
【难度系数】
0.7
首先，正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此两函数的交点A、B也关于原点对称，已知点A的横坐标为-1，可推出点B的横坐标为1。不等式$k_1x ＜ \frac{k_2}{x}$的几何意义是同一x值下，正比例函数的函数值小于反比例函数的函数值，即正比例函数图象位于反比例函数图象下方的区域，我们只需分x＜0和x＞0两个区间观察图象位置，就能得到对应的x的取值范围，注意反比例函数自变量x不能为0。
【解析】
1. 求交点B的横坐标：
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴ 两图象的交点A、B关于原点对称，
∵ 点A的横坐标为-1，
∴ 点B的横坐标为1。
2. 结合图象分析不等式的解集：
不等式$k_1x ＜ \frac{k_2}{x}$对应正比例函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围，分区间观察：
① 当$x＜0$时，在$-1＜x＜0$区间内，正比例函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
② 当$x＞0$时，在$x＞1$区间内，正比例函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式。
综上，x的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，函数图象与不等式关系，中心对称的性质
【点评】
本题属于函数图象的常考题型，解题的关键是利用函数的对称性得到两个交点的横坐标，再将不等式的大小关系转化为图象的上下位置关系，分区间讨论即可得到解集，解题时要注意反比例函数自变量不为0，避免漏考虑区间。
【难度系数】
0.7
4 如图，函数 $y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$ 的图象与正方形ABCO的边交于点P，Q。若P为AB的中点，则正方形ABCO的边长为（
A.8
B.6
C.5
D.4
D
）A.8
B.6
C.5
D.4
答案
4.D
解析
【分析】
我们可以先设正方形的边长为a，根据正方形的性质可推出各顶点的坐标，再结合P是AB中点的条件写出点P的坐标，由于点P在反比例函数图象上，其坐标满足反比例函数解析式，将点P坐标代入解析式列方程求解，即可得到正方形的边长。
【解析】
设正方形ABCO的边长为a。
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=a，AB平行于x轴，点B的坐标为$(a,a)$。
∵P是AB的中点，
∴点P的横坐标为$\frac{a}{2}$，纵坐标为a，即$P(\frac{a}{2},a)$。
∵点P在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$P(\frac{a}{2},a)$代入解析式得：$a=\frac{8}{\frac{a}{2}}$，
整理得：$a^2=16$，
∵a为正方形边长，是正数，
∴解得$a=4$，即正方形ABCO的边长为4。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的基础题，解题核心是利用几何图形的性质表示出函数图象上点的坐标，再代入函数解析式建立方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
我们可以先设正方形的边长为a，根据正方形的性质可推出各顶点的坐标，再结合P是AB中点的条件写出点P的坐标，由于点P在反比例函数图象上，其坐标满足反比例函数解析式，将点P坐标代入解析式列方程求解，即可得到正方形的边长。
【解析】
设正方形ABCO的边长为a。
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=a，AB平行于x轴，点B的坐标为$(a,a)$。
∵P是AB的中点，
∴点P的横坐标为$\frac{a}{2}$，纵坐标为a，即$P(\frac{a}{2},a)$。
∵点P在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$P(\frac{a}{2},a)$代入解析式得：$a=\frac{8}{\frac{a}{2}}$，
整理得：$a^2=16$，
∵a为正方形边长，是正数，
∴解得$a=4$，即正方形ABCO的边长为4。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的基础题，解题核心是利用几何图形的性质表示出函数图象上点的坐标，再代入函数解析式建立方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
5 若双曲线 $ y=\frac{k-1}{x} $ 与直线 $ y=-3x $ 无交点，
则k的取值范围是
则k的取值范围是
$k＞1$
。答案
5.$k＞1$
解析
【分析】
要解决双曲线与直线无交点的问题，有两种符合九年级知识要求的思考方向：一是从图象象限判断，直线$y=-3x$经过第二、四象限，若反比例函数图象在第一、三象限，二者就没有交点；二是联立两个函数解析式，将图象无交点转化为联立后的方程无实数解，再根据方程特点求解$k$的范围，联立方程的方法适用性更广。
【解析】
步骤1：联立两个函数的解析式，将$y=-3x$代入反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$中，可得：
$-3x = \frac{k-1}{x}$
步骤2：由于反比例函数中$x≠0$，给等式两边同时乘$x$消去分母，整理得：
$3x^2 = 1 - k$
步骤3：两个函数图象无交点，说明上述关于$x$的方程没有实数解。因为对任意实数$x$，$3x^2 ≥ 0$恒成立，要使方程无解，需等式右边小于0，即：
$1 - k ＜ 0$
步骤4：解不等式得：$k ＞ 1$
【答案】
$k＞1$
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质；函数交点与方程解的关系
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，既可以通过分析两类函数图象所在的象限快速求解，也可以通过联立方程转化为方程有无实根的问题解答，解题时要注意反比例函数自变量$x$不为0的隐含条件，熟练掌握函数系数与图象象限的对应关系能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要解决双曲线与直线无交点的问题，有两种符合九年级知识要求的思考方向：一是从图象象限判断，直线$y=-3x$经过第二、四象限，若反比例函数图象在第一、三象限，二者就没有交点；二是联立两个函数解析式，将图象无交点转化为联立后的方程无实数解，再根据方程特点求解$k$的范围，联立方程的方法适用性更广。
【解析】
步骤1：联立两个函数的解析式，将$y=-3x$代入反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$中，可得：
$-3x = \frac{k-1}{x}$
步骤2：由于反比例函数中$x≠0$，给等式两边同时乘$x$消去分母，整理得：
$3x^2 = 1 - k$
步骤3：两个函数图象无交点，说明上述关于$x$的方程没有实数解。因为对任意实数$x$，$3x^2 ≥ 0$恒成立，要使方程无解，需等式右边小于0，即：
$1 - k ＜ 0$
步骤4：解不等式得：$k ＞ 1$
【答案】
$k＞1$
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质；函数交点与方程解的关系
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，既可以通过分析两类函数图象所在的象限快速求解，也可以通过联立方程转化为方程有无实根的问题解答，解题时要注意反比例函数自变量$x$不为0的隐含条件，熟练掌握函数系数与图象象限的对应关系能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6 已知 y 是 x 的反比例函数，其部分对应值如下表：
x … -2 -1 1 2 …
y … a
m n …
如果 $ a ＜ b $，那么 $ m $
x … -2 -1 1 2 …
y … a
m n …如果 $ a ＜ b $，那么 $ m $
＜
$ n $（填“＞”“＜”或“=”）答案
6.＜
解析
【分析】
要判断m和n的大小，需先确定反比例函数比例系数k的符号，再利用反比例函数的单调性分析。首先回忆反比例函数性质：对于$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，k＞0时每个象限内y随x增大而减小，k＜0时每个象限内y随x增大而增大。观察表格中x=-2、x=-1的对应值，x从-2增大到-1时，y从a增大到b（a＜b），说明x＜0的分支上y随x增大而增大，可推出k＜0。再看x=1、x=2都属于x＞0的分支，k＜0时该分支y也随x增大而增大，结合1＜2即可判断m和n的大小关系。
【解析】
设该反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
1. 判断k的符号：
已知当$x=-2$时$y=a$，$x=-1$时$y=b$，$\because -2 ＜ -1$且$a ＜ b$，即x在负区间增大时，y也增大，$\therefore k ＜ 0$。
2. 比较m和n的大小：
当$k＜0$时，反比例函数在x＞0的象限内，y随x的增大而增大。
$\because 1 ＜ 2$，$\therefore$ 当x=1时的函数值m小于x=2时的函数值n，即$m ＜ n$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先通过负区间的函数值变化规律确定k的符号，再利用同一象限内的增减性比较正区间的函数值，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.7
要判断m和n的大小，需先确定反比例函数比例系数k的符号，再利用反比例函数的单调性分析。首先回忆反比例函数性质：对于$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，k＞0时每个象限内y随x增大而减小，k＜0时每个象限内y随x增大而增大。观察表格中x=-2、x=-1的对应值，x从-2增大到-1时，y从a增大到b（a＜b），说明x＜0的分支上y随x增大而增大，可推出k＜0。再看x=1、x=2都属于x＞0的分支，k＜0时该分支y也随x增大而增大，结合1＜2即可判断m和n的大小关系。
【解析】
设该反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
1. 判断k的符号：
已知当$x=-2$时$y=a$，$x=-1$时$y=b$，$\because -2 ＜ -1$且$a ＜ b$，即x在负区间增大时，y也增大，$\therefore k ＜ 0$。
2. 比较m和n的大小：
当$k＜0$时，反比例函数在x＞0的象限内，y随x的增大而增大。
$\because 1 ＜ 2$，$\therefore$ 当x=1时的函数值m小于x=2时的函数值n，即$m ＜ n$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先通过负区间的函数值变化规律确定k的符号，再利用同一象限内的增减性比较正区间的函数值，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.7
7[2025辽宁]在电压不变的情况下，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系。已知当$R=4$时，$I=5$，电压不变，则$I$与$R$之间的函数解析式为$I=$
$\frac{20}{R}$
。答案
7.$\frac{20}{R}$
解析
【分析】
首先明确题目给出I与R是反比例函数关系，我们可以先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），因此先设出I与R的反比例函数解析式；再利用题干给出的$R=4$、$I=5$这组对应值，通过待定系数法代入解析式求出常数$k$；最后将$k$代回所设解析式，即可得到最终的函数关系式。
【解析】
解：
∵电压不变时，电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设I与R的函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k$为常数，$k≠0$）。
把$R=4$，$I=5$代入解析式，可得：
$5=\frac{k}{4}$
解得$k=5×4=20$。
将$k=20$代入所设解析式，得$I=\frac{20}{R}$（$R＞0$）。
【答案】
$\frac{20}{R}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，结合题干给出的对应值即可快速求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
首先明确题目给出I与R是反比例函数关系，我们可以先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），因此先设出I与R的反比例函数解析式；再利用题干给出的$R=4$、$I=5$这组对应值，通过待定系数法代入解析式求出常数$k$；最后将$k$代回所设解析式，即可得到最终的函数关系式。
【解析】
解：
∵电压不变时，电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设I与R的函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k$为常数，$k≠0$）。
把$R=4$，$I=5$代入解析式，可得：
$5=\frac{k}{4}$
解得$k=5×4=20$。
将$k=20$代入所设解析式，得$I=\frac{20}{R}$（$R＞0$）。
【答案】
$\frac{20}{R}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，结合题干给出的对应值即可快速求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
8 如图,函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过$□ ABCD$对角线的交点P.已知点A,C,D在坐标轴上,$BD⊥ DC$,$□ ABCD$的面积为8,则$k=$
-4
.答案
8.-4
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质和坐标轴、$BD⊥ DC$的特点，用坐标表示出各个顶点的位置，再利用平行四边形对角线互相平分的性质求出对角线交点P的坐标，然后根据平行四边形的面积得到坐标间的数量关系，最后将P点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
设点$D$的坐标为$(m,0)$（$m＜0$），点$B$的纵坐标为$n$（$n＞0$）。
因为$BD⊥ DC$，$DC$在$x$轴上，故$BD$垂直$x$轴，可得点$B$坐标为$(m,n)$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AB// CD$，点$A$在$y$轴上，所以$A$点纵坐标与$B$点相同，即$A(0,n)$，且$AB=CD$。
$AB$的长度为$0-m=-m$，因此$CD=-m$，可得点$C$坐标为$(2m,0)$。
根据平行四边形对角线互相平分，$P$是$AC$的中点，故$P$点坐标为$(\frac{0+2m}{2},\frac{n+0}{2})=(m,\frac{n}{2})$。
已知$□ ABCD$的面积为8，由面积公式得：$CD× BD=(-m)× n=8$，即$mn=-8$。
因为点$P$在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，将$P(m,\frac{n}{2})$代入解析式得：$\frac{n}{2}=\frac{k}{m}$，整理得$k=\frac{mn}{2}$。
将$mn=-8$代入，得$k=\frac{-8}{2}=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的综合题，核心是通过坐标法建立几何性质和函数解析式的关联，解题的突破口是利用平行四边形对角线平分的性质得到交点P的坐标，整体解题思路清晰，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行四边形的性质和坐标轴、$BD⊥ DC$的特点，用坐标表示出各个顶点的位置，再利用平行四边形对角线互相平分的性质求出对角线交点P的坐标，然后根据平行四边形的面积得到坐标间的数量关系，最后将P点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
设点$D$的坐标为$(m,0)$（$m＜0$），点$B$的纵坐标为$n$（$n＞0$）。
因为$BD⊥ DC$，$DC$在$x$轴上，故$BD$垂直$x$轴，可得点$B$坐标为$(m,n)$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AB// CD$，点$A$在$y$轴上，所以$A$点纵坐标与$B$点相同，即$A(0,n)$，且$AB=CD$。
$AB$的长度为$0-m=-m$，因此$CD=-m$，可得点$C$坐标为$(2m,0)$。
根据平行四边形对角线互相平分，$P$是$AC$的中点，故$P$点坐标为$(\frac{0+2m}{2},\frac{n+0}{2})=(m,\frac{n}{2})$。
已知$□ ABCD$的面积为8，由面积公式得：$CD× BD=(-m)× n=8$，即$mn=-8$。
因为点$P$在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，将$P(m,\frac{n}{2})$代入解析式得：$\frac{n}{2}=\frac{k}{m}$，整理得$k=\frac{mn}{2}$。
将$mn=-8$代入，得$k=\frac{-8}{2}=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的综合题，核心是通过坐标法建立几何性质和函数解析式的关联，解题的突破口是利用平行四边形对角线平分的性质得到交点P的坐标，整体解题思路清晰，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
9 如图，正比例函数的图象与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且AC=OA，则△ABC的面积为
8
。答案
9.8
解析
【分析】
解题时首先结合正比例函数与反比例函数的交点性质，可知A、B两点关于原点对称；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合反比例函数k的几何意义求出△AOC的面积；最后根据A、B的对称性可知△BOC与△AOC面积相等，两者相加即可得到△ABC的面积。
【解析】
解：过点A作AD⊥x轴于点D。
1. 由正比例函数与反比例函数的图象性质可知，两函数的交点A、B关于原点O对称，因此点B到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，即$|y_A|=|y_B|$。
2. 因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，由反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 已知$AC=OA$，$AD⊥ OC$，根据等腰三角形三线合一的性质，D为OC的中点，因此$OC=2OD$，故$S_{△ AOC}=2S_{△ AOD}=2×2=4$。
4. 由于$△ BOC$和$△ AOC$同底OC，且高相等（$|y_A|=|y_B|$），因此$S_{△ BOC}=S_{△ AOC}=4$。
5. 所以$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=4+4=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义、正比例函数与反比例函数交点的对称特性，结合等腰三角形的性质可快速简化面积计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正比例函数与反比例函数的交点性质，可知A、B两点关于原点对称；再利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合反比例函数k的几何意义求出△AOC的面积；最后根据A、B的对称性可知△BOC与△AOC面积相等，两者相加即可得到△ABC的面积。
【解析】
解：过点A作AD⊥x轴于点D。
1. 由正比例函数与反比例函数的图象性质可知，两函数的交点A、B关于原点O对称，因此点B到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，即$|y_A|=|y_B|$。
2. 因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，由反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 已知$AC=OA$，$AD⊥ OC$，根据等腰三角形三线合一的性质，D为OC的中点，因此$OC=2OD$，故$S_{△ AOC}=2S_{△ AOD}=2×2=4$。
4. 由于$△ BOC$和$△ AOC$同底OC，且高相等（$|y_A|=|y_B|$），因此$S_{△ BOC}=S_{△ AOC}=4$。
5. 所以$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=4+4=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义、正比例函数与反比例函数交点的对称特性，结合等腰三角形的性质可快速简化面积计算。
【难度系数】
0.6
三、解答题
10 [2025安徽]如图，在平面直角坐标系中，直线$y=ax+4(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象交于A，B两点。已知点A，B的横坐标分别为6和2。
(1) 求$a$与$k$的值；
(2) 设直线AB与$x$轴、$y$轴的交点分别为C，D，求$△ COD$的面积。
10 [2025安徽]如图，在平面直角坐标系中，直线$y=ax+4(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象交于A，B两点。已知点A，B的横坐标分别为6和2。
(1) 求$a$与$k$的值；
(2) 设直线AB与$x$轴、$y$轴的交点分别为C，D，求$△ COD$的面积。
答案
10. (1) 由题意,得$\begin{cases}6a+4=\dfrac{k}{6},\\2a+4=\dfrac{k}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\k=6\end{cases}$
(2) 由(1)知,直线 AB 对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+4$. 令 $y=0$,得 $x=8$,$\therefore OC=8$. 令 $x=0$,得 $y=4$,$\therefore OD=4$. $\therefore △ COD$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}OC· OD=\dfrac{1}{2}×8×4=16$
(2) 由(1)知,直线 AB 对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+4$. 令 $y=0$,得 $x=8$,$\therefore OC=8$. 令 $x=0$,得 $y=4$,$\therefore OD=4$. $\therefore △ COD$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}OC· OD=\dfrac{1}{2}×8×4=16$
解析
【分析】
(1) 解题思路：A、B是直线与反比例函数的交点，因此两点坐标同时满足两个函数的解析式。已知两点横坐标分别为6和2，将横坐标分别代入两个解析式，对应y值相等，即可得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组就能求出a和k的值。
(2) 解题思路：要计算△COD的面积，需先得到OC、OD的长度。先根据第(1)问求出的a值写出直线AB的解析式，分别令x=0、y=0，求出直线与y轴、x轴的交点坐标，即可得到OD、OC的长度，再利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，点A、B同时在直线$y=ax+4$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将两点横坐标分别代入得：
$\begin{cases}6a+4=\dfrac{k}{6}\\2a+4=\dfrac{k}{2}\end{cases}$
解方程组：
对第二个方程两边同乘6得$12a+24=3k$，对第一个方程两边同乘6得$36a+24=k$，将$k=36a+24$代入$12a+24=3k$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，再代入计算得$k=6$。
(2) 由(1)可知直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$：
① 令$y=0$，得$0=-\dfrac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，即点C坐标为$(8,0)$，故$OC=8$；
② 令$x=0$，得$y=4$，即点D坐标为$(0,4)$，故$OD=4$。
因为∠COD是直角，因此△COD的面积为：
$S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}×OC×OD=\dfrac{1}{2}×8×4=16$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}\\k=6\end{cases}$
(2) $16$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解法；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查点为“函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式”，解题时只需将已知条件代入解析式列式求解即可，计算难度较低，是函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：A、B是直线与反比例函数的交点，因此两点坐标同时满足两个函数的解析式。已知两点横坐标分别为6和2，将横坐标分别代入两个解析式，对应y值相等，即可得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组就能求出a和k的值。
(2) 解题思路：要计算△COD的面积，需先得到OC、OD的长度。先根据第(1)问求出的a值写出直线AB的解析式，分别令x=0、y=0，求出直线与y轴、x轴的交点坐标，即可得到OD、OC的长度，再利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，点A、B同时在直线$y=ax+4$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将两点横坐标分别代入得：
$\begin{cases}6a+4=\dfrac{k}{6}\\2a+4=\dfrac{k}{2}\end{cases}$
解方程组：
对第二个方程两边同乘6得$12a+24=3k$，对第一个方程两边同乘6得$36a+24=k$，将$k=36a+24$代入$12a+24=3k$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，再代入计算得$k=6$。
(2) 由(1)可知直线AB的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$：
① 令$y=0$，得$0=-\dfrac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，即点C坐标为$(8,0)$，故$OC=8$；
② 令$x=0$，得$y=4$，即点D坐标为$(0,4)$，故$OD=4$。
因为∠COD是直角，因此△COD的面积为：
$S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}×OC×OD=\dfrac{1}{2}×8×4=16$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}\\k=6\end{cases}$
(2) $16$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解法；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查点为“函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式”，解题时只需将已知条件代入解析式列式求解即可，计算难度较低，是函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
