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1 如图所示为一蓄水池的排水速度$v(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})$关于排完水池中的水所用时间$t(\mathrm{h})$的函数图象.若要用5 h排完池中的水,则排水速度应为
9.6
$\mathrm{m}^3/\mathrm{h}$.答案
9.6
解析
【分析】蓄水池的总水量是固定不变的，因此排水速度$v$与排水时间$t$成反比例关系，二者的乘积等于总水量（定值）。我们可以先通过图像上的已知点求出总水量，再代入$t=5\mathrm{h}$计算对应的排水速度。
【解析】设排水速度$v$与时间$t$的函数关系式为$v=\frac{k}{t}$（$k$为常数，$k≠0$）。
由图像可知，当$t=12\mathrm{h}$时，$v=4\mathrm{m}^3/\mathrm{h}$，将其代入函数关系式得：
$4=\frac{k}{12}$，解得$k=4×12=48$，
因此函数解析式为$v=\frac{48}{t}$。
当$t=5\mathrm{h}$时，代入解析式得：$v=\frac{48}{5}=9.6$（$\mathrm{m}^3/\mathrm{h}$）。
【答案】9.6
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的基础应用题，核心是利用“总水量不变”确定$v$与$t$的反比例关系，通过待定系数法求解解析式后代入计算，思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】设排水速度$v$与时间$t$的函数关系式为$v=\frac{k}{t}$（$k$为常数，$k≠0$）。
由图像可知，当$t=12\mathrm{h}$时，$v=4\mathrm{m}^3/\mathrm{h}$，将其代入函数关系式得：
$4=\frac{k}{12}$，解得$k=4×12=48$，
因此函数解析式为$v=\frac{48}{t}$。
当$t=5\mathrm{h}$时，代入解析式得：$v=\frac{48}{5}=9.6$（$\mathrm{m}^3/\mathrm{h}$）。
【答案】9.6
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的基础应用题，核心是利用“总水量不变”确定$v$与$t$的反比例关系，通过待定系数法求解解析式后代入计算，思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
2 由于路况、季节、天气等因素，从甲地开往乙地的列车的平均速度在 250～360 km/h 之间变化，该列车运行全程所需要的时间 t(h)与运行的平均速度 v(km/h)满足如图所示的函数关系。列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时，运行全程所需要的时间相差
2.2
h.答案
2.2
解析
【分析】
列车运行的路程固定，因此时间$ t $与平均速度$ v $成反比例关系，可设函数解析式为$ t=\frac{k}{v} $（$ k $为常数，代表甲乙两地路程）。根据图像给出的对应值求出常数$ k $，得到函数解析式后，结合速度范围找到最大、最小速度，代入解析式求出对应时间，最后计算时间差即可。
【解析】
因为列车运行的路程固定，所以$ t $与$ v $成反比例函数关系，设$ t=\frac{k}{v} $（$ k≠0 $）。
将$ v=300\ \mathrm{km/h} $，$ t=6\ \mathrm{h} $代入解析式，得：
$ 6=\frac{k}{300} $，解得$ k=1800 $，因此函数解析式为$ t=\frac{1800}{v} $。
已知速度范围为$ 250\ \mathrm{km/h}≤v≤360\ \mathrm{km/h} $：
当$ v $最大（$ v=360\ \mathrm{km/h} $）时，$ t_1=\frac{1800}{360}=5\ \mathrm{h} $；
当$ v $最小（$ v=250\ \mathrm{km/h} $）时，$ t_2=\frac{1800}{250}=7.2\ \mathrm{h} $；
时间差为$ t_2 - t_1=7.2 -5=2.2\ \mathrm{h} $。
【答案】
2.2
【知识点】
反比例函数应用、路程速度时间关系
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是根据图像确定函数解析式，再代入计算差值，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
列车运行的路程固定，因此时间$ t $与平均速度$ v $成反比例关系，可设函数解析式为$ t=\frac{k}{v} $（$ k $为常数，代表甲乙两地路程）。根据图像给出的对应值求出常数$ k $，得到函数解析式后，结合速度范围找到最大、最小速度，代入解析式求出对应时间，最后计算时间差即可。
【解析】
因为列车运行的路程固定，所以$ t $与$ v $成反比例函数关系，设$ t=\frac{k}{v} $（$ k≠0 $）。
将$ v=300\ \mathrm{km/h} $，$ t=6\ \mathrm{h} $代入解析式，得：
$ 6=\frac{k}{300} $，解得$ k=1800 $，因此函数解析式为$ t=\frac{1800}{v} $。
已知速度范围为$ 250\ \mathrm{km/h}≤v≤360\ \mathrm{km/h} $：
当$ v $最大（$ v=360\ \mathrm{km/h} $）时，$ t_1=\frac{1800}{360}=5\ \mathrm{h} $；
当$ v $最小（$ v=250\ \mathrm{km/h} $）时，$ t_2=\frac{1800}{250}=7.2\ \mathrm{h} $；
时间差为$ t_2 - t_1=7.2 -5=2.2\ \mathrm{h} $。
【答案】
2.2
【知识点】
反比例函数应用、路程速度时间关系
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是根据图像确定函数解析式，再代入计算差值，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
3 新情境 学科融合 已知压力$F$（N）、压强$p$（Pa）与受力面积$S$（$\mathrm{m}^2$）之间有如下关系：$F=pS$.当$F$为定值时，$p$与$S$之间的函数图象大致是（
D
）答案
D
解析
【分析】首先明确压强公式：当压力F为定值时，压强p与受力面积S满足$p=\frac{F}{S}$，二者成反比例关系。解题时需先确定函数类型，再结合自变量的取值范围（受力面积S为正数）判断图像特征，进而选出正确选项。
【解析】已知F为定值，由$p=\frac{F}{S}$可知，p与S是反比例函数关系，自变量S（受力面积）必须大于0，因此函数图像在第一象限，且随着S的增大，p逐渐减小。对四个选项逐一分析：A是一次函数递减图像，不符合反比例关系；B是一次函数递增图像，错误；C是递增曲线，不符合p随S增大而减小的规律；D是第一象限内递减的双曲线，符合p与S的反比例关系，故本题选D。
【答案】D
【知识点】压强与受力面积关系、反比例函数图像
【点评】本题为学科融合题，结合物理压强知识与数学反比例函数图像，考查公式应用和图像识别能力，属于基础类题目。
【难度系数】0.6
【解析】已知F为定值，由$p=\frac{F}{S}$可知，p与S是反比例函数关系，自变量S（受力面积）必须大于0，因此函数图像在第一象限，且随着S的增大，p逐渐减小。对四个选项逐一分析：A是一次函数递减图像，不符合反比例关系；B是一次函数递增图像，错误；C是递增曲线，不符合p随S增大而减小的规律；D是第一象限内递减的双曲线，符合p与S的反比例关系，故本题选D。
【答案】D
【知识点】压强与受力面积关系、反比例函数图像
【点评】本题为学科融合题，结合物理压强知识与数学反比例函数图像，考查公式应用和图像识别能力，属于基础类题目。
【难度系数】0.6
4 [2025湖北]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图
所示。当电阻大于9Ω时，电流可能是 （
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
所示。当电阻大于9Ω时，电流可能是 （A
）A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
答案
A
解析
【分析】
首先，根据题意可知电流I与电阻R成反比例关系，设反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值，即蓄电池电压）。结合图像上的已知点可求出定值电压，再利用反比例函数的增减性，判断当电阻大于9Ω时电流的范围，进而选出符合条件的选项。
【解析】
1. 设电流$I$与电阻$R$的反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（$U$为蓄电池电压，是定值）。
2. 将图像中的点$(9,4)$代入解析式，得$4=\frac{U}{9}$，解得$U=9×4=36$，因此函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
3. 由于反比例函数$I=\frac{36}{R}$中$k=36＞0$，在第一象限内，$I$随$R$的增大而减小。
4. 当$R=9\Omega$时，$I=4A$，所以当$R＞9\Omega$时，$I＜4A$。
5. 观察选项，只有A选项的3A满足$I＜4A$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用、欧姆定律
【点评】
本题结合反比例函数图像性质与欧姆定律，先确定函数解析式，再根据函数增减性判断取值范围，考查学生对反比例函数实际应用的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先，根据题意可知电流I与电阻R成反比例关系，设反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值，即蓄电池电压）。结合图像上的已知点可求出定值电压，再利用反比例函数的增减性，判断当电阻大于9Ω时电流的范围，进而选出符合条件的选项。
【解析】
1. 设电流$I$与电阻$R$的反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（$U$为蓄电池电压，是定值）。
2. 将图像中的点$(9,4)$代入解析式，得$4=\frac{U}{9}$，解得$U=9×4=36$，因此函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
3. 由于反比例函数$I=\frac{36}{R}$中$k=36＞0$，在第一象限内，$I$随$R$的增大而减小。
4. 当$R=9\Omega$时，$I=4A$，所以当$R＞9\Omega$时，$I＜4A$。
5. 观察选项，只有A选项的3A满足$I＜4A$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用、欧姆定律
【点评】
本题结合反比例函数图像性质与欧姆定律，先确定函数解析式，再根据函数增减性判断取值范围，考查学生对反比例函数实际应用的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.5
5 教材变式题 质量一定时，物体的体积$V(\mathrm{m}^3)$是其材料密度$\rho(\mathrm{kg/m}^3)$的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是 （
A.该物体的质量是16 kg
B.当$\rho=3.2$时，$V=6$
C.当$V≤10$时，$\rho≥3.2$
D.函数解析式为$V=\dfrac{21.6}{\rho}$
C
）A.该物体的质量是16 kg
B.当$\rho=3.2$时，$V=6$
C.当$V≤10$时，$\rho≥3.2$
D.函数解析式为$V=\dfrac{21.6}{\rho}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路是：首先根据题意设出体积$ V $与密度$ \rho $的反比例函数解析式，再结合图像上的已知点求出常数$ k $（对应物体质量），得到函数解析式后，逐一分析各选项的正确性。
【解析】
因为体积$ V $是密度$ \rho $的反比例函数，设其解析式为$ V = \frac{k}{\rho} $（$ k ≠ 0 $，$ k $为常数，对应物体的质量）。
由图像可知，当$ \rho = 1.6 \, \mathrm{kg/m}^3 $时，$ V = 20 \, \mathrm{m}^3 $，代入解析式得：
$ 20 = \frac{k}{1.6} $，解得$ k = 20 × 1.6 = 32 $，因此函数解析式为$ V = \frac{32}{\rho} $，物体质量为$ 32 \, \mathrm{kg} $。
对各选项分析如下：
选项A：物体质量为$ 32 \, \mathrm{kg} $，不是$ 16 \, \mathrm{kg} $，错误；
选项B：当$ \rho = 3.2 $时，$ V = \frac{32}{3.2} = 10 \, \mathrm{m}^3 $，不是$ 6 $，错误；
选项C：当$ V ≤ 10 $时，代入解析式得$ \frac{32}{\rho} ≤ 10 $，由于$ \rho ＞ 0 $，两边同乘$ \rho $得$ 32 ≤ 10\rho $，解得$ \rho ≥ 3.2 $，正确；
选项D：函数解析式为$ V = \frac{32}{\rho} $，不是$ V = \frac{21.6}{\rho} $，错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用，密度与体积、质量的关系
【点评】
本题结合物理中质量、体积、密度的关系考查反比例函数的应用，关键是利用图像确定反比例函数的解析式，再通过解析式分析选项，属于基础应用题，需明确反比例函数常数的物理意义。
【难度系数】
0.6
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路是：首先根据题意设出体积$ V $与密度$ \rho $的反比例函数解析式，再结合图像上的已知点求出常数$ k $（对应物体质量），得到函数解析式后，逐一分析各选项的正确性。
【解析】
因为体积$ V $是密度$ \rho $的反比例函数，设其解析式为$ V = \frac{k}{\rho} $（$ k ≠ 0 $，$ k $为常数，对应物体的质量）。
由图像可知，当$ \rho = 1.6 \, \mathrm{kg/m}^3 $时，$ V = 20 \, \mathrm{m}^3 $，代入解析式得：
$ 20 = \frac{k}{1.6} $，解得$ k = 20 × 1.6 = 32 $，因此函数解析式为$ V = \frac{32}{\rho} $，物体质量为$ 32 \, \mathrm{kg} $。
对各选项分析如下：
选项A：物体质量为$ 32 \, \mathrm{kg} $，不是$ 16 \, \mathrm{kg} $，错误；
选项B：当$ \rho = 3.2 $时，$ V = \frac{32}{3.2} = 10 \, \mathrm{m}^3 $，不是$ 6 $，错误；
选项C：当$ V ≤ 10 $时，代入解析式得$ \frac{32}{\rho} ≤ 10 $，由于$ \rho ＞ 0 $，两边同乘$ \rho $得$ 32 ≤ 10\rho $，解得$ \rho ≥ 3.2 $，正确；
选项D：函数解析式为$ V = \frac{32}{\rho} $，不是$ V = \frac{21.6}{\rho} $，错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用，密度与体积、质量的关系
【点评】
本题结合物理中质量、体积、密度的关系考查反比例函数的应用，关键是利用图像确定反比例函数的解析式，再通过解析式分析选项，属于基础应用题，需明确反比例函数常数的物理意义。
【难度系数】
0.6
6 新情境 学科融合 [2025 德阳]公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比，则杠杆平衡。后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂。已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m，当动力为1200 N时，动力臂是
0.5
m.答案
0.5
解析
【分析】首先明确题目给出的杠杆原理公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力、阻力臂和动力，要求动力臂，需将公式变形为“动力臂=（阻力×阻力臂）÷动力”，再代入已知数值计算即可。
【解析】根据杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，设动力臂为$ l $ m，代入已知数据得：$ 600×1 = 1200×l $，解得$ l = \frac{600×1}{1200} = 0.5 $ m。
【答案】0.5
【知识点】反比例函数的应用、杠杆原理
【点评】本题结合物理学科的杠杆原理，考查数学公式的变形与代入计算，属于基础跨学科应用题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，设动力臂为$ l $ m，代入已知数据得：$ 600×1 = 1200×l $，解得$ l = \frac{600×1}{1200} = 0.5 $ m。
【答案】0.5
【知识点】反比例函数的应用、杠杆原理
【点评】本题结合物理学科的杠杆原理，考查数学公式的变形与代入计算，属于基础跨学科应用题，难度较低。
【难度系数】0.8
7 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ(m)会随着电磁波的频率f(MHz)的变化而变化.已知λ与f是反比例函数关系，它们的部分对应值如下表：
(1)求λ关于f的函数解析式；
(2)当f=75时，求电磁波的波长.
(1)求λ关于f的函数解析式；
(2)当f=75时，求电磁波的波长.
答案
(1) 设λ关于f的函数解析式为$λ=\frac{k}{f}(k≠0).$
∵ 当$f=10$时,$λ=30,∴ 30=\frac{k}{10},$解得$k=300.∴ λ=\frac{300}{f}$
(2) 当$f=75$时,$λ=\frac{300}{75}=4,∴$ 当$f=75$时,电磁波的波长为4 m
∵ 当$f=10$时,$λ=30,∴ 30=\frac{k}{10},$解得$k=300.∴ λ=\frac{300}{f}$
(2) 当$f=75$时,$λ=\frac{300}{75}=4,∴$ 当$f=75$时,电磁波的波长为4 m
解析
【分析】
本题已知波长λ与频率f成反比例函数关系，解题思路为：①根据反比例函数的定义设出函数解析式$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$；②利用表格中给出的一组λ和f的对应值，代入解析式求出常数k，确定函数解析式；③将$f=75$代入已求出的解析式，计算对应的波长λ的值。
【解析】
(1) 因为λ与f是反比例函数关系，所以设λ关于f的函数解析式为$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$。
由表格可知，当$f=10\ \mathrm{MHz}$时，$λ=30\ \mathrm{m}$，将其代入解析式得：
$30=\frac{k}{10}$，解得$k=30×10=300$。
因此λ关于f的函数解析式为$λ=\frac{300}{f}$。
(2) 当$f=75\ \mathrm{MHz}$时，将其代入$λ=\frac{300}{f}$中，得：
$λ=\frac{300}{75}=4$，即当$f=75$时，电磁波的波长为4 m。
【答案】
(1) $λ=\frac{300}{f}$；(2) 4 m
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用题，解题核心是利用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值，难度适中，适合学生掌握。
【难度系数】
0.6
本题已知波长λ与频率f成反比例函数关系，解题思路为：①根据反比例函数的定义设出函数解析式$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$；②利用表格中给出的一组λ和f的对应值，代入解析式求出常数k，确定函数解析式；③将$f=75$代入已求出的解析式，计算对应的波长λ的值。
【解析】
(1) 因为λ与f是反比例函数关系，所以设λ关于f的函数解析式为$λ=\frac{k}{f}(k≠0)$。
由表格可知，当$f=10\ \mathrm{MHz}$时，$λ=30\ \mathrm{m}$，将其代入解析式得：
$30=\frac{k}{10}$，解得$k=30×10=300$。
因此λ关于f的函数解析式为$λ=\frac{300}{f}$。
(2) 当$f=75\ \mathrm{MHz}$时，将其代入$λ=\frac{300}{f}$中，得：
$λ=\frac{300}{75}=4$，即当$f=75$时，电磁波的波长为4 m。
【答案】
(1) $λ=\frac{300}{f}$；(2) 4 m
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用题，解题核心是利用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值，难度适中，适合学生掌握。
【难度系数】
0.6
