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1[中]如果抛物线$y=(a-2)x^2$开口向下，那么a的取值范围是（
A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＞-2$
D.$a＜-2$
B
）A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＞-2$
D.$a＜-2$
答案
1. B 【解析】
∵ 抛物线$y=(a-2)x^2$开口向下，
∴ a-2＜0,即 a＜2. 故选 B.
∵ 抛物线$y=(a-2)x^2$开口向下，
∴ a-2＜0,即 a＜2. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下。本题中抛物线的二次项系数为$(a-2)$，结合开口向下的条件可列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
∵ 抛物线$y=(a-2)x^2$开口向下，
∴ 二次项系数小于0，即$a-2＜0$，
解得$a＜2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质、一元一次不等式解法
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，主要考查抛物线开口方向和二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下。本题中抛物线的二次项系数为$(a-2)$，结合开口向下的条件可列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
∵ 抛物线$y=(a-2)x^2$开口向下，
∴ 二次项系数小于0，即$a-2＜0$，
解得$a＜2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质、一元一次不等式解法
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，主要考查抛物线开口方向和二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2 新考向开放性试题 [2024 北京海淀区期末，中]已知抛物线$y=x^2+x+m$与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是
-2(答案不唯一)
.(写出一个符合条件的值即可)答案
2. -2(答案不唯一) 【解析】当 x = 0 时，y = 0+0+m = m，
∴ 抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,m).
∵ 抛物线与 y 轴的交点在原点下方，
∴ m＜0,
∴ m 的值可以是-2. 故答案为-2(答案不唯一).
∴ 抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,m).
∵ 抛物线与 y 轴的交点在原点下方，
∴ m＜0,
∴ m 的值可以是-2. 故答案为-2(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数与y轴交点的求法：求函数图象与y轴的交点，只需将x=0代入函数解析式，得到的y值就是交点的纵坐标，即可确定交点坐标。再结合交点的位置条件“在原点下方”，原点的坐标为(0,0)，在原点下方意味着交点的纵坐标小于0，由此列出关于m的不等式，得到m的取值范围，最后在取值范围内任选一个整数m即可，本题答案不唯一，符合条件即可。
【解析】
当$x=0$时，代入抛物线解析式$y=x^2+x+m$，可得：
$y=0^2+0+m=m$
因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,m)$。
∵抛物线与y轴的交点在原点下方，
∴交点的纵坐标小于0，即$m＜0$。
又
∵m为整数，因此任取一个小于0的整数都符合要求，例如$m=-2$。
【答案】
-2（答案不唯一）
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、一元一次不等式应用
【点评】
本题是开放性基础题，侧重考察二次函数的基础性质，解题逻辑清晰，只要掌握函数与坐标轴交点的求解方法、平面直角坐标系中点的位置和坐标的对应关系，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数与y轴交点的求法：求函数图象与y轴的交点，只需将x=0代入函数解析式，得到的y值就是交点的纵坐标，即可确定交点坐标。再结合交点的位置条件“在原点下方”，原点的坐标为(0,0)，在原点下方意味着交点的纵坐标小于0，由此列出关于m的不等式，得到m的取值范围，最后在取值范围内任选一个整数m即可，本题答案不唯一，符合条件即可。
【解析】
当$x=0$时，代入抛物线解析式$y=x^2+x+m$，可得：
$y=0^2+0+m=m$
因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,m)$。
∵抛物线与y轴的交点在原点下方，
∴交点的纵坐标小于0，即$m＜0$。
又
∵m为整数，因此任取一个小于0的整数都符合要求，例如$m=-2$。
【答案】
-2（答案不唯一）
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、一元一次不等式应用
【点评】
本题是开放性基础题，侧重考察二次函数的基础性质，解题逻辑清晰，只要掌握函数与坐标轴交点的求解方法、平面直角坐标系中点的位置和坐标的对应关系，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
3[中]已知二次函数$y=x^2 -2mx +3$，当$x＞2$时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为
$m ≤ 2$
。答案
3. $m ≤ 2$ 【解析】抛物线的对称轴为直线 $x = -\frac{-2m}{2}=m.$
∵ 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ m≤2. 故答案为 $m ≤ 2$.
∵ 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ m≤2. 故答案为 $m ≤ 2$.
解析
【分析】
首先明确二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，左侧y随x的增大而减小。解题时第一步先求出该二次函数的对称轴，第二步结合“x＞2时y随x增大而增大”的条件，判断对称轴和x=2的位置关系：要保证x＞2的区域全部在对称轴右侧，即可得出m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=x^2 -2mx +3$中，$a=1$，$b=-2m$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{-2m}{2×1}=m$
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，当$x≥m$时，y随x的增大而增大。
又
∵ 当$x＞2$时，y随x的增大而增大，说明$x＞2$的区间全部在对称轴右侧，因此$m≤2$。
【答案】
$m ≤ 2$
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数的增减性，二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数增减性的典型基础题，解题核心是先根据二次项系数判断开口方向，再结合增减性要求确定对称轴的取值范围，解题时需注意边界值m=2是否符合题意，避免漏写等号。
【难度系数】
0.7
首先明确二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题二次项系数为1＞0，抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，左侧y随x的增大而减小。解题时第一步先求出该二次函数的对称轴，第二步结合“x＞2时y随x增大而增大”的条件，判断对称轴和x=2的位置关系：要保证x＞2的区域全部在对称轴右侧，即可得出m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=x^2 -2mx +3$中，$a=1$，$b=-2m$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{-2m}{2×1}=m$
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，当$x≥m$时，y随x的增大而增大。
又
∵ 当$x＞2$时，y随x的增大而增大，说明$x＞2$的区间全部在对称轴右侧，因此$m≤2$。
【答案】
$m ≤ 2$
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数的增减性，二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数增减性的典型基础题，解题核心是先根据二次项系数判断开口方向，再结合增减性要求确定对称轴的取值范围，解题时需注意边界值m=2是否符合题意，避免漏写等号。
【难度系数】
0.7
4[中]在平面直角坐标系中，已知点A(4,2)，B(4,4)，抛物线$L:y=-(x-t)^2+t(t≥0)$，当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是 (
A.$3≤ t≤4$
B.$5≤ t≤6$
C.$3≤ t≤4$或$t=6$
D.$3≤ t≤4$或$5≤ t≤6$
D
)A.$3≤ t≤4$
B.$5≤ t≤6$
C.$3≤ t≤4$或$t=6$
D.$3≤ t≤4$或$5≤ t≤6$
答案
4. D 【解析】把 A(4,2)代入 $y = -(x-t)^2 + t \ (t ≥ 0)$ 得 $2=-(4-t)^2 + t$,解得 t=3 或 t=6. 把 B(4,4)代入 $y = -(x-t)^2 + t \ (t ≥ 0)$ 得 $4=-(4-t)^2 + t$,解得 t=4 或 t=5. 如图
,结合图象可知,当 L 与线段 AB 有公共点时,t 的取值范围是 3≤t≤4 或 5≤t≤6,故选 D.解析
【分析】
首先观察线段AB的特征：点A、B横坐标均为4，纵坐标范围是2≤y≤4。要判断抛物线L与线段AB有公共点，可先将x=4代入抛物线解析式，得到y关于t的表达式，再分别代入A、B两点的纵坐标求出t的临界值，最后结合抛物线的开口方向和图象特点，确定t的取值范围即可。
【解析】
解：
∵线段AB的两个端点为A(4,2)、B(4,4)，
∴线段AB上所有点的横坐标均为4，纵坐标满足$2≤y≤4$。
将$x=4$代入抛物线$y=-(x-t)^2+t$，得：$y=-(4-t)^2+t$。
①当抛物线经过点A时，$y=2$，代入得：
$2=-(4-t)^2 + t$
整理得：$t^2 -9t +18=0$
因式分解得：$(t-3)(t-6)=0$
解得：$t_1=3$，$t_2=6$。
②当抛物线经过点B时，$y=4$，代入得：
$4=-(4-t)^2 + t$
整理得：$t^2 -9t +20=0$
因式分解得：$(t-4)(t-5)=0$
解得：$t_1=4$，$t_2=5$。
结合抛物线开口向下的图象特征，可得当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是$3≤ t≤4$或$5≤ t≤6$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程解法
【点评】
本题考查二次函数与线段的交点问题，解题时先通过代入端点坐标求出参数的临界值，再结合图象判断参数的取值范围，体现了数形结合思想的应用，属于二次函数的常见中档题型。
【难度系数】
0.6
首先观察线段AB的特征：点A、B横坐标均为4，纵坐标范围是2≤y≤4。要判断抛物线L与线段AB有公共点，可先将x=4代入抛物线解析式，得到y关于t的表达式，再分别代入A、B两点的纵坐标求出t的临界值，最后结合抛物线的开口方向和图象特点，确定t的取值范围即可。
【解析】
解：
∵线段AB的两个端点为A(4,2)、B(4,4)，
∴线段AB上所有点的横坐标均为4，纵坐标满足$2≤y≤4$。
将$x=4$代入抛物线$y=-(x-t)^2+t$，得：$y=-(4-t)^2+t$。
①当抛物线经过点A时，$y=2$，代入得：
$2=-(4-t)^2 + t$
整理得：$t^2 -9t +18=0$
因式分解得：$(t-3)(t-6)=0$
解得：$t_1=3$，$t_2=6$。
②当抛物线经过点B时，$y=4$，代入得：
$4=-(4-t)^2 + t$
整理得：$t^2 -9t +20=0$
因式分解得：$(t-4)(t-5)=0$
解得：$t_1=4$，$t_2=5$。
结合抛物线开口向下的图象特征
，可得当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是$3≤ t≤4$或$5≤ t≤6$，故选D。【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程解法
【点评】
本题考查二次函数与线段的交点问题，解题时先通过代入端点坐标求出参数的临界值，再结合图象判断参数的取值范围，体现了数形结合思想的应用，属于二次函数的常见中档题型。
【难度系数】
0.6
5[2025江西新余质检,中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过$(1,y_1),(-1,y_2)$两点.有以下结论:①若$y_1＞0$,则$a+b+c＞0$;②若$a+b=0$,则$y_1＜y_2$;③若$y_1＜0,y_2＞0$,则$b＜0$;④若$b=2a-1,c=a-3$,且$y_1＞0$,则抛物线的顶点一定在第三象限.其中结论正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5. C 【解析】①
∵ $y_1＞0$,
∴ 当 x = 1 时,$y_1 = a+b+c＞0$,故①正确. ②
∵ a+b=0,
∴ a=-b,
∴ 函数图象的对称轴是直线 $x = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2}$. 点(1,y₁)和点(-1,y₂)到对称轴x=1/2的距离分别是1/2和3/2，所以y₁＜y₂，②正确；③若y₁＜0,y₂＞0，即a+b+c＜0，a-b+c＞0，两式相减得2b＜0，即b＜0，③正确；④若b=2a-1,c=a-3，且y₁=a+b+c＞0，代入得a+2a-1+a-3＞0，解得a＞1，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-1}{2a}＜0$，顶点纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a(a-3)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{-8a-1}{4a}＜0$，故顶点在第三象限，④正确？不对，最终正确的共3个，故选C.
∵ $y_1＞0$,
∴ 当 x = 1 时,$y_1 = a+b+c＞0$,故①正确. ②
∵ a+b=0,
∴ a=-b,
∴ 函数图象的对称轴是直线 $x = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2}$. 点(1,y₁)和点(-1,y₂)到对称轴x=1/2的距离分别是1/2和3/2，所以y₁＜y₂，②正确；③若y₁＜0,y₂＞0，即a+b+c＜0，a-b+c＞0，两式相减得2b＜0，即b＜0，③正确；④若b=2a-1,c=a-3，且y₁=a+b+c＞0，代入得a+2a-1+a-3＞0，解得a＞1，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-1}{2a}＜0$，顶点纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a(a-3)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{-8a-1}{4a}＜0$，故顶点在第三象限，④正确？不对，最终正确的共3个，故选C.
解析
【分析】
解题时需要逐个判断4个结论的正误：首先利用二次函数图象上点的坐标特征，将x=1、x=-1分别代入函数解析式得到$y_1$、$y_2$的表达式，再结合每个结论给出的条件，通过计算对称轴、顶点坐标、作差比较大小、解不等式等方法逐一验证，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 分析结论①：当x=1时，代入二次函数解析式得$y_1=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，若$y_1＞0$，则$a+b+c＞0$，故①正确。
2. 分析结论②：若$a+b=0$，则$a=-b$，函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$。点$(1,y_1)$到对称轴的距离为$\frac{1}{2}$，点$(-1,y_2)$到对称轴的距离为$\frac{3}{2}$，但二次函数开口方向（即$a$的正负）未知：当$a＞0$时，开口向上，离对称轴越远函数值越大，$y_1＜y_2$；当$a＜0$时，开口向下，离对称轴越远函数值越小，$y_1＞y_2$，故无法确定$y_1$和$y_2$的大小，②错误。
3. 分析结论③：若$y_1＜0$，$y_2＞0$，则$\begin{cases}a+b+c＜0 \\ a-b+c＞0\end{cases}$，用第二个不等式减第一个不等式得：$(a-b+c)-(a+b+c) ＞ 0$，化简得$-2b＞0$，即$b＜0$，故③正确。
4. 分析结论④：将$b=2a-1$，$c=a-3$代入$y_1=a+b+c＞0$，得$a + 2a -1 + a -3 ＞ 0$，解得$a＞1$。
对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-1}{2a}=-1+\frac{1}{2a}$，因为$a＞1$，所以$0＜\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}$，故$x＜0$；
顶点纵坐标：$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4a(a-3)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{4a^2-12a-4a^2+4a-1}{4a}=\frac{-8a-1}{4a}$，因为$a＞1$，分子为负，分母为正，故纵坐标小于0。
顶点横、纵坐标均为负，故顶点在第三象限，④正确。
综上，正确的结论是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的顶点与对称轴；不等式的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的性质，需要结合代入求值、作差比较、公式计算等方法逐个验证结论，解题时要注意二次项系数$a$的正负会影响开口方向，进而影响函数值的大小比较，避免漏考虑条件导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解题时需要逐个判断4个结论的正误：首先利用二次函数图象上点的坐标特征，将x=1、x=-1分别代入函数解析式得到$y_1$、$y_2$的表达式，再结合每个结论给出的条件，通过计算对称轴、顶点坐标、作差比较大小、解不等式等方法逐一验证，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 分析结论①：当x=1时，代入二次函数解析式得$y_1=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，若$y_1＞0$，则$a+b+c＞0$，故①正确。
2. 分析结论②：若$a+b=0$，则$a=-b$，函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$。点$(1,y_1)$到对称轴的距离为$\frac{1}{2}$，点$(-1,y_2)$到对称轴的距离为$\frac{3}{2}$，但二次函数开口方向（即$a$的正负）未知：当$a＞0$时，开口向上，离对称轴越远函数值越大，$y_1＜y_2$；当$a＜0$时，开口向下，离对称轴越远函数值越小，$y_1＞y_2$，故无法确定$y_1$和$y_2$的大小，②错误。
3. 分析结论③：若$y_1＜0$，$y_2＞0$，则$\begin{cases}a+b+c＜0 \\ a-b+c＞0\end{cases}$，用第二个不等式减第一个不等式得：$(a-b+c)-(a+b+c) ＞ 0$，化简得$-2b＞0$，即$b＜0$，故③正确。
4. 分析结论④：将$b=2a-1$，$c=a-3$代入$y_1=a+b+c＞0$，得$a + 2a -1 + a -3 ＞ 0$，解得$a＞1$。
对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-1}{2a}=-1+\frac{1}{2a}$，因为$a＞1$，所以$0＜\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}$，故$x＜0$；
顶点纵坐标：$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4a(a-3)-(2a-1)^2}{4a}=\frac{4a^2-12a-4a^2+4a-1}{4a}=\frac{-8a-1}{4a}$，因为$a＞1$，分子为负，分母为正，故纵坐标小于0。
顶点横、纵坐标均为负，故顶点在第三象限，④正确。
综上，正确的结论是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的顶点与对称轴；不等式的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的性质，需要结合代入求值、作差比较、公式计算等方法逐个验证结论，解题时要注意二次项系数$a$的正负会影响开口方向，进而影响函数值的大小比较，避免漏考虑条件导致判断错误。
【难度系数】
0.6
6[中]抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0)$，且对称轴为直线$x=1$，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：
①$b=-2a$；
②$4a+2b+c＞0$；
③若$n＞m＞0$，则$x=1+m$时的函数值小于$x=1-n$时的函数值；
④点$(-\dfrac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上.
其中正确的结论是
①$b=-2a$；
②$4a+2b+c＞0$；
③若$n＞m＞0$，则$x=1+m$时的函数值小于$x=1-n$时的函数值；
④点$(-\dfrac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上.
其中正确的结论是
①②④
.(填序号)答案
6. ①②④ 【解析】
∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴ $-\frac{b}{2a}=1$，即b=-2a，故①正确；
∵ 抛物线经过点(-2,0)，对称轴为x=1，点(-2,0)关于x=1对称的点是(4,0)，抛物线在-2＜x＜4时图象在x轴上方，x=2在该区间内，故4a+2b+c＞0，②正确；
∵ n＞m＞0，
∴ 1+n＞1+m＞1，抛物线开口向下，x＞1时y随x增大而减小，
∴ x=1+m 时的函数值大于x=1+n 时的函数值，又1-n＜1，点1-n到对称轴x=1的距离是n，点1+m到对称轴的距离是m，n＞m，所以x=1+m 时的函数值大于 x=1-n 时的函数值，故③错误.
∵ b=-2a,抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 (-2,0),
∴ 0=4a-2b+c=4a+4a+c,即 c=-8a,
∴ $-\frac{c}{2a}=4.$
∵ 抛物线过点(4,0),
∴ 点 $(-\frac{c}{2a},0)$ 一定在此抛物线上,故④正确. 故答案为①②④.
∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴ $-\frac{b}{2a}=1$，即b=-2a，故①正确；
∵ 抛物线经过点(-2,0)，对称轴为x=1，点(-2,0)关于x=1对称的点是(4,0)，抛物线在-2＜x＜4时图象在x轴上方，x=2在该区间内，故4a+2b+c＞0，②正确；
∵ n＞m＞0，
∴ 1+n＞1+m＞1，抛物线开口向下，x＞1时y随x增大而减小，
∴ x=1+m 时的函数值大于x=1+n 时的函数值，又1-n＜1，点1-n到对称轴x=1的距离是n，点1+m到对称轴的距离是m，n＞m，所以x=1+m 时的函数值大于 x=1-n 时的函数值，故③错误.
∵ b=-2a,抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 (-2,0),
∴ 0=4a-2b+c=4a+4a+c,即 c=-8a,
∴ $-\frac{c}{2a}=4.$
∵ 抛物线过点(4,0),
∴ 点 $(-\frac{c}{2a},0)$ 一定在此抛物线上,故④正确. 故答案为①②④.
解析
【分析】
解题时结合已知的对称轴、抛物线过点$(-2,0)$、开口向下的特征，利用二次函数相关性质逐一判断四个结论：①直接用对称轴公式推导即可；②利用二次函数对称性求出与x轴的另一个交点，判断x=2时的函数值符号；③比较两个自变量对应的点到对称轴的距离，结合开口向下时离对称轴越远函数值越小的性质判断；④结合已知条件推导a与c的关系，求出$-\frac{c}{2a}$的值，结合交点坐标判断该点是否在抛物线上。
【解析】
解：①
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，故①正确；
②
∵抛物线过点$(-2,0)$，对称轴为直线$x=1$，根据二次函数的对称性，点$(-2,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(4,0)$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(4,0)$，因此当$-2＜x＜4$时，抛物线图象在x轴上方，函数值大于0。
∵$x=2$在$-2＜x＜4$范围内，
∴当$x=2$时，$y=4a+2b+c＞0$，故②正确；
③
∵抛物线开口向下，到对称轴距离越远的点函数值越小。已知$n＞m＞0$，则$x=1+m$到对称轴$x=1$的距离为$m$，$x=1-n$到对称轴$x=1$的距离为$n$，
∵$n＞m$，
∴$x=1-n$对应的点离对称轴更远，函数值更小，即$x=1+m$时的函数值大于$x=1-n$时的函数值，故③错误；
④由①得$b=-2a$，将点$(-2,0)$代入抛物线解析式得：$0=4a-2b+c$，把$b=-2a$代入得$0=4a+4a+c=8a+c$，即$c=-8a$，则$-\frac{c}{2a}=-\frac{-8a}{2a}=4$。由②知抛物线过点$(4,0)$，因此点$(-\frac{c}{2a},0)$即$(4,0)$一定在抛物线上，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的综合题，需要灵活运用对称轴公式、函数增减性、对称性等性质分析判断，解题时结合图象分析能更直观地得出结论，要注意准确辨析距离与函数值的对应关系等易混点。
【难度系数】
0.6
解题时结合已知的对称轴、抛物线过点$(-2,0)$、开口向下的特征，利用二次函数相关性质逐一判断四个结论：①直接用对称轴公式推导即可；②利用二次函数对称性求出与x轴的另一个交点，判断x=2时的函数值符号；③比较两个自变量对应的点到对称轴的距离，结合开口向下时离对称轴越远函数值越小的性质判断；④结合已知条件推导a与c的关系，求出$-\frac{c}{2a}$的值，结合交点坐标判断该点是否在抛物线上。
【解析】
解：①
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，故①正确；
②
∵抛物线过点$(-2,0)$，对称轴为直线$x=1$，根据二次函数的对称性，点$(-2,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(4,0)$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(4,0)$，因此当$-2＜x＜4$时，抛物线图象在x轴上方，函数值大于0。
∵$x=2$在$-2＜x＜4$范围内，
∴当$x=2$时，$y=4a+2b+c＞0$，故②正确；
③
∵抛物线开口向下，到对称轴距离越远的点函数值越小。已知$n＞m＞0$，则$x=1+m$到对称轴$x=1$的距离为$m$，$x=1-n$到对称轴$x=1$的距离为$n$，
∵$n＞m$，
∴$x=1-n$对应的点离对称轴更远，函数值更小，即$x=1+m$时的函数值大于$x=1-n$时的函数值，故③错误；
④由①得$b=-2a$，将点$(-2,0)$代入抛物线解析式得：$0=4a-2b+c$，把$b=-2a$代入得$0=4a+4a+c=8a+c$，即$c=-8a$，则$-\frac{c}{2a}=-\frac{-8a}{2a}=4$。由②知抛物线过点$(4,0)$，因此点$(-\frac{c}{2a},0)$即$(4,0)$一定在抛物线上，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的综合题，需要灵活运用对称轴公式、函数增减性、对称性等性质分析判断，解题时结合图象分析能更直观地得出结论，要注意准确辨析距离与函数值的对应关系等易混点。
【难度系数】
0.6
7[2025浙江杭州质检,中]在平面直角坐标系中,设二次函数$y_1=ax^2+bx+c$,$y_2=cx^2+bx+a$($a$, $b$,$c$是实数).
(1)若函数$y_1$的图象的对称轴为直线$x=1$,且经过点$(a,c)$,求$a$,$b$的值.
(2)设函数$y_1$的最大值为$m$,函数$y_2$的最小值为$n$,若$m+n=0$,求证:$a+c=0$.
(1)若函数$y_1$的图象的对称轴为直线$x=1$,且经过点$(a,c)$,求$a$,$b$的值.
(2)设函数$y_1$的最大值为$m$,函数$y_2$的最小值为$n$,若$m+n=0$,求证:$a+c=0$.
答案
7. (1)【解】
∵ 函数 $y_1$ 的图象的对称轴为直线 $x=1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=1$. ①
∵ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(a,c)$,
∴ $a × a^2 + ab + c = c$. ②
联立①②,解得 $\begin{cases} a=2, \\ b=-4 \end{cases}$(不合题意的解已舍去),即 a 的值为 2,b 的值为-4.
(2)【证明】
∵ 函数 $y_1$ 的最大值为 m,
∴ a＜0,$m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.
∵ 函数 $y_2$ 的最小值为 n,
∴ c＞0,$n=\frac{4ac-b^2}{4c}$,
∴ ac＜0.
∵ m+n=0,
∴ $\frac{4ac-b^2}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4c}=0$,
整理,得 $\frac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}=0$.
∵ ac＜0,
∴ $4ac-b^2＜0$,
∴ a+c=0.
∵ 函数 $y_1$ 的图象的对称轴为直线 $x=1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=1$. ①
∵ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(a,c)$,
∴ $a × a^2 + ab + c = c$. ②
联立①②,解得 $\begin{cases} a=2, \\ b=-4 \end{cases}$(不合题意的解已舍去),即 a 的值为 2,b 的值为-4.
(2)【证明】
∵ 函数 $y_1$ 的最大值为 m,
∴ a＜0,$m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.
∵ 函数 $y_2$ 的最小值为 n,
∴ c＞0,$n=\frac{4ac-b^2}{4c}$,
∴ ac＜0.
∵ m+n=0,
∴ $\frac{4ac-b^2}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4c}=0$,
整理,得 $\frac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}=0$.
∵ ac＜0,
∴ $4ac-b^2＜0$,
∴ a+c=0.
解析
【分析】
（1）求解a、b的值可利用二次函数性质列方程：①根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴为直线x=1可列出第一个关于a、b的方程；②点在函数图象上时坐标满足函数解析式，将点$(a,c)$代入$y_1$的解析式可列出第二个方程，联立方程求解，注意舍去二次项系数为0的不合理解即可。
（2）要证明$a+c=0$，先结合最值性质判断a、c的正负：二次函数有最大值说明开口向下（$a＜0$），有最小值说明开口向上（$c＞0$），再用顶点纵坐标公式分别写出m、n的表达式，根据$m+n=0$列等式整理，结合$ac＜0$以及判别式的正负，判断只有$a+c=0$时等式成立即可。
【解析】
(1) 解：
∵ 函数 $y_1$ 的图象的对称轴为直线 $x=1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=1$ ①
∵ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(a,c)$,
∴ $a · a^2 + ab + c = c$ ②
联立①②，将①中$b=-2a$代入②得$a^3-2a^2=0$，即$a^2(a-2)=0$，
∵ $y_1$是二次函数，$a≠0$，解得$a=2$，代入①得$b=-4$（不合题意的解已舍去）。
(2) 证明：
∵ 函数 $y_1$ 的最大值为 m，
∴ $a＜0$，最大值为顶点纵坐标$m=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
∵ 函数 $y_2$ 的最小值为 n，
∴ $c＞0$，最小值为顶点纵坐标$n=\frac{4ac-b^2}{4c}$，
∴ $ac＜0$。
∵ $m+n=0$，
∴ $\frac{4ac-b^2}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4c}=0$，
整理得 $\frac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}=0$。
∵ $ac＜0$，且$b^2≥0$，
∴ $4ac-b^2＜0$，
∴ $a+c=0$得证。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-4$；(2) $a+c=0$，证明成立。
【知识点】
二次函数对称轴公式，二次函数的最值，二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题结合方程思想考查二次函数的基本性质，解题关键是熟练掌握对称轴、最值的计算公式，理解二次函数开口方向与最值存在性的对应关系，是二次函数模块的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
（1）求解a、b的值可利用二次函数性质列方程：①根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴为直线x=1可列出第一个关于a、b的方程；②点在函数图象上时坐标满足函数解析式，将点$(a,c)$代入$y_1$的解析式可列出第二个方程，联立方程求解，注意舍去二次项系数为0的不合理解即可。
（2）要证明$a+c=0$，先结合最值性质判断a、c的正负：二次函数有最大值说明开口向下（$a＜0$），有最小值说明开口向上（$c＞0$），再用顶点纵坐标公式分别写出m、n的表达式，根据$m+n=0$列等式整理，结合$ac＜0$以及判别式的正负，判断只有$a+c=0$时等式成立即可。
【解析】
(1) 解：
∵ 函数 $y_1$ 的图象的对称轴为直线 $x=1$,
∴ $-\frac{b}{2a}=1$ ①
∵ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(a,c)$,
∴ $a · a^2 + ab + c = c$ ②
联立①②，将①中$b=-2a$代入②得$a^3-2a^2=0$，即$a^2(a-2)=0$，
∵ $y_1$是二次函数，$a≠0$，解得$a=2$，代入①得$b=-4$（不合题意的解已舍去）。
(2) 证明：
∵ 函数 $y_1$ 的最大值为 m，
∴ $a＜0$，最大值为顶点纵坐标$m=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
∵ 函数 $y_2$ 的最小值为 n，
∴ $c＞0$，最小值为顶点纵坐标$n=\frac{4ac-b^2}{4c}$，
∴ $ac＜0$。
∵ $m+n=0$，
∴ $\frac{4ac-b^2}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4c}=0$，
整理得 $\frac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}=0$。
∵ $ac＜0$，且$b^2≥0$，
∴ $4ac-b^2＜0$，
∴ $a+c=0$得证。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-4$；(2) $a+c=0$，证明成立。
【知识点】
二次函数对称轴公式，二次函数的最值，二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题结合方程思想考查二次函数的基本性质，解题关键是熟练掌握对称轴、最值的计算公式，理解二次函数开口方向与最值存在性的对应关系，是二次函数模块的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
