登录
1[2026安徽淮南期中,中]若$x_0$是关于$x$的方程$ax^2 + 2x + c = 0(a≠0)$的一个根,设$M=2-ac$,$N=(ax_0 + 1)^2$,则$M$与$N$的大小关系为 (
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定
A
)A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定
答案
1.A 【解析】由条件可知$ax_0^2+2x_0+c=0$,即$ax_0^2+2x_0=-c$.
∵ $N=(ax_0+1)^2=a^2x_0^2+2ax_0+1$,$M=2-ac$,
∴ $N-M=a^2x_0^2+2ax_0+1-(2-ac)=a^2x_0^2+2ax_0+ac-1=a(ax_0^2+2x_0)+ac-1=a(-c)+ac-1=-1＜0$,
∴ M＞N.故选A.
∵ $N=(ax_0+1)^2=a^2x_0^2+2ax_0+1$,$M=2-ac$,
∴ $N-M=a^2x_0^2+2ax_0+1-(2-ac)=a^2x_0^2+2ax_0+ac-1=a(ax_0^2+2x_0)+ac-1=a(-c)+ac-1=-1＜0$,
∴ M＞N.故选A.
2[2025 山东威海期末，中]若 $a, b, c$ 满足 $\begin{cases}a+b+c=0, \\4a-2b+c=0,\end{cases}$ 则关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两个根的平方和是（ ）
A.2
B.3
C.5
D.8
A.2
B.3
C.5
D.8
答案
2.C 【解析】
∵ a,b,c满足$\begin{cases}a+b+c=0, \\4a-2b+c=0,\end{cases}$
∴ 关于x的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=1$,$x_2=-2$,
∴ 关于x的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根的平方和为$1^2+(-2)^2=5$.故选C.
∵ a,b,c满足$\begin{cases}a+b+c=0, \\4a-2b+c=0,\end{cases}$
∴ 关于x的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=1$,$x_2=-2$,
∴ 关于x的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根的平方和为$1^2+(-2)^2=5$.故选C.
3 新考向 传统文化 [较难]《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如$x(x+5)=24$的方程的正数解，方法如下：如图，将四个长为$x+5$，宽为$x$的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，则大正方形的面积为$24×4+25=121$，边长为11，故得$x(x+5)=24$的正数解为$x=\frac{11-5}{2}=3$。小明按此方法解关于$x$的方程$x^2+mx-n=0$时，构造出同样的图形。已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\sqrt{5}-1$
A
）A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\sqrt{5}-1$
答案
3.A 【解析】
∵ $x^2+mx-n=0$,
∴ x(x+m)=n,
∴ 构造的图形中长方形的长为x+m,宽为x,
∴ 构造的图形中小正方形的边长为$x+m-x=m=\sqrt{4}=2$,大正方形的边长为$x+m+x=2x+m=\sqrt{12}$,
∴ $x=\frac{\sqrt{12}-2}{2}=\sqrt{3}-1$,故选A.
∵ $x^2+mx-n=0$,
∴ x(x+m)=n,
∴ 构造的图形中长方形的长为x+m,宽为x,
∴ 构造的图形中小正方形的边长为$x+m-x=m=\sqrt{4}=2$,大正方形的边长为$x+m+x=2x+m=\sqrt{12}$,
∴ $x=\frac{\sqrt{12}-2}{2}=\sqrt{3}-1$,故选A.
4[2026甘肃临夏质检,中]若$x=2027$是关于$x$的方程$ax^2+bx+1=0$的一个根,则关于$x$的方程$a(x+2)^2+bx+2b=-1$必有一个根为
$x=2025$
.答案
4.$x=2025$ 【解析】方程$a(x+2)^2+bx+2b=-1$变形为$a(x+2)^2+b(x+2)+1=0$.
∵ x=2027是关于x的方程$ax^2+bx+1=0$的一个根,
∴ x+2=2027是关于x+2的方程$a(x+2)^2+b(x+2)+1=0$的一个根,此时x=2025,即关于x的方程$a(x+2)^2+bx+2b=-1$必有一个根为x=2025.故答案为x=2025.
∵ x=2027是关于x的方程$ax^2+bx+1=0$的一个根,
∴ x+2=2027是关于x+2的方程$a(x+2)^2+b(x+2)+1=0$的一个根,此时x=2025,即关于x的方程$a(x+2)^2+bx+2b=-1$必有一个根为x=2025.故答案为x=2025.
5[中]如图,点O为数轴原点,点A与点C表示的数分别为1和3,宸宸在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC,BC=1,再以A为圆心,AB长为半径画圆,交数轴于D,E两点.莲莲说:“若D,E分别表示m和n,我发现$x=m$是一元二次方程$x^2+bx-4=0$的一个根.”琮琮说:“$x=n$一定不是此方程的根.”
(1)写出m与n表示的数.
(2)求出b的值.
(3)你认为琮琮说得对吗?为什么?
刷素养 走向重高
(1)写出m与n表示的数.
(2)求出b的值.
(3)你认为琮琮说得对吗?为什么?
刷素养 走向重高
答案
5.【解】(1)在Rt△ABC中,
∵ BC=1,AC=3-1=2,
∴ $AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,
∴ $AE=AD=AB=\sqrt{5}$.
∵ OA=1,
∴ $OE=AE-OA=\sqrt{5}-1$,$OD=AD+OA=\sqrt{5}+1$,
∴ D点表示的数为$\sqrt{5}+1$,即$m=\sqrt{5}+1$,E点表示的数为$-\sqrt{5}+1$,即$n=-\sqrt{5}+1$.
(2)把$x=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2+bx-4=0$得$(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}+1)b-4=0$,解得b=-2,即b的值为-2.
(3)琮琮说得不对.理由如下:把$x=-\sqrt{5}+1$代入方程得$(-\sqrt{5}+1)^2-2(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$,
∴ x=n一定是此方程的根.
∵ BC=1,AC=3-1=2,
∴ $AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,
∴ $AE=AD=AB=\sqrt{5}$.
∵ OA=1,
∴ $OE=AE-OA=\sqrt{5}-1$,$OD=AD+OA=\sqrt{5}+1$,
∴ D点表示的数为$\sqrt{5}+1$,即$m=\sqrt{5}+1$,E点表示的数为$-\sqrt{5}+1$,即$n=-\sqrt{5}+1$.
(2)把$x=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2+bx-4=0$得$(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}+1)b-4=0$,解得b=-2,即b的值为-2.
(3)琮琮说得不对.理由如下:把$x=-\sqrt{5}+1$代入方程得$(-\sqrt{5}+1)^2-2(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$,
∴ x=n一定是此方程的根.
6 思想方法 转化思想 [2025 江苏镇江期末,较难]
(1)观察下表中每个方程的解的特点:
猜想:方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0,b^2-4ac≥0)$的两个根与方程
(2)请证明你的猜想.(提示:采用“换元法”)
(1)观察下表中每个方程的解的特点:
猜想:方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0,b^2-4ac≥0)$的两个根与方程
$cx^2+bx+a=0$
的两个根互为倒数;(2)请证明你的猜想.(提示:采用“换元法”)
答案
6.(1)答案为$cx^2+bx+a=0$.
(2)【证明】由题易得x≠0,则$cx^2+bx+a=0$两边同除以$x^2$,得$\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x}+c=0$.设$y=\frac{1}{x}$,方程可变形为$ay^2+by+c=0$,设方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=m$,$x_2=n$,可得方程$ay^2+by+c=0$的解是$y_1=m$,$y_2=n$.把$y_1=m$代入$y=\frac{1}{x}$,得$x_1=\frac{1}{m}$;把$y_2=n$代入$y=\frac{1}{x}$,得$x_2=\frac{1}{n}$,所以方程$cx^2+bx+a=0$的解是$x_1=\frac{1}{m}$,$x_2=\frac{1}{n}$,即方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0,b^2-4ac≥0)$的两个根与方程$cx^2+bx+a=0$的两个根互为倒数.
(2)【证明】由题易得x≠0,则$cx^2+bx+a=0$两边同除以$x^2$,得$\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x}+c=0$.设$y=\frac{1}{x}$,方程可变形为$ay^2+by+c=0$,设方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=m$,$x_2=n$,可得方程$ay^2+by+c=0$的解是$y_1=m$,$y_2=n$.把$y_1=m$代入$y=\frac{1}{x}$,得$x_1=\frac{1}{m}$;把$y_2=n$代入$y=\frac{1}{x}$,得$x_2=\frac{1}{n}$,所以方程$cx^2+bx+a=0$的解是$x_1=\frac{1}{m}$,$x_2=\frac{1}{n}$,即方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0,b^2-4ac≥0)$的两个根与方程$cx^2+bx+a=0$的两个根互为倒数.
