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1[2025河南安阳质检]用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为 (
A.$x^2 -4=0$
B.$-2x^2=0$
C.$x^2 +3=0$
D.$x^2 -a=0(a＞0)$
C
)A.$x^2 -4=0$
B.$-2x^2=0$
C.$x^2 +3=0$
D.$x^2 -a=0(a＞0)$
答案
1.C 【解析】A选项,$x=±2$,有解,故不符合题意;B选项,$x=0$,有解,故不符合题意;C选项,方程无解,故符合题意;D选项,$x=±\sqrt{a}$,有解,故不符合题意.故选C.
2 新考向 开放性试题 [2026湖北孝感期中]如果关于x的方程$x^2 = m -1$可以用直接开平方法求解，那么m的值可能是
2(答案不唯一)
。答案
2.2(答案不唯一) 【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 = m-1$可以用直接开平方法求解,
∴ $m-1≥0$,解得$m≥1$,
∴ m的值可能是2(答案不唯一).
∵ 关于x的方程$x^2 = m-1$可以用直接开平方法求解,
∴ $m-1≥0$,解得$m≥1$,
∴ m的值可能是2(答案不唯一).
3 若一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$，则$\frac{b}{a}=$
4
.答案
3.4 【解析】由题意得两根不相等.
∵ $x^2=\frac{b}{a}$,
∴ $x=±\sqrt{\frac{b}{a}}$,
∴ 方程的两个根互为相反数,
∴ $m+1+2m-4=0$,解得$m=1$,
∴ 一元二次方程$ax^2=b$的两个根分别是2与-2,
∴ $\sqrt{\frac{b}{a}}=2$,
∴ $\frac{b}{a}=4$.故答案为4.
∵ $x^2=\frac{b}{a}$,
∴ $x=±\sqrt{\frac{b}{a}}$,
∴ 方程的两个根互为相反数,
∴ $m+1+2m-4=0$,解得$m=1$,
∴ 一元二次方程$ax^2=b$的两个根分别是2与-2,
∴ $\sqrt{\frac{b}{a}}=2$,
∴ $\frac{b}{a}=4$.故答案为4.
4 解方程:(1)$3x^2 - \frac{1}{27}=0$;(2)$2x^2 + 3 = -2x^2 + 4$.
答案
4.【解】(1)移项,得$3x^2=\frac{1}{27}$,二次项系数化为1,得$x^2=\frac{1}{81}$,根据平方根的意义,得$x=±\frac{1}{9}$,即$x_1=\frac{1}{9},x_2=-\frac{1}{9}$.
(2)移项、合并同类项,得$4x^2=1$.二次项系数化为1,得$x^2=\frac{1}{4}$.根据平方根的意义,得$x=±\frac{1}{2}$,即$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)移项、合并同类项,得$4x^2=1$.二次项系数化为1,得$x^2=\frac{1}{4}$.根据平方根的意义,得$x=±\frac{1}{2}$,即$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
5[2025辽宁铁岭期末]解一元二次方程$(x+1)^2=16$，用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是$x+1=4$，则另一个一元一次方程是（
A.$x-1=-4$
B.$x-1=4$
C.$x+1=-4$
D.$x+1=4$
C
）A.$x-1=-4$
B.$x-1=4$
C.$x+1=-4$
D.$x+1=4$
答案
5.C 【解析】
∵ $(x+1)^2=16$,
∴ $x+1=±4$,即$x+1=4$或$x+1=-4$,故选C.
∵ $(x+1)^2=16$,
∴ $x+1=±4$,即$x+1=4$或$x+1=-4$,故选C.
6 已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程$(x-3)^2=4$的一个根,则此三角形的周长为（
A.17
B.11
C.15
D.11或15
C
）A.17
B.11
C.15
D.11或15
答案
6.C 【解析】$(x-3)^2=4$,$x-3=±2$,解得$x_1=5$,$x_2=1$.若$x=5$,则三角形的三边长分别为4,5,6,其周长为$4+5+6=15$;若$x=1$,$1+4=5＜6$,则不能构成三角形,故此三角形的周长是15.故选C.
7 [2026山西长治期末]已知$(x^2+y^2+1)^2=81$，则$x^2+y^2=$
8
。答案
7.8 【解析】
∵ $(x^2+y^2+1)^2=81$,
∴ $x^2+y^2+1=±\sqrt{81}=±9$,
∴ $x^2+y^2=8$或$x^2+y^2=-10$(舍去).故答案为8.
∵ $(x^2+y^2+1)^2=81$,
∴ $x^2+y^2+1=±\sqrt{81}=±9$,
∴ $x^2+y^2=8$或$x^2+y^2=-10$(舍去).故答案为8.
8[2026北京海淀区质检]对于实数$p,q$,用符号$\min\{p,q\}$表示$p,q$两数中较小的数,例如:$\min\{-2,8\}=-2$,若$\min\{x^2,(x-1)^2\}=1$,则$x=$
-1或2
.答案
8.-1或2 【解析】由题意知,①当$(x-1)^2＞x^2$时,$x^2=1$,
∴ $x=1$或$x=-1$.
∵ $x=1$时,$(x-1)^2=0＜1$,
∴ $x=1$不符合要求,舍去;
∵ $x=-1$时,$(x-1)^2=4＞1$,
∴ $x=-1$符合要求.②当$(x-1)^2＜x^2$时,$(x-1)^2=1$,
∴ $x=2$或$x=0$.
∵ $x=2$时,$(x-1)^2=1＜4$,
∴ $x=2$符合要求;
∵ $x=0$时,$(x-1)^2=1＞0$,
∴ $x=0$不符合要求,舍去.综上所述,$x=-1$或$x=2$,故答案为-1或2.
∴ $x=1$或$x=-1$.
∵ $x=1$时,$(x-1)^2=0＜1$,
∴ $x=1$不符合要求,舍去;
∵ $x=-1$时,$(x-1)^2=4＞1$,
∴ $x=-1$符合要求.②当$(x-1)^2＜x^2$时,$(x-1)^2=1$,
∴ $x=2$或$x=0$.
∵ $x=2$时,$(x-1)^2=1＜4$,
∴ $x=2$符合要求;
∵ $x=0$时,$(x-1)^2=1＞0$,
∴ $x=0$不符合要求,舍去.综上所述,$x=-1$或$x=2$,故答案为-1或2.
9[2025山西吕梁期中]解方程：
(1) $3(x-1)^2 = 12$；
(2) $(2x+3)^2 = 81$。
刷易错 小心有坑~
(1) $3(x-1)^2 = 12$；
(2) $(2x+3)^2 = 81$。
刷易错 小心有坑~
答案
9.【解】(1)整理得$(x-1)^2=4$,根据平方根的意义,得$x-1=±2$,即$x-1=2$或$x-1=-2$,解得$x_1=3$,$x_2=-1$.
(2)根据平方根的意义,得$2x+3=±9$,即$2x+3=9$或$2x+3=-9$,解得$x_1=3$,$x_2=-6$.
(2)根据平方根的意义,得$2x+3=±9$,即$2x+3=9$或$2x+3=-9$,解得$x_1=3$,$x_2=-6$.
10[2025 吉林白城期中]$(y+2)^2=(3y-1)^2.$
解:$y+2=3y-1,……第一步$
$\therefore -2y=-3,……第二步$
$\therefore y=\frac{3}{2}.……第三步$
(1)以上解方程的过程中从第
(2)请写出正确的解方程过程.
解:$y+2=3y-1,……第一步$
$\therefore -2y=-3,……第二步$
$\therefore y=\frac{3}{2}.……第三步$
(1)以上解方程的过程中从第
一
步开始出现错误,错误的原因是开平方时,忽略被开方数互为相反数的情况
.(2)请写出正确的解方程过程.
答案
10.【解】(1)题中解方程的过程中从第一步开始出现错误,错误的原因是开平方时,忽略被开方数互为相反数的情况.故答案为一;开平方时,忽略被开方数互为相反数的情况.
(2)直接开平方,得$y+2=3y-1$或$y+2=-(3y-1)$,解得$y_1=\frac{3}{2}$,$y_2=-\frac{1}{4}$.
(2)直接开平方,得$y+2=3y-1$或$y+2=-(3y-1)$,解得$y_1=\frac{3}{2}$,$y_2=-\frac{1}{4}$.
