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1.「2026广东深圳期中」大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比.如图，点B为线段AC的黄金分割点(AB＞BC)，若AC=100 cm，则AB的长为 (
A.$(150 - 50\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(100\sqrt{5} - 100)\mathrm{cm}$
C.$(50\sqrt{5} - 50)\mathrm{cm}$
D.$(50\sqrt{5} + 50)\mathrm{cm}$
C
)A.$(150 - 50\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(100\sqrt{5} - 100)\mathrm{cm}$
C.$(50\sqrt{5} - 50)\mathrm{cm}$
D.$(50\sqrt{5} + 50)\mathrm{cm}$
答案
1.C 因为点 B 为线段 AC 的黄金分割点(AB＞BC),$AC=100 \mathrm{~cm},所以\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},即\frac{AB}{100}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},解得AB=(50\sqrt{5}-50)\mathrm{cm}.$故选 C.
解析
【分析】
本题考查黄金分割的应用，解题思路如下：第一步先根据题干给出的AB＞BC，确定AB是线段AC中的较长线段；第二步回忆黄金分割的性质：线段的黄金分割点分线段所得的较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；第三步将已知的AC长度代入比例公式计算AB的长度，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵点B为线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知AC=100 cm，代入得：
$AB=100×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=50\sqrt{5}-50$（cm），
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割，比例计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查黄金分割的比值概念，解题时需注意区分较长线段和较短线段对应的比例关系，牢记黄金比的数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查黄金分割的应用，解题思路如下：第一步先根据题干给出的AB＞BC，确定AB是线段AC中的较长线段；第二步回忆黄金分割的性质：线段的黄金分割点分线段所得的较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；第三步将已知的AC长度代入比例公式计算AB的长度，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵点B为线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知AC=100 cm，代入得：
$AB=100×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=50\sqrt{5}-50$（cm），
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割，比例计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查黄金分割的比值概念，解题时需注意区分较长线段和较短线段对应的比例关系，牢记黄金比的数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.「2026河南省实验中学期中」已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，下列各式不正确的是（
A.$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$AP^2 = PB · AB$
C.$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\dfrac{BP}{AB}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
C
）A.$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$AP^2 = PB · AB$
C.$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\dfrac{BP}{AB}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
答案
2.C $\because P$ 是线段 AB 的黄金分割点,且 $AP＞BP$,$\therefore \frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore AP^2 = PB · AB, \frac{AP}{BP}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,$\frac{AB-BP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \therefore \frac{BP}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$综上,A,B,D 选项正确,不符合题意;C 选项错误,符合题意.故选 C.
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该固定比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知$AP＞BP$，因此$AP$是较长段，$BP$是较短段，我们只需根据黄金分割的比例关系，逐一推导验证四个选项的正确性即可。
【解析】
$\because P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP＞BP$，
$\therefore$ 符合黄金分割的比例关系：$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
对A选项：由上述比例直接可得$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，A正确，不符合题意；
对B选项：将$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$交叉相乘，可得$AP^2 = PB · AB$，B正确，不符合题意；
对C选项：由$\frac{BP}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得$\frac{AP}{BP}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化得$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，C错误，符合题意；
对D选项：$\because AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，$\therefore BP = AB - AP = AB - \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB = \frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，即$\frac{BP}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，D正确，不符合题意。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.比例的基本性质
【点评】
本题考查黄金分割的性质应用，解题的关键是根据$AP＞BP$明确较长段和较短段，牢记黄金分割对应的比例关系，推导时注意不要混淆长短段的比例位置。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该固定比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知$AP＞BP$，因此$AP$是较长段，$BP$是较短段，我们只需根据黄金分割的比例关系，逐一推导验证四个选项的正确性即可。
【解析】
$\because P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP＞BP$，
$\therefore$ 符合黄金分割的比例关系：$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
对A选项：由上述比例直接可得$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，A正确，不符合题意；
对B选项：将$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$交叉相乘，可得$AP^2 = PB · AB$，B正确，不符合题意；
对C选项：由$\frac{BP}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得$\frac{AP}{BP}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化得$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} ≠ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，C错误，符合题意；
对D选项：$\because AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，$\therefore BP = AB - AP = AB - \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB = \frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，即$\frac{BP}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，D正确，不符合题意。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.比例的基本性质
【点评】
本题考查黄金分割的性质应用，解题的关键是根据$AP＞BP$明确较长段和较短段，牢记黄金分割对应的比例关系，推导时注意不要混淆长短段的比例位置。
【难度系数】
0.7
3.作图题(不写作法,保留作图痕迹).已知正方形ABCD,求作点P,使点P是边AB的黄金分割点,且AP＞PB. 
答案
3.解析 如图,点 P 即为所求作.
解析
【分析】
要作AB上满足AP＞PB的黄金分割点，首先明确黄金分割的定义：若点P将线段AB分为AP、PB两段（AP＞PB），且满足AP/AB=(√5-1)/2，则P是AB的黄金分割点。我们可以借助勾股定理构造符合长度的线段：先构造直角边为AB和(1/2)AB的直角三角形，得到斜边长为(√5/2)AB，再将斜边长度减去(1/2)AB，就能得到长度为(√5-1)/2 AB的线段，将该线段截取到AB上，端点就是所求的点P。
【解析】
我们可按以下思路作图（无需写出作法，保留痕迹即可）：
1. 过点B作AB的垂线，在垂线上截取BE=(1/2)AB；
2. 连接AE，以E为圆心、BE长为半径画弧，交AE于点F，此时AF的长度即为(√5-1)/2 AB；
3. 以A为圆心、AF长为半径画弧，交AB于点P，该点即为所求作的点。
【答案】
如图，点P即为所求作。
【知识点】
黄金分割的定义，尺规作图，勾股定理
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查对黄金分割概念的理解和尺规作图的基本操作能力，作图时需注意保留完整的圆弧、辅助线痕迹，同时满足AP＞PB的要求。
【难度系数】
0.7
要作AB上满足AP＞PB的黄金分割点，首先明确黄金分割的定义：若点P将线段AB分为AP、PB两段（AP＞PB），且满足AP/AB=(√5-1)/2，则P是AB的黄金分割点。我们可以借助勾股定理构造符合长度的线段：先构造直角边为AB和(1/2)AB的直角三角形，得到斜边长为(√5/2)AB，再将斜边长度减去(1/2)AB，就能得到长度为(√5-1)/2 AB的线段，将该线段截取到AB上，端点就是所求的点P。
【解析】
我们可按以下思路作图（无需写出作法，保留痕迹即可）：
1. 过点B作AB的垂线，在垂线上截取BE=(1/2)AB；
2. 连接AE，以E为圆心、BE长为半径画弧，交AE于点F，此时AF的长度即为(√5-1)/2 AB；
3. 以A为圆心、AF长为半径画弧，交AB于点P，该点即为所求作的点。
【答案】
如图，点P即为所求作。
【知识点】
黄金分割的定义，尺规作图，勾股定理
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查对黄金分割概念的理解和尺规作图的基本操作能力，作图时需注意保留完整的圆弧、辅助线痕迹，同时满足AP＞PB的要求。
【难度系数】
0.7
4. 情境 数学文化 发展史 「2026 辽宁沈阳一二六中学期中，★☆」在欧几里得的《几何原本》中有一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示,以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接BE,延长DA至F,使得EF=BE,以AF为边作正方形AFGH,则点H即是线段AB的黄金分割点.若记正方形AFGH的面积为$S_1$,矩形BCIH的面积为$S_2$,则$S_1$与$S_2$的比值是 (
A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.1
第4题图 第5题图
D
)A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.1
第4题图 第5题图
答案
4.D $\because H$ 是 AB 的黄金分割点,$\therefore AH^2=BH · AB$,$\because$ 正方形 AFGH 的面积为 $S_1$,矩形 BCIH 的面积为 $S_2$,$\therefore S_1=AH^2,S_2=BH · BC=BH · AB, \therefore S_1=S_2,即\frac{S_1}{S_2}=1$,故选 D.
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的“点H是线段AB的黄金分割点”这一结论，回忆黄金分割的核心性质：黄金分割点分原线段所得的较长线段的平方等于较短线段与原线段长度的乘积。接下来分别表示$S_1$和$S_2$：$S_1$是正方形AFGH的面积，等于边长AH的平方；$S_2$是矩形BCIH的面积，因ABCD是正方形，故BC与AB长度相等，因此$S_2$可转化为BH与AB的乘积，结合黄金分割的性质即可直接得出$S_1$和$S_2$的关系，求出比值。
【解析】
解：
∵点H是线段AB的黄金分割点，
根据黄金分割的性质可得：$AH^2 = BH · AB$，
∵正方形AFGH的面积为$S_1$，
∴$S_1 = AH^2$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BC = AB$，
矩形BCIH的面积为$S_2$，
∴$S_2 = BH · BC = BH · AB$，
∴$S_1 = S_2$，即$\frac{S_1}{S_2}=1$。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的性质，正方形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合《几何原本》中的黄金分割找点方法命题，考查对黄金分割基本性质的应用，解题时无需复杂计算，只要熟练掌握黄金分割的核心结论，结合正方形边长相等的性质转化两个图形的面积即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题目给出的“点H是线段AB的黄金分割点”这一结论，回忆黄金分割的核心性质：黄金分割点分原线段所得的较长线段的平方等于较短线段与原线段长度的乘积。接下来分别表示$S_1$和$S_2$：$S_1$是正方形AFGH的面积，等于边长AH的平方；$S_2$是矩形BCIH的面积，因ABCD是正方形，故BC与AB长度相等，因此$S_2$可转化为BH与AB的乘积，结合黄金分割的性质即可直接得出$S_1$和$S_2$的关系，求出比值。
【解析】
解：
∵点H是线段AB的黄金分割点，
根据黄金分割的性质可得：$AH^2 = BH · AB$，
∵正方形AFGH的面积为$S_1$，
∴$S_1 = AH^2$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BC = AB$，
矩形BCIH的面积为$S_2$，
∴$S_2 = BH · BC = BH · AB$，
∴$S_1 = S_2$，即$\frac{S_1}{S_2}=1$。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的性质，正方形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合《几何原本》中的黄金分割找点方法命题，考查对黄金分割基本性质的应用，解题时无需复杂计算，只要熟练掌握黄金分割的核心结论，结合正方形边长相等的性质转化两个图形的面积即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
5. 聚焦 中考 尺规作图 「2025 山东济南天桥期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，以点$C$为圆心，以$BC$长为半径作弧交$AC$于点$D$，再分别以$B$，$D$为圆心，以大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，两弧相交于点$P$，作射线$CP$交$AB$于点$E$，连接$DE$。下列结论不正确的是（
A.$∠ BCE=36°$
B.$BC=AE$
C.$\frac{BE}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C
）A.$∠ BCE=36°$
B.$BC=AE$
C.$\frac{BE}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
5.C $\because AB = AC, ∠ BAC = 36°, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB = \frac{180°-∠ BAC}{2} = 72°$, 由题意得 $CP$ 平分 $∠ ACB$,$\therefore ∠ BCE= ∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = 36°, \therefore ∠ A = ∠ ACE = 36°, \therefore AE=CE, \because ∠ CEB = ∠ A+∠ ACE=72°$,$\therefore ∠ ABC = ∠ CEB, \therefore CB=CE, \therefore AE=CE=CB$,$\because △ BCE$ 和 $△ ABC$ 均为顶角为 $36°$ 的等腰三角形,$\therefore △ BCE ∽ △ BAC, \therefore \frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB}$,$\therefore BC^2=BE · AB, \therefore AE^2=BE · AB, \therefore$ 点 $E$ 为线段 $AB$ 的黄金分割点, $\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \therefore \frac{BE}{AC}=\frac{BE}{AB} ≠ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\frac{S_{△ BCE}}{S_{△ AEC}}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \therefore \frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BCE}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.综上知 A,B,D 中结论正确,不符合题意,C 中结论不正确,符合题意,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先根据尺规作图的特征判断CP是∠ACB的角平分线，再结合等腰△ABC的已知顶角36°，计算出两个底角的度数，通过角的等量关系推导相等的边，判断A、B选项；接着通过角的特征证明△BCE∽△BAC，得到边的比例关系，推出E是AB的黄金分割点，再结合黄金分割的比例判断C、D选项，最终选出错误结论。
【解析】
已知在△ABC中，$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=72°$，
由尺规作图步骤可知，$CP$是$∠ ACB$的角平分线，
$\therefore ∠ BCE=∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$，故A选项结论正确，不符合题意；
$\because ∠ ACE=∠ BAC=36°$，$\therefore AE=CE$，
又$∠ CEB=∠ BAC+∠ ACE=36°+36°=72°$，$\therefore ∠ CEB=∠ ABC$，
$\therefore CB=CE$，$\therefore AE=CE=BC$，即$BC=AE$，故B选项结论正确，不符合题意；
$\because ∠ BCE=∠ BAC=36°$，$∠ B$为公共角，$\therefore △ BCE ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB}$，即$BC^2=BE· AB$，
又$\because BC=AE$，$AB=AC$，$\therefore AE^2=BE· AB$，即点$E$是$AB$的黄金分割点，
$\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，而$AC=AB=AE+BE$，因此$\frac{BE}{AC}=\frac{BE}{AE+BE}\ne\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故C选项结论错误，符合题意；
$△ AEC$和$△ BEC$同高，面积比等于对应底的比，即$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{AE}{BE}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、黄金分割、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查尺规作图的含义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和黄金分割的应用，解题时需要逐步推导角和边的对应关系，易错点为混淆黄金分割的对应线段比例。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据尺规作图的特征判断CP是∠ACB的角平分线，再结合等腰△ABC的已知顶角36°，计算出两个底角的度数，通过角的等量关系推导相等的边，判断A、B选项；接着通过角的特征证明△BCE∽△BAC，得到边的比例关系，推出E是AB的黄金分割点，再结合黄金分割的比例判断C、D选项，最终选出错误结论。
【解析】
已知在△ABC中，$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=72°$，
由尺规作图步骤可知，$CP$是$∠ ACB$的角平分线，
$\therefore ∠ BCE=∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$，故A选项结论正确，不符合题意；
$\because ∠ ACE=∠ BAC=36°$，$\therefore AE=CE$，
又$∠ CEB=∠ BAC+∠ ACE=36°+36°=72°$，$\therefore ∠ CEB=∠ ABC$，
$\therefore CB=CE$，$\therefore AE=CE=BC$，即$BC=AE$，故B选项结论正确，不符合题意；
$\because ∠ BCE=∠ BAC=36°$，$∠ B$为公共角，$\therefore △ BCE ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB}$，即$BC^2=BE· AB$，
又$\because BC=AE$，$AB=AC$，$\therefore AE^2=BE· AB$，即点$E$是$AB$的黄金分割点，
$\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，而$AC=AB=AE+BE$，因此$\frac{BE}{AC}=\frac{BE}{AE+BE}\ne\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故C选项结论错误，符合题意；
$△ AEC$和$△ BEC$同高，面积比等于对应底的比，即$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{AE}{BE}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、黄金分割、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查尺规作图的含义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和黄金分割的应用，解题时需要逐步推导角和边的对应关系，易错点为混淆黄金分割的对应线段比例。
【难度系数】
0.6
6.「2026河北保定期中，★☆」符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中,$AD=BC$,且$C,D$两点都是$AB$的黄金分割点,若$AB=6$,则$CD$的长是
$6\sqrt{5}-12$
.(结果保留根号)答案
6.答案 $6\sqrt{5}-12$
解析 $\because C,D$ 两点都是 $AB$ 的黄金分割点,$\therefore AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,$\therefore AD=AC-CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB-CD$,$\because AD=BC, \therefore BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB-CD$,$\because AC+BC=AB$,$\therefore \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 6+\frac{\sqrt{5}-1}{2} × 6-CD=6$,$\therefore CD=6\sqrt{5}-12.$
解析 $\because C,D$ 两点都是 $AB$ 的黄金分割点,$\therefore AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,$\therefore AD=AC-CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB-CD$,$\because AD=BC, \therefore BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB-CD$,$\because AC+BC=AB$,$\therefore \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 6+\frac{\sqrt{5}-1}{2} × 6-CD=6$,$\therefore CD=6\sqrt{5}-12.$
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，且分得的较长线段大于较短线段，则较长线段长度为原线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍。本题中C、D都是AB的黄金分割点，且AC＞BC、BD＞AD，因此可先求出AC、BD的长度；再观察线段间的和差关系：AC+BD = (AD+CD)+(BC+CD)=AB+CD，结合已知AB的长度，代入数值即可求出CD的长。
【解析】
$\because$ C、D两点都是AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，$BD＞AD$，
$\therefore AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
$\because AB=6$，
$\therefore AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3\sqrt{5}-3$，
又$\because AC+BD=(AD+CD)+(BC+CD)=(AD+CD+BC)+CD=AB+CD$，
$\therefore CD=AC+BD-AB$，
代入数值得：$CD=(3\sqrt{5}-3)+(3\sqrt{5}-3)-6=6\sqrt{5}-12$。
【答案】
$6\sqrt{5}-12$
【知识点】
黄金分割，线段的和差计算
【点评】
本题以常见的五角星图形为载体，考查黄金分割的实际应用，解题核心是牢记黄金分割的比值，准确梳理图形中线段的数量关系，属于黄金分割的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，且分得的较长线段大于较短线段，则较长线段长度为原线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$倍。本题中C、D都是AB的黄金分割点，且AC＞BC、BD＞AD，因此可先求出AC、BD的长度；再观察线段间的和差关系：AC+BD = (AD+CD)+(BC+CD)=AB+CD，结合已知AB的长度，代入数值即可求出CD的长。
【解析】
$\because$ C、D两点都是AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，$BD＞AD$，
$\therefore AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
$\because AB=6$，
$\therefore AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3\sqrt{5}-3$，
又$\because AC+BD=(AD+CD)+(BC+CD)=(AD+CD+BC)+CD=AB+CD$，
$\therefore CD=AC+BD-AB$，
代入数值得：$CD=(3\sqrt{5}-3)+(3\sqrt{5}-3)-6=6\sqrt{5}-12$。
【答案】
$6\sqrt{5}-12$
【知识点】
黄金分割，线段的和差计算
【点评】
本题以常见的五角星图形为载体，考查黄金分割的实际应用，解题核心是牢记黄金分割的比值，准确梳理图形中线段的数量关系，属于黄金分割的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
