登录
数学七年级上册1.「2026吉林长春月考」如图，$△ ABC$的顶点均在正方形网格格点上，下列选项的阴影三角形与$△ ABC$相似的是（
A
）答案
1.A 设每个小正方形的边长为1,易得AB=√2,BC=1,AC=√5.选项A,阴影三角形三边长分别为√2,2,√10,则$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$,故与△ABC相似,符合题意;选项B,阴影三角形三边长分别为√2,√5,3,则$\frac{1}{\sqrt{2}}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{3}$,故与△ABC不相似,不符合题意;选项C,阴影三角形三边长分别为2,√5,√17,则$\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}}$,故与△ABC不相似,不符合题意;选项D,阴影三角形三边长分别为√5,√5,4,则$\frac{1}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{4}$,故与△ABC不相似,不符合题意.故选A.
技巧归纳 在网格中判断两个三角形是否相似的方法:根据网格特点,利用勾股定理求出三角形各边的长度,再分析两个三角形的三边是否成比例.若三边成比例,则两个三角形相似;否则不相似.
技巧归纳 在网格中判断两个三角形是否相似的方法:根据网格特点,利用勾股定理求出三角形各边的长度,再分析两个三角形的三边是否成比例.若三边成比例,则两个三角形相似;否则不相似.
解析
【分析】
要判断网格中的阴影三角形与△ABC是否相似，可使用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先设每个小正方形边长为1，先用勾股定理计算出△ABC的三边长；再分别计算每个选项中阴影三角形的三边长，将两个三角形的边按大小排序后，验证对应边是否成比例，若成比例则两三角形相似，否则不相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
先计算△ABC的三边长：
$BC=1$，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
逐个分析选项：
选项A：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$，对应边比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，三边对应成比例，与△ABC相似，符合题意。
选项B：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$3$，对应边比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{3}$，三边不成比例，与△ABC不相似，不符合题意。
选项C：阴影三角形三边长分别为$2$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{17}$，对应边比值为$\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}}$，三边不成比例，与△ABC不相似，不符合题意。
选项D：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$、$4$，对应边比值为$\frac{1}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{4}$，三边不成比例，与△ABC不相似，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1.勾股定理 2.相似三角形的判定
【点评】
本题是网格类相似判断的典型题型，解题核心是通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再验证三边是否对应成比例，能够有效考查学生的计算能力和对相似判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的阴影三角形与△ABC是否相似，可使用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先设每个小正方形边长为1，先用勾股定理计算出△ABC的三边长；再分别计算每个选项中阴影三角形的三边长，将两个三角形的边按大小排序后，验证对应边是否成比例，若成比例则两三角形相似，否则不相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
先计算△ABC的三边长：
$BC=1$，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
逐个分析选项：
选项A：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{2}$、$2$、$\sqrt{10}$，对应边比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，三边对应成比例，与△ABC相似，符合题意。
选项B：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$3$，对应边比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{3}$，三边不成比例，与△ABC不相似，不符合题意。
选项C：阴影三角形三边长分别为$2$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{17}$，对应边比值为$\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{17}}$，三边不成比例，与△ABC不相似，不符合题意。
选项D：阴影三角形三边长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$、$4$，对应边比值为$\frac{1}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}≠\frac{\sqrt{5}}{4}$，三边不成比例，与△ABC不相似，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1.勾股定理 2.相似三角形的判定
【点评】
本题是网格类相似判断的典型题型，解题核心是通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再验证三边是否对应成比例，能够有效考查学生的计算能力和对相似判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
2.如图,某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路,已知AB=14千米,AD=28千米,BD=21千米,BC=42千米,DC=31.5千米,公路AB与CD平行吗?说出你的理由.
答案
2.解析 公路AB与CD平行.
理由:$\because \frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3},\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$,
$\therefore △ABD∽△BDC,\therefore ∠ABD=∠BDC$,
$\therefore AB// DC$.
理由:$\because \frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3},\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$,
$\therefore △ABD∽△BDC,\therefore ∠ABD=∠BDC$,
$\therefore AB// DC$.
解析
【分析】
要判断AB与CD是否平行，可通过证明二者被直线BD所截形成的内错角∠ABD=∠BDC实现；已知条件给出了所有线段的长度，因此可先验证△ABD与△BDC的三边是否对应成比例，若满足三边成比例则两个三角形相似，即可得到对应角相等，进而证明两直线平行。
【解析】
公路AB与CD平行，理由如下：
$\because \frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3},\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{DC}$，
$\therefore △ ABD ∽ △ BDC$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ABD = ∠ BDC$（相似三角形对应角相等），
$\therefore AB // DC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
公路AB与CD平行。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题将相似三角形与平行线的判定相结合，解题关键是通过计算边长的比值判定三角形相似，进而得到角的等量关系，侧重考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断AB与CD是否平行，可通过证明二者被直线BD所截形成的内错角∠ABD=∠BDC实现；已知条件给出了所有线段的长度，因此可先验证△ABD与△BDC的三边是否对应成比例，若满足三边成比例则两个三角形相似，即可得到对应角相等，进而证明两直线平行。
【解析】
公路AB与CD平行，理由如下：
$\because \frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3},\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{DC}$，
$\therefore △ ABD ∽ △ BDC$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ABD = ∠ BDC$（相似三角形对应角相等），
$\therefore AB // DC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
公路AB与CD平行。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题将相似三角形与平行线的判定相结合，解题关键是通过计算边长的比值判定三角形相似，进而得到角的等量关系，侧重考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 学科特色教材变式 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,连接AE,$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$.
(1)∠1与∠2相等吗?为什么?
(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
(1)∠1与∠2相等吗?为什么?
(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
答案
3.解析 (1)∠1与∠2相等.理由如下:
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD},\therefore △ABC∽△AED,\therefore ∠BAC=∠EAD$,
$\therefore ∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF$,即$∠1=∠2$.
(2)△ABE与△ACD相似.理由如下:
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD},\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
又$\because ∠1=∠2,\therefore △ABE∽△ACD$.
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD},\therefore △ABC∽△AED,\therefore ∠BAC=∠EAD$,
$\therefore ∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF$,即$∠1=∠2$.
(2)△ABE与△ACD相似.理由如下:
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD},\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
又$\because ∠1=∠2,\therefore △ABE∽△ACD$.
解析
【分析】
(1) 要判断∠1与∠2是否相等，首先观察已知给出三组对应边成比例，可先依据“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将这两个等角同时减去公共角∠EAF，即可推导∠1和∠2的关系。
(2) 要判断△ABE与△ACD是否相似，第一问已证得∠1=∠2，只需再证明夹这组等角的两组对应边成比例即可：将已知的边的比例式利用比例性质变形，即可得到对应边成比例，结合等角就能依据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
(1)∠1与∠2相等，理由如下：
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ AED$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ EAD$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ EAF = ∠ EAD - ∠ EAF$，即$∠ 1 = ∠ 2$。
(2)$△ ABE$与$△ ACD$相似，理由如下：
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
(1)∠1与∠2相等；
(2)△ABE与△ACD相似。
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础综合应用题型，解题核心是根据已知条件灵活选择相似的判定定理，先通过三边成比例得到等角，再利用等角和边的比例关系证明新的相似，能帮助学生巩固相似判定与性质的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断∠1与∠2是否相等，首先观察已知给出三组对应边成比例，可先依据“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将这两个等角同时减去公共角∠EAF，即可推导∠1和∠2的关系。
(2) 要判断△ABE与△ACD是否相似，第一问已证得∠1=∠2，只需再证明夹这组等角的两组对应边成比例即可：将已知的边的比例式利用比例性质变形，即可得到对应边成比例，结合等角就能依据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
(1)∠1与∠2相等，理由如下：
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ AED$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ EAD$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ EAF = ∠ EAD - ∠ EAF$，即$∠ 1 = ∠ 2$。
(2)$△ ABE$与$△ ACD$相似，理由如下：
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
(1)∠1与∠2相等；
(2)△ABE与△ACD相似。
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础综合应用题型，解题核心是根据已知条件灵活选择相似的判定定理，先通过三边成比例得到等角，再利用等角和边的比例关系证明新的相似，能帮助学生巩固相似判定与性质的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
4. 情境 中华优秀传统文化 「2026河北石家庄四十四中月考，★☆」中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.如图所示的是中国象棋的棋盘(设各个小正方形的边长均为1)的一部分,根据“马走日”的规则,“马”应该落在位置
②
处,能使“马”“炮”“卒”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形相似.答案
4.答案 ②
解析 由题图可知“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为$4,2,2\sqrt{5}$,“卒”“炮”之间的距离为2,“炮”与②之间的距离为1,“卒”与②之间的距离为$\sqrt{5}$,$\because \frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{1}$,$\therefore$ 马应该落在位置②处,故答案为②.
解析 由题图可知“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为$4,2,2\sqrt{5}$,“卒”“炮”之间的距离为2,“炮”与②之间的距离为1,“卒”与②之间的距离为$\sqrt{5}$,$\because \frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{1}$,$\therefore$ 马应该落在位置②处,故答案为②.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先明确解题依据是相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似），第一步先计算“帅”“车”“相”所在三角形的三边长，第二步计算“卒”“炮”与各个候选位置构成的三角形的三边长，第三步对比两组边长是否对应成比例，比例相等的对应位置即为所求。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算“帅”“车”“相”构成三角形的三边长：
“车”与“相”竖直距离为2，边长为2；
“帅”与“相”水平距离为4，边长为4；
“帅”与“车”的距离由勾股定理得：$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
2. 计算“卒”“炮”与位置②构成三角形的三边长：
“卒”与“炮”竖直距离为2，边长为2；
“炮”与位置②水平距离为1，边长为1；
“卒”与位置②的距离由勾股定理得：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
3. 验证相似性：两个三角形三边对应比为$\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$，三边对应成比例，两三角形相似，符合要求。
【答案】
②
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定、网格线段长度计算
【点评】
本题结合中国象棋的传统文化背景出题，形式新颖，既考查了相似三角形的判定方法，也考查了利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，能够检验学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先明确解题依据是相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似），第一步先计算“帅”“车”“相”所在三角形的三边长，第二步计算“卒”“炮”与各个候选位置构成的三角形的三边长，第三步对比两组边长是否对应成比例，比例相等的对应位置即为所求。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算“帅”“车”“相”构成三角形的三边长：
“车”与“相”竖直距离为2，边长为2；
“帅”与“相”水平距离为4，边长为4；
“帅”与“车”的距离由勾股定理得：$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
2. 计算“卒”“炮”与位置②构成三角形的三边长：
“卒”与“炮”竖直距离为2，边长为2；
“炮”与位置②水平距离为1，边长为1；
“卒”与位置②的距离由勾股定理得：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
3. 验证相似性：两个三角形三边对应比为$\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$，三边对应成比例，两三角形相似，符合要求。
【答案】
②
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定、网格线段长度计算
【点评】
本题结合中国象棋的传统文化背景出题，形式新颖，既考查了相似三角形的判定方法，也考查了利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，能够检验学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
5.「2026上海闵行浦江一中月考，★☆」如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的顶点都在格点上，点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,A,C$是$△ ABC$边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与$△ ABC$相似，符合题意的三角形共有
6
个。答案
5.答案 6
解析 $\because$ 网格图中每个小正方形的边长为1,$\therefore$ 在$△ABC$中,$AC=2\sqrt{2},AB=4\sqrt{2},BC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$.
如图,连接$P_2P_5$,在$△AP_2P_5$中,$AP_5=\sqrt{2},AP_2=2\sqrt{2}$,$P_2P_5=\sqrt{10}.\because \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$,$\therefore △ACB∽△AP_5P_2$.同理可得$△P_2P_4P_5$,$△CP_4P_5$,$△ACP_1$,$△AP_2P_4$,$△AP_4P_5$和$△ACB$相似.综上可知,符合题意的三角形共有6个.故答案为6.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比例关系；再从给出的7个格点中任选3个点构成三角形，同样用勾股定理计算每个新三角形的三边长，判断其三边比例是否与△ABC的三边比例一致，若一致则两个三角形相似，最后统计符合要求的三角形个数即可，计数时注意避免重复或遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长：
由勾股定理得，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:AB:BC=2\sqrt{2}:4\sqrt{2}:2\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
逐一验证格点构成的三角形：
1. 连接$P_2P_5$，在$△ AP_2P_5$中，$AP_5=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AP_2=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$P_2P_5=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，故$△ AP_5P_2 ∽ △ ACB$；
同理可证：$△ P_2P_4P_5$、$△ CP_4P_5$、$△ ACP_1$、$△ AP_2P_4$、$△ AP_4P_5$均与$△ ACB$相似。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，格点图形计算
【点评】
本题结合网格图形考查相似三角形的判定，解题的核心是先确定原三角形的三边比，再逐一验证新三角形的三边比是否与之匹配，计数时需要细心，避免出现漏算或重复计数的问题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先利用勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比例关系；再从给出的7个格点中任选3个点构成三角形，同样用勾股定理计算每个新三角形的三边长，判断其三边比例是否与△ABC的三边比例一致，若一致则两个三角形相似，最后统计符合要求的三角形个数即可，计数时注意避免重复或遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长：
由勾股定理得，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:AB:BC=2\sqrt{2}:4\sqrt{2}:2\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
逐一验证格点构成的三角形：
1. 连接$P_2P_5$，在$△ AP_2P_5$中，$AP_5=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AP_2=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$P_2P_5=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，故$△ AP_5P_2 ∽ △ ACB$；
同理可证：$△ P_2P_4P_5$、$△ CP_4P_5$、$△ ACP_1$、$△ AP_2P_4$、$△ AP_4P_5$均与$△ ACB$相似。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，格点图形计算
【点评】
本题结合网格图形考查相似三角形的判定，解题的核心是先确定原三角形的三边比，再逐一验证新三角形的三边比是否与之匹配，计数时需要细心，避免出现漏算或重复计数的问题。
【难度系数】
0.6
6. 学科特色多解法「★☆」如图所示的是由4个边长为1的正方形组成的图形.
(1)求证: $△ ABD ∽ △ BCD$.
(2)求$∠ ABC$的度数.
(1)求证: $△ ABD ∽ △ BCD$.
(2)求$∠ ABC$的度数.
答案
6.解析 (1)证明:【证法一】由题意得$AB=\sqrt{10},BC=\sqrt{5},BD=\sqrt{2}$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\sqrt{2},\frac{AD}{BD}=\sqrt{2},\frac{BD}{DC}=\sqrt{2}$.
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$,$\therefore △ABD∽△BCD$.
【证法二】根据题意得$AD=2,BD=\sqrt{2},CD=1$,
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$.由正方形的性质得$∠1=45°$,
$\therefore ∠ADB=∠BDC=135°.\therefore △ABD∽△BCD$.
(2) $\because △ABD∽△BCD,\therefore ∠BAD=∠CBD.\therefore ∠1=∠BAD+∠ABD=∠CBD+∠ABD=45°$,即$∠ABC=45°$.
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$,$\therefore △ABD∽△BCD$.
【证法二】根据题意得$AD=2,BD=\sqrt{2},CD=1$,
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$.由正方形的性质得$∠1=45°$,
$\therefore ∠ADB=∠BDC=135°.\therefore △ABD∽△BCD$.
(2) $\because △ABD∽△BCD,\therefore ∠BAD=∠CBD.\therefore ∠1=∠BAD+∠ABD=∠CBD+∠ABD=45°$,即$∠ABC=45°$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABD∽△BCD，可先结合正方形边长为1的条件，用勾股定理计算两个三角形各边的长度，既可以通过验证三边对应成比例证明相似，也可以通过验证两组边对应成比例且夹角相等证明相似。(2) 求∠ABC的度数时，可借助第一问得到的相似结论，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠ABC拆分为两个角的和，转化为已知的45°角求解即可。
【解析】
(1) 证明：
证法一：由正方形边长为1，结合勾股定理计算得：
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=2$，$DC=1$。
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BD}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ BCD$。
证法二：由题意得$AD=2$，$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$CD=1$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BD}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$。
由正方形的性质得$∠1=45°$，
∴$∠ADB=180°-45°=135°$，$∠BDC=180°-45°=135°$，即$∠ADB=∠BDC$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ BCD$。
(2) 解：
∵$△ABD∽△BCD$，
∴$∠BAD=∠CBD$。
∵$∠1$是$△ABD$的外角，
∴$∠1=∠BAD+∠ABD=45°$，
将$∠BAD$替换为$∠CBD$可得：$∠CBD+∠ABD=45°$，即$∠ABC=45°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ABC=45°$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的关键是结合勾股定理计算边长，再合理选择相似三角形的判定方法完成证明，最后利用相似的性质完成角度转化，能有效考查对相似相关知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABD∽△BCD，可先结合正方形边长为1的条件，用勾股定理计算两个三角形各边的长度，既可以通过验证三边对应成比例证明相似，也可以通过验证两组边对应成比例且夹角相等证明相似。(2) 求∠ABC的度数时，可借助第一问得到的相似结论，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠ABC拆分为两个角的和，转化为已知的45°角求解即可。
【解析】
(1) 证明：
证法一：由正方形边长为1，结合勾股定理计算得：
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=2$，$DC=1$。
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BD}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ BCD$。
证法二：由题意得$AD=2$，$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$CD=1$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BD}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$。
由正方形的性质得$∠1=45°$，
∴$∠ADB=180°-45°=135°$，$∠BDC=180°-45°=135°$，即$∠ADB=∠BDC$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ BCD$。
(2) 解：
∵$△ABD∽△BCD$，
∴$∠BAD=∠CBD$。
∵$∠1$是$△ABD$的外角，
∴$∠1=∠BAD+∠ABD=45°$，
将$∠BAD$替换为$∠CBD$可得：$∠CBD+∠ABD=45°$，即$∠ABC=45°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ABC=45°$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的关键是结合勾股定理计算边长，再合理选择相似三角形的判定方法完成证明，最后利用相似的性质完成角度转化，能有效考查对相似相关知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
