1. 学科特色 教材变式 如图，下列四个三角形中，与$△ ABC$相似的是（）

由题图可知 AB = AC = 6,
∴ ∠C = ∠B = 75°,
∴ ∠A=30°.根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知选项 C 中的三角形与△ABC 相似.

【分析】
首先我们需要先明确已知△ABC的边角特征：先根据题目给出的边长AB=AC=6，判断它是等腰三角形，结合已知的底角度数算出顶角的度数；再回忆相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐一比对各选项三角形的夹角和两边比例，找到符合条件的选项即可。
【解析】
解：由题图可知△ABC中AB=AC=6，
∴△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=75°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°-75°=30°。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，观察各选项，只有选项C中的三角形有一个30°的内角，且夹该30°角的两边比值与△ABC中夹30°角的两边比值（AB:AC=6:6=1）相等，满足相似判定条件。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题将等腰三角形的性质与相似三角形的判定结合考查，解题核心是先推导已知三角形的角的度数和边的比例关系，再结合判定条件筛选选项，做题时需注意相似判定中夹角相等是必要条件，避免与其他判定规则混淆。
【难度系数】
0.7

2. 情境 数学文化 发展史 「2026 河南南阳邓州期中」比例规是伽利略发明的一种测绘工具，如图所示的比例规由长度相等的两规杆AD和BC通过可滑动的旋钮O连接构成.利用它可以把线段按一定的比例延长或缩短.如果把比例规的两规杆合上,使旋钮O固定在刻度3的地方(即同时使$OA=3OD$，$OB=3OC$),然后张开两规杆,使点A,B分别落在线段$l$的两个端点上,且测得$CD=5\ \mathrm{cm}$,则AB的长是（）

A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm

∵ OA = 3OD, OB = 3OC,
∴ $\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3},\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$,
∵ ∠COD = ∠BOA,
∴ △COD ∽ △BOA,
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$,
∵ CD = 5 cm,
∴ AB = 15 cm,故选 C.

【分析】
解题时首先观察图形，可得△COD和△BOA有一组对顶角相等；结合题目给出的$OA=3OD$、$OB=3OC$的条件，可得到两个三角形两组对应边的比值相等，满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，证明两个三角形相似后，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的CD长度即可求出AB的长度。
【解析】
∵ $OA = 3OD$，$OB = 3OC$，
∴ $\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，$\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，
∵ $∠ COD = ∠ BOA$（对顶角相等），
∴ $△ COD ∽ △ BOA$，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
∵ $CD = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=3CD=3×5=15\ \mathrm{cm}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题以数学文化中的比例规为背景，考查相似三角形相关知识的实际应用，解题核心是准确找到三角形相似的判定条件，结合相似三角形边的比例关系计算未知边长，难度较低。
【难度系数】
0.8

3.「2025广东广州三模」如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q为CD的中点.求证:△PCQ∽△QDA.

证明
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC = CD = AD,∠ADQ = ∠QCP = 90°,
∵ BP=3PC,Q 为 CD 的中点,
∴ $\frac{CP}{DQ}=\frac{CQ}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴ △PCQ∽△QDA.

【分析】
要证明△PCQ∽△QDA，首先观察两个三角形的特征：二者都在正方形中，内角为直角，所以可考虑用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理证明。思考步骤如下：①先利用正方形的性质，得到两个三角形的直角相等，且四条边长度相等；②结合已知条件BP=3PC、Q是CD中点，分别计算△PCQ和△QDA中夹直角的两组边的比值，验证两组边对应成比例；③结合相等的直角，即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC = CD = AD，且∠ADQ = ∠QCP = 90°，
∵ BP = 3PC，可得PC = $\frac{1}{4}$BC，
又
∵ Q为CD的中点，
∴ DQ = CQ = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$BC，
∴ $\frac{CP}{DQ}$ = $\frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{1}{2}BC}$ = $\frac{1}{2}$，$\frac{CQ}{AD}$ = $\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}$ = $\frac{1}{2}$，
即$\frac{CP}{DQ}=\frac{CQ}{AD}=\frac{1}{2}$，且∠PCQ = ∠QDA = 90°，
∴ △PCQ∽△QDA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC = CD = AD,∠ADQ = ∠QCP = 90°,
∵ BP=3PC,Q 为 CD 的中点,
∴ $\frac{CP}{DQ}=\frac{CQ}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴ △PCQ∽△QDA.
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 比例线段计算
【点评】
本题是几何基础常规题，核心是结合正方形的边、角性质，利用相似三角形的“两边成比例且夹角相等”判定定理完成证明，解题时要注意准确对应相似三角形的边，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.8

4. 学科特色 分类讨论思想 「2026 四川成都教科院附中月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$CA=4$，点$D$为$AC$的中点，点$E$在$AB$上，当$AE$为时，$△ ABC$与以点$A,D,E$为顶点的三角形相似。

解析
∵ 点 D 为 AC 的中点,AC=4,
∴ AD=2.
当$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AC}$时,
∵ ∠A = ∠A,
∴ △AED∽△ABC,
∴ $AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{6×2}{4}=3$;
当$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$时,
∵ ∠A = ∠A,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $AE=\frac{AC· AD}{AB}=\frac{4×2}{6}=\frac{4}{3}$.
故答案为 3 或$\frac{4}{3}$.

【分析】
本题中△ABC和以A、D、E为顶点的三角形有公共角∠A，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理解题。由于题目未明确两个三角形的顶点对应顺序，因此需要分两种情况讨论边的对应比例关系，分别代入已知边长计算AE的长度即可。
【解析】
∵点D为AC的中点，AC=4，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=2$。
①当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
代入边长得$AE=\frac{AB·AD}{AC}=\frac{6×2}{4}=3$；
②当$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
代入边长得$AE=\frac{AC·AD}{AB}=\frac{4×2}{6}=\frac{4}{3}$。
【答案】
3或$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想，中点的定义
【点评】
本题考查两边及夹角判定三角形相似的应用，解题易错点是忽略相似三角形顶点对应关系的多种可能，导致漏解，解决此类问题时要结合图形分情况讨论对应边的比例。
【难度系数】
0.6

5. 学科特色
易错题「2026江西九江期中，★☆」如图，$AB⊥BD$，$CD⊥BD$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，$BD=14\ \mathrm{cm}$，点$P$在$BD$上由点$B$向点$D$移动，当$△ APB$与$△ CPD$相似时，$BP$的长为。

解析 设 BP = x cm,则 DP = (14−x) cm,
∵ AB ⊥ BD, CD ⊥ BD,
∴ ∠B = ∠D = 90°,
∴ 当$\frac{AB}{DP}=\frac{BP}{CD}$或$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$时,△APB 和△CPD 相似,
∴ $\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$①或$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$②,
解①得 x=2 或 12,解②得 $x=\frac{42}{5}$,经检验,均符合题意.
∴ BP 的长为 2 cm 或 12 cm 或$\frac{42}{5}$ cm.
易错警示 本题容易因为考虑问题不全面,漏掉两三角形相似中的一种情况.

【分析】
首先由已知可得AB、CD都垂直于BD，因此∠B和∠D均为直角，△APB和△CPD都是直角三角形。由于题干未明确两个三角形相似的对应顶点，所以直角对应相等后，剩余两组边的对应关系有两种可能，需要分类讨论：一种是AB与DP对应、BP与CD对应，另一种是AB与CD对应、BP与DP对应。我们设BP长为x cm，可得DP=(14-x) cm，再根据两种对应关系分别列比例方程求解，最后验证解是否符合实际即可。
【解析】
设$BP = x\ \mathrm{cm}$，则$DP = (14-x)\ \mathrm{cm}$，
$\because AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，
$\therefore ∠ B = ∠ D = 90°$，
两个直角三角形相似时存在两种对应情况：
1. 当$\frac{AB}{DP}=\frac{BP}{CD}$时，$△ APB ∽ △ CPD$，
代入数值得$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，
整理得$x^2-14x+24=0$，解得$x=2$或$x=12$；
2. 当$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$时，$△ APB ∽ △ PCD$，
代入数值得$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，
整理得$10x=84$，解得$x=\frac{42}{5}$。
经检验，$x=2$、$x=12$、$x=\frac{42}{5}$均符合线段长度要求。
【答案】
$2\ \mathrm{cm}$或$12\ \mathrm{cm}$或$\frac{42}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；分类讨论思想；比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形的典型易错题，解题核心是明确无明确对应顶点的相似问题需要分情况讨论，避免漏解，求解后要注意验证结果是否符合实际线段的取值范围。
【难度系数】
0.6

6.「2025 江苏镇江丹阳期末，★☆」如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中, $DE$ 的延长线经过点 $C$, 且 $\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$, $∠ 1=∠ 2$.
(1)求证: $△ ABC ∽ △ ADE$.
(2)若 $AD=4, AB=6, AC=5$, 求 $AE$ 的长.

(1)证明:
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1+∠ACD = ∠2+∠ACD,
∵ ∠ACB = ∠1 + ∠ACD, ∠AED = ∠2 + ∠ACD,
∴ ∠ACB = ∠AED,
∵ $\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,
∴ △ABC∽△ADE.
(2)
∵ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$,
∵ AD=4,AB=6,AC=5,
∴ $AE=\frac{AD· AC}{AB}=\frac{4×5}{6}=\frac{10}{3}$,
∴ AE 的长是$\frac{10}{3}$.

【分析】
(1) 要证明△ABC∽△ADE，已知给出了两边成比例$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，根据相似三角形的判定定理，只需证明这两组成比例边的夹角相等即可。已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠ACD，即可得到∠ACB=∠AED，刚好是两组成比例边的夹角，满足相似判定条件即可完成证明。
(2) 第一问已经证得两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的边长，即可计算求出AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1+∠ACD = ∠2+∠ACD，
又
∵ ∠ACB = ∠1 + ∠ACD，∠AED = ∠2 + ∠ACD，
∴ ∠ACB = ∠AED，
∵ $\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
∴ △ABC∽△ADE。
(2) 解：
∵ △ABC∽△ADE，
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$，
将AD=4，AB=6，AC=5代入比例式，得：
$AE=\frac{AD· AC}{AB}=\frac{4×5}{6}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AE=\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形的基础常规题，解题核心是先通过角的和差关系推导得到成比例边的夹角相等，完成相似证明后，利用相似对应边成比例的性质求解线段长，掌握相似的判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8