1. 等腰直角$△ ABC$和$\odot O$如图放置,已知$AB=BC=1$,$∠ ABC=90°$,$\odot O$的半径为1,圆心$O$与直线$AB$的距离为5.现两个图形同时向右移动,$△ ABC$的速度为每秒2个单位长度,$\odot O$的速度为每秒1个单位长度,同时$△ ABC$的边长$AB$,$BC$又以每秒0.5个单位长度沿$BA$,$BC$方向增大.
(1)$△ ABC$的边(边$BC$除外)与圆第一次相切时,点$B$移动了多少距离?
(2)$△ ABC$从开始移动,到它的边与圆最后一次相切,一共经过了________秒.
(3)是否存在某一时刻,$△ ABC$与$\odot O$的公共部分等于$\odot O$的面积?若存在,求出恰好符合条件时两个图形各移动了多少时间;若不存在,请说明理由.

(1) 点B移动的距离为$\frac{20-4\sqrt{2}}{3}$。

(2)6
解析:
∵ △ABC与⊙O从开始移动到最后一次相切时,是AB与圆相切,且圆在AB的左侧,故路程差为6,速度差为1,
∴ 从开始移动到最后一次相切的时间为6秒.
(3)不存在.理由:若△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积,则△ABC的三边与⊙O相切或⊙O在△ABC内部.
∵ △ABC与⊙O从开始运动到AB边与⊙O第一次相切时,路程差为4,速度差为1,
∴ 从开始移动到AB边与⊙O第一次相切的时间为4秒,此时△ABC移至△A''B''C''处,,A''B''=1+4×0.5=3.连接B''O并延长,交A''C''于点P,易证B''P⊥A''C'',且$OP=B''P-B''O=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$,
∴ 此时⊙O与A''C''相交,
∴ 不存在.

2. (北京中考)对于平面直角坐标系$xOy$中的图形$M,N$,给出如下定义:$P$为图形$M$上任意一点,$Q$为图形$N$上任意一点,如果$P,Q$两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形$M,N$间的“闭距离”,记作$d(M,N)$.已知点$A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2)$.
(1)求$d($点$O,△ ABC)$;
(2)记函数$y=kx(-1≤ x≤ 1,k≠ 0)$的图象为图形$G$.若$d(G,△ ABC)=1$,直接写出$k$的取值范围;
(3)$\odot T$的圆心为$T(t,0)$,半径为$1$.若$d(\odot T,△ ABC)=1$,直接写出$t$的取值范围.

(1) 点O到△ABC的距离的最小值为2，
∴ d(点O,△ABC)=2。

(2)k的取值范围是$-1≤k≤1$且$k≠0$.
解析:$y=kx(k≠0)$经过原点,在$-1≤x≤1$范围内,函数图象为线段,当$y=kx(-1≤x≤1,k≠0)$经过点$(1,-1)$时,$k=-1$,此时$d(G,△ABC)=1$;当直线$y=kx(-1≤x≤1,k≠0)$经过点$(-1,-1)$时,$k=1$,此时$d(G,△ABC)=1$.
∵ 当$k＜-1$或$k＞1$时,图形G上的点到BC的最小距离小于1,不合题意,
∴$-1≤k≤1$.
∵$k≠0$,
∴$-1≤k≤1$且$k≠0$.
(3)t的取值范围是$t=-4$或$0≤t≤4-2\sqrt{2}$或$t=4+2\sqrt{2}$.
解析:如图,⊙T与△ABC的位置关系分三种情况:①当⊙T在△ABC的左侧时,$d(⊙T,△ABC)=1$,此时$t=-4$.②当⊙T在△ABC的内部时,当点T与原点重合时,$d(⊙T,△ABC)=1$,此时$t=0$;当点T位于$T_3$位置时,由$d(⊙T,△ABC)=1$知$T_3M=2$,
∵$AB=BC=8$,$∠ABC=90°$,
∴$∠C=∠T_3DM=45°$,则$T_3D=2\sqrt{2}$,
∴$t=4-2\sqrt{2}$,故此时$0≤t≤4-2\sqrt{2}$.③当⊙T在△ABC的右侧时,由$d(⊙T,△ABC)=1$知$T_4N=2$.
∵$∠T_4DC=∠C=45°$,
∴$T_4D=2\sqrt{2}$,
∴$t=4+2\sqrt{2}$.综上,$t=-4$或$0≤t≤4-2\sqrt{2}$或$t=4+2\sqrt{2}$.