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1. 如图,用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD内部作出一点P,使得∠BPC=∠BEC,PB=PC(不写作法,保留作图痕迹).
答案
如图,点P即为所求. 解析:如图,作BC的垂直平分线,交BE于点O;以O为圆心,OB长为半径作圆,交BC的垂直平分线于点P,则点P即为所求.
2.（扬州中考）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图①，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图②，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
【问题再解】如图③，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.（以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【初步尝试】如图①，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图②，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
【问题再解】如图③，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.（以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
答案
【初步尝试】如图①,作∠AOB的平分线OP,OP所在直线即为所求.
【问题联想】如图②,△MNP即为所求.
解析:先作线段MN的垂直平分线交MN于点O,再以O为圆心,MO长为半径作圆,与垂直平分线的交点(此处取上方交点)即为等腰直角三角形的顶点P,连接MP,NP.
【问题再解】如图③,圆弧CD即为所求. 解析:先作线段OB的垂直平分线交OB于点N,再以N为圆心,NO长为半径作圆,与垂直平分线的交点为M,然后以O为圆心,OM长为半径作圆,与扇形OAB所交的圆弧CD即为所求.
3. 已知点A在⊙O上,仅用圆规按下列要求画图:(要求:保留作图痕迹,并写出必要的文字说明)
(1)在图①中画出点P,使AP是⊙O的直径;
(2)在图②中画出点Q,使AQ是⊙O的切线.
(1)在图①中画出点P,使AP是⊙O的直径;
(2)在图②中画出点Q,使AQ是⊙O的切线.
答案
(1)如图①,点P即为所求.作法:①以A为圆心,OA长为半径画弧,交圆于点M;②以M为圆心,OA长为半径画弧,交圆于点N;③以N为圆心,OA长为半径画弧,交圆于点P.点P即为所求.
(2)如图②,点Q即为所求.作法:①以A为一个分点把⊙O六等分,分点依次为A,B,C,D,E,F;②分别以A,D为圆心AC,BD长为半径作弧交于点G;③以D为圆心,OG长为半径作圆,交⊙O于M,N,则A,M,D,N四等分⊙O的圆周;④分别以A,M为圆心,OA为半径作弧交于Q.点Q就是所求作的点.
4. 如图,由小正方形构成的网格中,每个小正方形的顶点叫作格点,$\odot O$经过$A,B,C$三个点,仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线,结果用实线).
(1)在图①中标出圆心$O$,并在圆上找一点$E$,使$OE$平分弧$AC$;
(2)在图②中的圆上画一点$M$,使$CM$平分$∠ ACB$;
(3)如图③,$△ ABC$的顶点$A,B$均在格点上,顶点$C$在网格线上,$∠ BAC=55°$,$P$是如图所示的$△ ABC$的外接圆上的动点,当$∠ PCB=35°$时,请用无刻度的直尺,在圆上画出点$P$.
(1)在图①中标出圆心$O$,并在圆上找一点$E$,使$OE$平分弧$AC$;
(2)在图②中的圆上画一点$M$,使$CM$平分$∠ ACB$;
(3)如图③,$△ ABC$的顶点$A,B$均在格点上,顶点$C$在网格线上,$∠ BAC=55°$,$P$是如图所示的$△ ABC$的外接圆上的动点,当$∠ PCB=35°$时,请用无刻度的直尺,在圆上画出点$P$.
答案
(1)如图①,圆心O,点E即为所求.
(2)如图②,点M即为所求.
(3)如图③,点P即为所求.
5. 请仅用无刻度的直尺完成下列作图,简述画法,保留作图痕迹.
(1)如图①,AB,AC是所在圆的两条等弦,其中点分别为M,N,作出该圆直径AD.
(2)如图②,AB是所在圆的直径,弦CD//AB,作出圆的圆心O.
(1)如图①,AB,AC是所在圆的两条等弦,其中点分别为M,N,作出该圆直径AD.
(2)如图②,AB是所在圆的直径,弦CD//AB,作出圆的圆心O.
答案
(1)如图①所示,连接CM,BN交于点E,连接AE并延长交圆于点D,AD即为所求.
(2)如图②所示,连接AD,BC交于点E,连接AC,BD并延长交于点F,连接EF交AB于点O,点O即为所求作的圆心.
