1. (2026·阜新模拟)如图,AC与$\odot O$相切于点C,AB过点O,若$∠ CAB=40°$,则$∠ ACB$的度数是 ()


A.$100°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$115°$

1. D 解析:连接CO,如图所示.
∵ AC与⊙O相切于点C,
∴ ∠ACO = 90°.
∵ ∠CAB=40°,
∴ ∠COA=50°.
∵ CO= BO,
∴ ∠BCO = ∠CBO.
∵ ∠BCO + ∠CBO=∠COA,
∴ ∠BCO = $\frac{1}{2}$∠COA = 25°,即∠ACB = ∠ACO+∠BCO=90°+25°=115°,故选D.

2. (2026·哈尔滨期末)如图,PA是⊙O的切线,A为切点,直线PO交⊙O于C,D两点,点B为弧AC上一点,连接AB,BC,若∠ABC=115°,则∠P=°.

2. 40 解析:如图,连接AO,AD,
∵ ∠ABC=115°,
∴ ∠ADC=180°-∠ABC=65°.
∵ AO=DO,
∴ ∠DAO=∠ADO=65°,
∴ ∠AOD=180°-65°-65°=50°.
∵ PA是⊙O的切线,
∴ ∠PAO=90°,
∴ ∠P=90°-50°=40°.

3. (2024·东营中考)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,点C是$\overset{\frown}{BE}$的中点,AE⊥CD,垂足为点D,DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若$CD=\sqrt{3}$,$∠ABC=60°$,求线段AF的长.

3. (1)如图,连接OC,则OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ 点C是$\overset{\frown}{BE}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$,
∴ ∠OAC=∠DAC,
∴ ∠OCA=∠DAC,
∴ OC//AD.
∵ AE⊥CD,
∴ CD⊥OC.
∵ OC是半径,
∴ CD是⊙O的切线.
(2)
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠BAC=90°-∠ABC=30°,
∴ ∠DAC=30°.
∵ $CD=\sqrt{3}$,
∴ AD=3.
∵ ∠F=90°-(∠BAC+∠DAC)=30°,
∴ AF=2AD=6.

4.（台州中考）如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$，以边$AB$的中点$O$为圆心，作半圆与$AC$相切，点$P$，$Q$分别是边$BC$和半圆上的动点，连接$PQ$，则$PQ$长的最大值与最小值的和是（）


A.$6$
B.$2\sqrt{13}+1$
C.$9$
D.$\dfrac{32}{3}$

4. C 解析:如图,设半圆O与AC相切于点E,连接OE,作$OP_1 ⊥ BC$,垂足为$P_1$,交半圆O于点$Q_1$,此时PQ最短,PQ的最小值$P_1Q_1$为$OP_1-OQ_1$.
∵ AB=10,AC=8,BC=6,
∴ $AB^2=AC^2+BC^2$,
∴ ∠C=90°.
∵ $∠OP_1B=90°$,
∴ $OP_1 // AC$.
∵ AO=OB=5,
∴ $P_1C=P_1B=3$,
∴ $OP_1=\frac{1}{2}AC=4$.
∵ $OE ⊥ AC$,$BC ⊥ AC$,
∴ $OE // BC$,
∴ $OE=\frac{1}{2}BC=3$.
∴ $P_1Q_1=OP_1-OQ_1=1$.当点$Q_2$在AB边上(靠近点A),点$P_2$与点B重合时,PQ的最大值$P_2Q_2=OQ_2+OP_2=3+5=8$,
∴ PQ长的最大值与最小值的和是9.

5.（陕西中考）如图，正方形ABCD的边长为4，$\odot O$的半径为1.若$\odot O$在正方形ABCD内平移（$\odot O$可以与该正方形的边相切），则点A到$\odot O$上的点的距离的最大值为。

5. $3\sqrt{2}+1$ 解析:当⊙O与CB,CD相切时,点A到⊙O上的点Q的距离最大,如图,过点O作$OE ⊥ BC$于点E,作$OF ⊥ CD$于点F,
∴ OE=OF=1,
∴ CO平分∠BCD.
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ 点O在AC上.
∵ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=4\sqrt{2}$,$OC=\sqrt{OE^2+EC^2}=\sqrt{2}$,
∴ $AQ=OA+OQ=4\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=3\sqrt{2}+1$,即点A到⊙O上的点的距离的最大值为$3\sqrt{2}+1$.

6. (1)(凉山州中考)如图①,等边三角形ABC的边长为4,$\odot C$的半径为$\sqrt{3}$,P为AB边上一动点,过点P作$\odot C$的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

(2)(衢州中考)如图②,在直角坐标系中,$\odot A$的圆心A的坐标为$(-1,0)$,半径为1,点P为直线$y=-\frac{3}{4}x+3$上的动点,过点P作$\odot A$的切线,切点为Q,则线段PQ长度的最小值是.

6. (1)3 解析:连接CP,CQ,作$CH ⊥ AB$于点H,如图①.
∵ 等边三角形ABC的边长为4,
∴ AB=CB=4,$∠BCH=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$,
∴ $BH=\frac{1}{2}BC=2$,$CH=2\sqrt{3}$.
∵ PQ为⊙C的切线,
∴ $CQ ⊥ PQ$.在$Rt△CPQ$中,$PQ=\sqrt{CP^2-CQ^2}=\sqrt{CP^2-3}$.
∵ 点P是AB边上一动点,
∴ 当点P运动到H点时,CP最小,即CP的最小值为$2\sqrt{3}$,
∴ PQ的最小值为$\sqrt{12-3}=3$.
(2)$2\sqrt{2}$ 解析:如图②,作$AP ⊥$直线$y=-\frac{3}{4}x+3$,垂足为P,作⊙A的切线PQ,切点为Q,此时线段PQ的长度最小.
∵ 点A的坐标为(-1,0),设直线$y=-\frac{3}{4}x+3$与x轴、y轴分别交于C,B两点,
∴ B(0,3),C(4,0),
∴ OB=3,OC=4,
∴ AC=5,$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=5$,
∴ AC=BC.在△APC与△BOC中,$∠APC=∠BOC=90°$,$∠ACP=∠BCO$,AC=BC,
∴ $△APC ≌ △BOC$,
∴ AP=OB=3,
∴ $PQ=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$.