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1. 如图，PA，PB为$\odot O$的两条切线，切点分别为A，B，连接OP交$\odot O$于点C，交弦AB于点D。下列结论中错误的是 (
A.$PA=PB$
B.$OP ⊥ AB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$△ APB$是等边三角形
D
)A.$PA=PB$
B.$OP ⊥ AB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$△ APB$是等边三角形
答案
1. D 解析:由切线长定理可得 $PA = PB, ∠ APO = ∠ BPO$,
∴ $AB ⊥ OP,AD=BD,∴\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,故 A,B,C 正确,而$△APB$ 中只满足 $PA=PB$,无其他条件证明$△APB$ 是等边三角形,故选 D.
∴ $AB ⊥ OP,AD=BD,∴\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,故 A,B,C 正确,而$△APB$ 中只满足 $PA=PB$,无其他条件证明$△APB$ 是等边三角形,故选 D.
2. (2026·南通期中)如图,PA,PB是$\odot O$的切线,A,B为切点,AC是$\odot O$的直径,$∠ BAC = 25°$,则$∠ P$的度数为 (
A.$65°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
B
)A.$65°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
2. B 解析:
∵ PA 是$\odot O $的切线, ∠ BAC = 25°,
∴ ∠ BAP = 90°-25°=65°.
∵ PA,PB 是$\odot O $的切线,A,B 为切点,
∴ PA=PB,
∴ ∠ ABP=65°,
∴ ∠ P=180°-65°×2=50°,故选 B.
∵ PA 是$\odot O $的切线, ∠ BAC = 25°,
∴ ∠ BAP = 90°-25°=65°.
∵ PA,PB 是$\odot O $的切线,A,B 为切点,
∴ PA=PB,
∴ ∠ ABP=65°,
∴ ∠ P=180°-65°×2=50°,故选 B.
3.（南京中考改编）如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，点C，D在$\odot O$上.若$∠ P=102°$，则$∠ A+∠ C$的度数为 （
A.$204°$
B.$218°$
C.$192°$
D.$219°$
D
）A.$204°$
B.$218°$
C.$192°$
D.$219°$
答案
3. D 解析:连接 AB,
∵ PA = PB, ∠ P = 102°,
∴ ∠ PAB = ∠ PBA=39°.
∵ ∠ DAB+∠ C = 180°,
∴ ∠ PAD+∠ C = ∠ PAB+∠ DAB+∠ C=39°+180°=219°.
∵ PA = PB, ∠ P = 102°,
∴ ∠ PAB = ∠ PBA=39°.
∵ ∠ DAB+∠ C = 180°,
∴ ∠ PAD+∠ C = ∠ PAB+∠ DAB+∠ C=39°+180°=219°.
4. (2024·泸州中考)如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点为A，D，点B，C在$\odot O$上，若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E =$ (
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
C
)A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
答案
4. C 解析:如图,连接 AD,
∵ 四边形 ABCD 是$\odot O $的内接四边形,
∴ ∠ BAD+∠ BCD = 180°.
∵ ∠ BAE+∠ BCD = 236°,
∴ ∠ BAE+∠ BCD-(∠ BAD+∠ BCD)=236°-180°,即∠ BAE-∠ BAD=56°,
∴ ∠ EAD=56°.
∵ EA,ED 是$\odot O $的切线,根据切线长定理得 EA=ED,
∴ ∠ EAD=∠ EDA=56°,
∴ ∠ E=180°-∠ EAD-∠ EDA=180°-56°-56°=68°.
5. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=5$,$AD$,$AB$,$BC$分别与$\odot O$相切于$E$,$F$,$G$三点,过点$D$作$\odot O$的切线交$BC$于点$M$,切点为$N$,则$DM$的长为 (
A.$\dfrac{13}{3}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$\dfrac{4\sqrt{13}}{3}$
D.$2\sqrt{5}$
A
)A.$\dfrac{13}{3}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$\dfrac{4\sqrt{13}}{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
5. A 解析:连接 OE,OF,ON,OG,
∵ $∠ A=∠ B=90°,CD=AB=4$,又 AD,AB,BC 分别与$\odot O$ 相切于 E,F,G 三点,
∴ $∠ AEO=∠ AFO=∠ OFB=∠ BGO=90°$.又 $OE=OF=OG$,
∴ 四边形 AFOE,FBGO 是正方形,
∴ $AF=BF=AE=BG=2$,
∴ $DE=3.∴ DN=DE=3,MN=MG,∴ CM=5-2-MN=3-MN$,$DM=3+MN.∵ DM^2=CD^2+CM^2,∴ (3+MN)^2=4^2+(3-MN)^2,∴ MN=\frac{4}{3},∴ DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}.$
∵ $∠ A=∠ B=90°,CD=AB=4$,又 AD,AB,BC 分别与$\odot O$ 相切于 E,F,G 三点,
∴ $∠ AEO=∠ AFO=∠ OFB=∠ BGO=90°$.又 $OE=OF=OG$,
∴ 四边形 AFOE,FBGO 是正方形,
∴ $AF=BF=AE=BG=2$,
∴ $DE=3.∴ DN=DE=3,MN=MG,∴ CM=5-2-MN=3-MN$,$DM=3+MN.∵ DM^2=CD^2+CM^2,∴ (3+MN)^2=4^2+(3-MN)^2,∴ MN=\frac{4}{3},∴ DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}.$
6.（宜宾中考）如图，已知AB为$\odot O$的直径，$AB=2$，AD和BE是$\odot O$的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作$\odot O$的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB.若$∠ ABC=30°$，则$AM=$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
.答案
$6. \frac{\sqrt{3}}{3} $解析:连接 OM, OC,
∵ OB = OC, 且 ∠ ABC = 30°
∴ ∠ BCO=∠ ABC=30°,
∴ ∠ AOC=60°.
∵ MA,MC 分别为$\odot O $的切线,
∴ MA=MC,且 ∠ MAO=∠ MCO=90°.
∵ MA=MC,OM=OM
∴$ \mathrm{Rt}△ AOM ≌ \mathrm{Rt}△ COM(\mathrm{HL}),$
∴$ ∠ AOM=∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=30°.$在$\mathrm{Rt}△ AOM $中$, OA=\frac{1}{2}AB=1,∠ AOM=30°,$
∴$ AM=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
∵ OB = OC, 且 ∠ ABC = 30°
∴ ∠ BCO=∠ ABC=30°,
∴ ∠ AOC=60°.
∵ MA,MC 分别为$\odot O $的切线,
∴ MA=MC,且 ∠ MAO=∠ MCO=90°.
∵ MA=MC,OM=OM
∴$ \mathrm{Rt}△ AOM ≌ \mathrm{Rt}△ COM(\mathrm{HL}),$
∴$ ∠ AOM=∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=30°.$在$\mathrm{Rt}△ AOM $中$, OA=\frac{1}{2}AB=1,∠ AOM=30°,$
∴$ AM=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
7. 教材变式 如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，且$AB // CD$，$OB = 12\ \mathrm{cm}$，$OC = 16\ \mathrm{cm}$。
(1) 求$∠ BOC$的度数；
(2) 求$BE+CG$的长；
(3) 求$\odot O$的半径。
(1) 求$∠ BOC$的度数；
(2) 求$BE+CG$的长；
(3) 求$\odot O$的半径。
答案
7. (1) 由切线长定理得 $BE = BF, CF = CG, ∠ OBF = ∠ OBE$,$∠ OCF = ∠ OCG.∵ AB // CD,∴ ∠ ABC + ∠ BCD = 180°$,$∴ ∠ OBF+∠ OCF=90°,∴ ∠ BOC=90°.$
(2) 由 (1) 知, $∠ BOC = 90°.∵ OB = 12 \ \mathrm{cm}, OC = 16 \ \mathrm{cm}$,$∴ BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=20 \ \mathrm{cm},∴ BE+CG=BF+CF=BC=20 \ \mathrm{cm}.$
(3) 连接 OF,
∵ $OF ⊥ BC,∴ OF=\frac{OB · OC}{BC}=\frac{12×16}{20}=9.6(\mathrm{cm})$,即$\odot O$ 的半径为 9.6 cm.
(2) 由 (1) 知, $∠ BOC = 90°.∵ OB = 12 \ \mathrm{cm}, OC = 16 \ \mathrm{cm}$,$∴ BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=20 \ \mathrm{cm},∴ BE+CG=BF+CF=BC=20 \ \mathrm{cm}.$
(3) 连接 OF,
∵ $OF ⊥ BC,∴ OF=\frac{OB · OC}{BC}=\frac{12×16}{20}=9.6(\mathrm{cm})$,即$\odot O$ 的半径为 9.6 cm.
