9.（南京中考）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，$\odot P$与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D。若$\odot P$的半径为5，点A的坐标是$(0,8)$，则点D的坐标是（）

A.$(9,2)$
B.$(9,3)$
C.$(10,2)$
D.$(10,3)$

9. A 解析:如图,设 $\odot P$ 与 x 轴、y 轴分别相切于点 E,F,连接 PE,PF,PD,延长 FP 交 CD 于点 H,则 $PE ⊥ OB$,$PF ⊥ OA$,
∴ $∠ PEO = ∠ PFO = 90°$.又
∵ $∠ EOF= 90°$,
∴ 四边形 OEPF 为矩形,
∴ $OF=PE=5$.
∵ $A(0,8)$,
∴ $OA=8$,
∴ $AF=OA-OF=8-5=3$.
∵ 四边形 OACB 为矩形,
∴ $BC=OA=8$, $∠ OAC=∠ C=90°$.
∵ $PF ⊥ OA$,
∴ $∠ AFP=90°$,
∴ $∠ OAC=∠ C=∠ AFP=90°$,
∴ 四边形 AFHC 为矩形,
∴ $CH=AF=3$, $∠ CHP=90°$,
∴ $PH ⊥ CD$,
∴ $DH=CH=3$,
∴ $CD=6$,
∴ $BD=BC-CD=8-6=2$,
∴ 点 D 的纵坐标为 2.在Rt△PHD中,由勾股定理得 $PH=\sqrt{PD^2-DH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ $FH=PF+PH=5+4=9$,
∴ 点 H 的横坐标为9,
∴ 点 D 的横坐标为9,
∴ 点 D 的坐标为$(9,2)$.

10.(贵阳中考)小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上,此时,光盘与AB,CD分别相切于点N,M.现从如图所示的位置开始,将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时,光盘的圆心经过的距离是.

10. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 解析:如图,当圆心 O 移动到点 P 的位置时,光盘再次与 AB 相切,切点为 Q,连接 ON,PQ,OP,其中 OP 与 AB 相交于点 H.
∵ $ON ⊥ AB$,$PQ ⊥ AB$,
∴ $ON// PQ$.
∵ $ON=PQ$,易得 $OH=PH$. 在 Rt△PHQ 中, $∠ P=∠ A=30°$, $PQ=1$,
∴ $PH=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,则 $OP=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

11. (2026·昭通期末)如图,四边形ABDC内接于圆O,直线TD与圆O相切于点D,且D为劣弧BC的中点.
(1)若$∠ BAC = 60°$,判断四边形OBDC的形状,并说明理由;
(2)证明:$∠ TDC = ∠ CAD$.

11. (1)四边形 OBDC 为菱形,理由如下:
如图,连接 OD,
∵ $∠ BAC=60°$,
∴ $∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$.
∵ D 为劣弧 BC 的中点,
∴ $OD ⊥ BC$,$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $∠ BOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$.又
∵ $OB=OD=OC$,
∴ $△ OBD$和$△ OCD$ 均为等边三角形,
∴ $OB=BD=CD=OC$,
∴ 四边形 OBDC 为菱形.
(2)
∵ $\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{CD}$,
∴ $∠ CAD = \frac{1}{2} ∠ COD$.
∵ $OC = OD$,
∴ $∠ OCD=∠ ODC$,在$△ OCD$ 中,$∠ COD=180°-∠ OCD-∠ ODC=180°-2∠ ODC$,
∴ $∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}(180°-2∠ ODC)=90°-∠ ODC$.又
∵ TD 与圆 O 相切于点 D,
∴ $∠ ODT=90°$,
∴ $∠ TDC=∠ ODT-∠ ODC=90°-∠ ODC$.又
∵ $∠ CAD=90°-∠ ODC$,
∴ $∠ TDC=∠ CAD$.
一题多解 如图,连接 DO 并延长交圆 O 于点 E,连接 CE,
∵ DE 为圆 O 的直径,
∴ $∠ DEC+∠ CDE=90°$.又
∵ $∠ DEC=∠ CAD$,
∴ $∠ CAD+∠ CDE=90°$.
∵ 直线 TD 与圆 O 相切于点 D,
∴ $∠ TDC+∠ CDE=90°$,
∴ $∠ TDC=∠ CAD$.

12. 阅读资料:我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫作弦切角,如图①中∠PAB所示.同学们研究发现:P为圆上任意一点,若弦AC经过圆心O,且AB切⊙O于点A,此时弦切角∠CAB=∠P(如图②).
证明:∵ AB切⊙O于点A,∴ ∠CAB=90°.又∵ AC是直径,∴ ∠P=90°,∴ ∠CAB=∠P.
问题拓展:若AC不经过圆心O,如图③,当圆心O在∠PCA的内部时,∠CAB=∠P还成立吗?如图④,当圆心O在∠PCA的外部时,∠CAB=∠P还成立吗?请说明理由.
知识运用:如图⑤,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC相切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.求证:EF//BC.

12. 问题拓展:当圆心 O 在 $∠ PCA$ 的内部时, $∠ CAB=∠ P$ 成立.理由如下:作直径 AD,连接 CD,如图①,则 $∠ D=∠ P$,
∵ AD 为直径,
∴ $∠ ACD=90°$,
∴ $∠ D+∠ CAD=90°$.
∵ AB 切$\odot O$ 于点 A,
∴ $AD ⊥ AB$,
∴ $∠ CAB+∠ CAD=90°$,
∴ $∠ CAB=∠ D=∠ P$.
当圆心 O 在 $∠ PCA$ 的外部时, $∠ CAB=∠ P$ 成立.理由如下:连接 AO 并延长交$\odot O$ 于点 $D'$,连接 $PD'$,如图②,由题干可知$∠ PAD=∠ D'$,
∵ $∠ C=∠ D'$,
∴ $∠ PAD=∠ C$.又
∵ $∠ C+∠ CPA+∠ CAP = 180°$, $∠ PAD + ∠ PAC + ∠ CAB = 180°$,
∴ $∠ CAB=∠ CPA$.
知识运用:如图③,连接 DF,
∵ AD 是 $△ ABC$ 中 $∠ BAC$ 的平分线,
∴ $∠ BAD=∠ CAD$.
∵ 经过点 A 的 $\odot O$ 与 BC 相切于点 D,
∴ $∠ CDF=∠ CAD$,
∴ $∠ BAD=∠ CDF$.
∵ $∠ BAD=∠ DFE$,
∴ $∠ CDF=∠ DFE$,
∴ $EF// BC$.