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1. 下列说法正确的是 (
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
B
)A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
答案
1. B 解析:A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线,故本选项错误;B. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确;C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;D. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.故选 B.
2.（2026·呼和浩特期末）如图，$\odot O$的半径为2，PA是$\odot O$的切线，A为切点，$∠ APO=30°$，则PA的长为（
A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.6
C
）A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.6
答案
2. C 解析:如图所示,连接 OA,
∵ PA 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $∠ PAO = 90°$.
∵ $∠ APO=30°$, $\odot O$ 的半径为 2,
∴ $OP= 2OA = 4$,
∴ $PA = \sqrt{OP^2-OA^2}=2\sqrt{3}$,故选 C.
3. 如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=70°,则∠C的度数为 (
A.$52°$
B.$55°$
C.$35°$
D.$44°$
B
)A.$52°$
B.$55°$
C.$35°$
D.$44°$
答案
3. B 解析:
∵ $∠ AOD=70°$,
∴ $∠ B=\frac{1}{2}∠ AOD=35°$.
∵ 以 AB 为直径的$\odot O$ 与 AC 相切于点 A,
∴ $∠ BAC=90°$,
∴ $∠ C= 90°-35°=55°$.故选 B.
∵ $∠ AOD=70°$,
∴ $∠ B=\frac{1}{2}∠ AOD=35°$.
∵ 以 AB 为直径的$\odot O$ 与 AC 相切于点 A,
∴ $∠ BAC=90°$,
∴ $∠ C= 90°-35°=55°$.故选 B.
4. 如图，$\odot O$和直线$l_1$，直线$l_2$在同一平面内，AB是$\odot O$的直径，直线$l_2$是$\odot O$的切线，直线$l_1$经过点A，下列条件不能判定直线$l_1$与$\odot O$相切的是（
A.$l_1 // l_2$
B.$l_1 ⊥ AB$
C.$l_1$与$\odot O$只有一个公共点
D.点O到$l_1$上某点的距离等于半径
D
）A.$l_1 // l_2$
B.$l_1 ⊥ AB$
C.$l_1$与$\odot O$只有一个公共点
D.点O到$l_1$上某点的距离等于半径
答案
4. D 解析:
∵ AB 是 $\odot O$ 的直径,且 $l_2$ 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $l_2⊥ AB$.又
∵ $l_1// l_2$,
∴ $l_1⊥ AB$,
∴ 直线 $l_1$ 与 $\odot O$ 相切.故选项 A,B 可以判定,不符合题意.C. 根据圆的切线的定义,可知与圆仅有一个公共点的直线是切线,选项 C 可以判定,不符合题意;D. 根据到圆心的距离等于半径的直线为圆的切线,选项 D 不可判定,符合题意.故选 D.
∵ AB 是 $\odot O$ 的直径,且 $l_2$ 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $l_2⊥ AB$.又
∵ $l_1// l_2$,
∴ $l_1⊥ AB$,
∴ 直线 $l_1$ 与 $\odot O$ 相切.故选项 A,B 可以判定,不符合题意.C. 根据圆的切线的定义,可知与圆仅有一个公共点的直线是切线,选项 C 可以判定,不符合题意;D. 根据到圆心的距离等于半径的直线为圆的切线,选项 D 不可判定,符合题意.故选 D.
5. (北京中考)如图,OA是$\odot O$的半径,BC是$\odot O$的弦,OA⊥BC于点D,AE是$\odot O$的切线,AE交OC的延长线于点E,若$∠ AOC=45°$,BC=2,则线段AE的长为
$\sqrt{2}$
.答案
5. $\sqrt{2}$ 解析:
∵ OA 是 $\odot O$ 的半径, AE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $∠ OAE=90°$.
∵ $∠ AOC=45°$,$OA⊥ BC$,
∴ $△ CDO$ 和$△ EAO$ 都是等腰直角三角形,
∴ $OD = CD$, $OA = AE$.
∵ $OA ⊥ BC$,
∴ $CD=\frac{1}{2} BC=1$,
∴ $OD=CD=1$,
∴ $OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{2}$,
∴ $AE=OA=OC=\sqrt{2}$.
∵ OA 是 $\odot O$ 的半径, AE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $∠ OAE=90°$.
∵ $∠ AOC=45°$,$OA⊥ BC$,
∴ $△ CDO$ 和$△ EAO$ 都是等腰直角三角形,
∴ $OD = CD$, $OA = AE$.
∵ $OA ⊥ BC$,
∴ $CD=\frac{1}{2} BC=1$,
∴ $OD=CD=1$,
∴ $OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{2}$,
∴ $AE=OA=OC=\sqrt{2}$.
6. (2026·自贡期末)如图,△ABC的边AC经过⊙O的圆心O,BC与⊙O相切于点B,D是⊙O上的一点,连接AD,BD.若∠C=50°,则∠ADB的大小为
$70°$
.答案
6. $70°$ 解析:如图,连接 OB,
∵ BC 与$\odot O$ 相切于点 B,
∴ $OB ⊥ BC$,
∴ $∠ C + ∠ BOC = 90°$,
∴ $50° + ∠ BOC = 90°$,
∴ $∠ BOC= 40°$,
∴ $∠ AOB = 180° - ∠ BOC=140°$,
∴ $∠ ADB=\frac{1}{2}∠ AOB=70°$.
7. (2026·延边期末)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,连接CD,∠BCD=∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)若∠ODC=30°,BD=3,求⊙O的半径.
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)若∠ODC=30°,BD=3,求⊙O的半径.
答案
7. (1)如图,连接 OC,
∵ AB 是 $\odot O$ 的直径,
∴ $∠ ACB= 90°$,
∴ $∠ A + ∠ ABC = 90°$.
∵ $OB= OC$,
∴ $∠ ABC = ∠ OCB$.
∵ $∠ BCD= ∠ A$,
∴ $∠ BCD + ∠ OCB = 90°$,即$∠ OCD=90°$,
∴ $OC ⊥ CD$.
∵ OC 为$\odot O$ 的半径,
∴ CD 是$\odot O$ 的切线.
(2)
∵ $∠ OCD = 90°$, $∠ ODC = 30°$,
∴ $OC = \frac{1}{2} OD$,即 $OD=2OC$.
∵ $OB+BD=OD$,又
∵ $OB=OC$,
∴ $OB=OC=BD=3$,
∴ $\odot O$的半径为3.
8. (十堰中考改编)如图,AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,AD交半圆O于点E.AE=2DE,对于四边形OAEC的形状,描述最准确的是 (
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
C
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案
8. C 解析:连接 OC,EC,过点 O 作 $OF ⊥ AD$ 于点 F,
∴ $AF= EF=\frac{1}{2} AE= DE$.
∵ CD 为圆 O 的切线,
∴ $∠ OCD = 90°$,
∴ $∠ D+∠ OCD=180°$,
∴ $OC// AD$,
∴ $∠ DAC=∠ ACO$.又 $OC= OA$,
∴ $∠ ACO=∠ OAC$,
∴ $∠ DAC=∠ OAC$,
∴ AC 平分$∠ DAB$.
∵ $∠ OCD=∠ CDF=∠ OFD=90°$,
∴ 四边形 OCDF 是矩形,
∴ $OC=DF=DE+EF=2DE$,
∴ $OC// AE$,$OC=AE$,
∴ 四边形 OAEC 是平行四边形.
∵ $OA=OC$,
∴ 平行四边形 OAEC 是菱形.
