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20 已知$(x^{n+a} + x^{n+b}) ÷ x^{n+1} = x^2 + x^3$，其中$n$是正整数，则$a+b$的值为（
A.3
B.5
C.7
D.9
C
）A.3
B.5
C.7
D.9
答案
20. C
解析
【分析】
本题可先依据多项式除以单项式的运算法则，将左侧除法算式拆分为两个单项式分别除以除式，再结合同底数幂的除法运算法则化简左侧式子，最后根据等式两边同类项的指数对应相等，求出a、b的关系即可计算a+b的值。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将等式左侧展开：
$\begin{aligned}(x^{n+a} + x^{n+b}) ÷ x^{n+1}&=x^{n+a}÷x^{n+1} + x^{n+b}÷x^{n+1}\\\end{aligned}$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x^{n+a}÷x^{n+1}=x^{(n+a)-(n+1)}=x^{a-1}$
$x^{n+b}÷x^{n+1}=x^{(n+b)-(n+1)}=x^{b-1}$
因此等式左侧化简为$x^{a-1}+x^{b-1}$，已知该式等于$x^2+x^3$，则对应项的指数相等，有两种情况：
情况1：$\begin{cases}a-1=2\\b-1=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$，此时$a+b=3+4=7$
情况2：$\begin{cases}a-1=3\\b-1=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=4\\b=3\end{cases}$，此时$a+b=4+3=7$
两种情况计算得$a+b$的值均为7。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法；多项式除以单项式；同类项的定义
【点评】
本题重点考查整式除法的基础运算，解题核心是熟练运用同底数幂的除法法则化简算式，再根据等式两边对应项指数相等建立关系求解，两种指数对应情况均不影响最终求和结果，无需额外分类讨论重复计算。
【难度系数】
0.7
本题可先依据多项式除以单项式的运算法则，将左侧除法算式拆分为两个单项式分别除以除式，再结合同底数幂的除法运算法则化简左侧式子，最后根据等式两边同类项的指数对应相等，求出a、b的关系即可计算a+b的值。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将等式左侧展开：
$\begin{aligned}(x^{n+a} + x^{n+b}) ÷ x^{n+1}&=x^{n+a}÷x^{n+1} + x^{n+b}÷x^{n+1}\\\end{aligned}$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x^{n+a}÷x^{n+1}=x^{(n+a)-(n+1)}=x^{a-1}$
$x^{n+b}÷x^{n+1}=x^{(n+b)-(n+1)}=x^{b-1}$
因此等式左侧化简为$x^{a-1}+x^{b-1}$，已知该式等于$x^2+x^3$，则对应项的指数相等，有两种情况：
情况1：$\begin{cases}a-1=2\\b-1=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$，此时$a+b=3+4=7$
情况2：$\begin{cases}a-1=3\\b-1=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=4\\b=3\end{cases}$，此时$a+b=4+3=7$
两种情况计算得$a+b$的值均为7。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法；多项式除以单项式；同类项的定义
【点评】
本题重点考查整式除法的基础运算，解题核心是熟练运用同底数幂的除法法则化简算式，再根据等式两边对应项指数相等建立关系求解，两种指数对应情况均不影响最终求和结果，无需额外分类讨论重复计算。
【难度系数】
0.7
21 一题多解 已知实数$m,n$满足$m^2 + n^2 = 2 + mn$，则$(2m - 3n)^2 + (m + 2n)(m - 2n)$的最大值为（
A.$24$
B.$\dfrac{44}{3}$
C.$\dfrac{16}{3}$
D.$-4$
B
）A.$24$
B.$\dfrac{44}{3}$
C.$\dfrac{16}{3}$
D.$-4$
答案
21. B 【解析】解法一: $\because m^2+n^2=2+mn$，$\therefore (m+n)^2=m^2+n^2+2mn=2+mn+2mn=2+3mn≥0$. $\therefore mn≥-\dfrac{2}{3}$. 又$\because (m-n)^2=m^2+n^2-2mn=2+mn-2mn=2-mn≥0$，$\therefore mn≤2$. $\therefore -\dfrac{2}{3}≤ mn≤2$. $\therefore (2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)=4m^2+9n^2-12mn+m^2-4n^2=5m^2+5n^2-12mn=5(2+mn)-12mn=10-7mn$. $\because -\dfrac{2}{3}≤ mn≤2$，$\therefore -14≤-7mn≤\dfrac{14}{3}$. $\therefore 10-14≤10-7mn≤10+\dfrac{14}{3}$. $\therefore -4≤10-7mn≤\dfrac{44}{3}$. $\therefore (2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)$的最大值为$\dfrac{44}{3}$. 解法二: $\because m^2+n^2=2+mn$，$\therefore mn=m^2+n^2-2$. $\therefore (2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)=4m^2+9n^2-12mn+m^2-4n^2=5m^2+5n^2-12mn=5m^2+5n^2-12(m^2+n^2-2)=24-7(m^2+n^2)$. $\because (m+n)^2=m^2+n^2+2mn=m^2+n^2+2(m^2+n^2-2)=3(m^2+n^2)-4≥0$，$\therefore m^2+n^2≥\dfrac{4}{3}$. $\because (m-n)^2=m^2+n^2-2mn=m^2+n^2-2(m^2+n^2-2)=-(m^2+n^2)+4≥0$，$\therefore m^2+n^2≤4$. $\therefore \dfrac{4}{3}≤ m^2+n^2≤4$. $\therefore -28≤-7(m^2+n^2)≤-\dfrac{28}{3}$. $\therefore 24-28≤24-7(m^2+n^2)≤24-\dfrac{28}{3}$. $\therefore -4≤24-7(m^2+n^2)≤\dfrac{44}{3}$. $\therefore (2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)$的最大值为$\dfrac{44}{3}$.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先化简待求的代数式，利用平方差公式、完全平方公式展开后合并同类项，得到含$m^2+n^2$和$mn$的式子；②结合已知条件$m^2+n^2=2+mn$，将待求式转化为仅含$mn$的代数式，将问题转化为求单一变量代数式的最值；③利用完全平方的非负性，即$(a±b)^2≥0$，推导得出$mn$的取值范围；④最后结合$mn$的范围，计算待求式的最大值即可。
【解析】
首先化简待求代数式：
$\begin{aligned}&(2m - 3n)^2 + (m + 2n)(m - 2n)\\=&4m^2 -12mn +9n^2 + m^2 -4n^2\\=&5m^2 +5n^2 -12mn\end{aligned}$
已知$m^2 + n^2 = 2 + mn$，将其代入上式可得：
$\begin{aligned}原式&=5(2+mn) -12mn\\&=10 +5mn -12mn\\&=10 -7mn\end{aligned}$
接下来求$mn$的取值范围：
由完全平方的非负性可知：
1. $(m+n)^2 = m^2 + 2mn +n^2 = (2+mn) + 2mn = 2+3mn ≥0$，解得$mn≥-\dfrac{2}{3}$；
2. $(m-n)^2 = m^2 - 2mn +n^2 = (2+mn) - 2mn = 2 - mn ≥0$，解得$mn≤2$。
因此$mn$的取值范围是$-\dfrac{2}{3}≤ mn≤2$。
要使$10-7mn$取得最大值，需使$-7mn$最大，即$mn$取最小值$-\dfrac{2}{3}$，代入得：
最大值为$10 -7×(-\dfrac{2}{3}) =10 +\dfrac{14}{3}=\dfrac{44}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
整式的运算；完全平方公式的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是整式运算与不等式结合的典型题型，核心是通过代数转化将多变量的待求式简化为单一变量的代数式，再利用完全平方式的非负性确定变量范围，最终求出最值，能够有效考查学生的代数转化能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①先化简待求的代数式，利用平方差公式、完全平方公式展开后合并同类项，得到含$m^2+n^2$和$mn$的式子；②结合已知条件$m^2+n^2=2+mn$，将待求式转化为仅含$mn$的代数式，将问题转化为求单一变量代数式的最值；③利用完全平方的非负性，即$(a±b)^2≥0$，推导得出$mn$的取值范围；④最后结合$mn$的范围，计算待求式的最大值即可。
【解析】
首先化简待求代数式：
$\begin{aligned}&(2m - 3n)^2 + (m + 2n)(m - 2n)\\=&4m^2 -12mn +9n^2 + m^2 -4n^2\\=&5m^2 +5n^2 -12mn\end{aligned}$
已知$m^2 + n^2 = 2 + mn$，将其代入上式可得：
$\begin{aligned}原式&=5(2+mn) -12mn\\&=10 +5mn -12mn\\&=10 -7mn\end{aligned}$
接下来求$mn$的取值范围：
由完全平方的非负性可知：
1. $(m+n)^2 = m^2 + 2mn +n^2 = (2+mn) + 2mn = 2+3mn ≥0$，解得$mn≥-\dfrac{2}{3}$；
2. $(m-n)^2 = m^2 - 2mn +n^2 = (2+mn) - 2mn = 2 - mn ≥0$，解得$mn≤2$。
因此$mn$的取值范围是$-\dfrac{2}{3}≤ mn≤2$。
要使$10-7mn$取得最大值，需使$-7mn$最大，即$mn$取最小值$-\dfrac{2}{3}$，代入得：
最大值为$10 -7×(-\dfrac{2}{3}) =10 +\dfrac{14}{3}=\dfrac{44}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
整式的运算；完全平方公式的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是整式运算与不等式结合的典型题型，核心是通过代数转化将多变量的待求式简化为单一变量的代数式，再利用完全平方式的非负性确定变量范围，最终求出最值，能够有效考查学生的代数转化能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
22（1）若$2^3 × 8 = 2^n$，则$n=$
（2）若$25^m × 2 × 10^n = 5^7 × 2^4$，则$m=$
6
；（2）若$25^m × 2 × 10^n = 5^7 × 2^4$，则$m=$
2
，$n=$3
。答案
22. (1) 6 (2) 2 3
解析
【分析】
（1）解题思路：先将等式左侧的8转化为以2为底的幂的形式，再利用同底数幂相乘的运算性质化简左侧，最后根据底数相同的幂相等时指数相等即可求出n的值。
（2）解题思路：先将等式左侧的$25^m$、$10^n$分别转化为以5、2为底的幂的形式，再分别合并以5为底、以2为底的同底数幂，最后根据等式两边相同底数的幂的指数对应相等，列等式求解m、n的值。
【解析】
（1）因为$8 = 2^3$，所以等式左侧可化简为：
$2^3 × 8 = 2^3 × 2^3$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^3 × 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
即$2^6 = 2^n$，所以$n = 6$。
（2）先对等式左侧的幂进行变形：
$25^m = (5^2)^m = 5^{2m}$，$10^n = (2×5)^n = 2^n × 5^n$
代入左侧原式化简：
$25^m × 2 × 10^n = 5^{2m} × 2 × 2^n × 5^n$
分别合并同底数幂：
$= 5^{2m + n} × 2^{1 + n}$
已知等式右侧为$5^7 × 2^4$，根据同底数幂相等时对应指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + n = 7 \\1 + n = 4 \end{cases}$
解第二个方程得：$n = 4 - 1 = 3$
将$n=3$代入第一个方程：$2m + 3 = 7$，解得$m = 2$。
【答案】
(1) 6；(2) 2，3
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用“同底数幂相等则指数相等”建立等式求解，熟练掌握幂的各类运算性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：先将等式左侧的8转化为以2为底的幂的形式，再利用同底数幂相乘的运算性质化简左侧，最后根据底数相同的幂相等时指数相等即可求出n的值。
（2）解题思路：先将等式左侧的$25^m$、$10^n$分别转化为以5、2为底的幂的形式，再分别合并以5为底、以2为底的同底数幂，最后根据等式两边相同底数的幂的指数对应相等，列等式求解m、n的值。
【解析】
（1）因为$8 = 2^3$，所以等式左侧可化简为：
$2^3 × 8 = 2^3 × 2^3$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^3 × 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
即$2^6 = 2^n$，所以$n = 6$。
（2）先对等式左侧的幂进行变形：
$25^m = (5^2)^m = 5^{2m}$，$10^n = (2×5)^n = 2^n × 5^n$
代入左侧原式化简：
$25^m × 2 × 10^n = 5^{2m} × 2 × 2^n × 5^n$
分别合并同底数幂：
$= 5^{2m + n} × 2^{1 + n}$
已知等式右侧为$5^7 × 2^4$，根据同底数幂相等时对应指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + n = 7 \\1 + n = 4 \end{cases}$
解第二个方程得：$n = 4 - 1 = 3$
将$n=3$代入第一个方程：$2m + 3 = 7$，解得$m = 2$。
【答案】
(1) 6；(2) 2，3
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用“同底数幂相等则指数相等”建立等式求解，熟练掌握幂的各类运算性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
23 小明在计算$(x+3)(x-\blacksquare)$时，不小心将第二个括号中的常数污染了，小亮告诉他结果中的一次项系数为$-2$，则被污染的常数为
5
.答案
23. 5
解析
【分析】
我们可以先设被污染的常数为未知数，再利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后确定一次项的系数，结合题目给出的一次项系数为-2的条件列一元一次方程，即可求出被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数为$a$，
根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$(x+3)(x-a) = x^2 -ax +3x -3a = x^2 + (3 - a)x - 3a$
由题意可知结果的一次项系数为$-2$，因此列方程：
$3 - a = -2$
解方程：移项得$-a = -2 - 3$，即$-a = -5$，解得$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是熟练掌握多项式乘法的展开规则，明确各项系数的构成，通过设未知数列方程的思路即可求解，计算时要注意符号运算，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
我们可以先设被污染的常数为未知数，再利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后确定一次项的系数，结合题目给出的一次项系数为-2的条件列一元一次方程，即可求出被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数为$a$，
根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$(x+3)(x-a) = x^2 -ax +3x -3a = x^2 + (3 - a)x - 3a$
由题意可知结果的一次项系数为$-2$，因此列方程：
$3 - a = -2$
解方程：移项得$-a = -2 - 3$，即$-a = -5$，解得$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是熟练掌握多项式乘法的展开规则，明确各项系数的构成，通过设未知数列方程的思路即可求解，计算时要注意符号运算，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
24 如图，点B,C,G在一条直线上，正方形CEFG与正方形ABCD的面积差是5，则涂色部分的面积是
2.5
。答案
24. 2.5 【解析】设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为$a$和$b$. 由题意，得$b^2-a^2=5$. $S_{\mathrm{涂色}}=\dfrac{1}{2}a(b-a)+\dfrac{1}{2}b(b-a)=\dfrac{1}{2}(b-a)(b+a)=\dfrac{1}{2}(b^2-a^2)=\dfrac{1}{2}×5=2.5$.
解析
【分析】
解题时先设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，首先根据两个正方形的面积差得到$b^2 - a^2 = 5$；再观察涂色部分是两个三角形，分别确定两个三角形的底和高，用三角形面积公式分别表示出两个三角形的面积，求和后对代数式进行因式分解，结合已知的面积差整体代入计算即可得到结果，无需单独求出a、b的具体数值。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$。
根据题意，两个正方形的面积差为5，可得：$b^2 - a^2 = 5$。
观察涂色部分，由两个三角形组成：
第一个三角形的底为$a$，高为$(b-a)$，面积为$\dfrac{1}{2}a(b-a)$；
第二个三角形的底为$b$，高为$(b-a)$，面积为$\dfrac{1}{2}b(b-a)$。
则涂色部分的总面积为：
$S_{\mathrm{涂色}}=\dfrac{1}{2}a(b-a)+\dfrac{1}{2}b(b-a)$
提取公因式$\dfrac{1}{2}(b-a)$，可得：
$S_{\mathrm{涂色}}=\dfrac{1}{2}(b-a)(a+b)=\dfrac{1}{2}(b^2 - a^2)$
将$b^2 - a^2=5$代入，得：
$S_{\mathrm{涂色}}=\dfrac{1}{2}×5=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
正方形面积计算、三角形面积计算、平方差公式应用
【点评】
本题结合几何图形面积计算与代数因式分解知识，解题的核心是通过设参数表示阴影面积后，利用平方差公式将代数式转化为与已知条件相关的形式，采用整体代入的方法简化计算，避免了求解边长的复杂过程。
【难度系数】
0.6
解题时先设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，首先根据两个正方形的面积差得到$b^2 - a^2 = 5$；再观察涂色部分是两个三角形，分别确定两个三角形的底和高，用三角形面积公式分别表示出两个三角形的面积，求和后对代数式进行因式分解，结合已知的面积差整体代入计算即可得到结果，无需单独求出a、b的具体数值。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$。
根据题意，两个正方形的面积差为5，可得：$b^2 - a^2 = 5$。
观察涂色部分，由两个三角形组成：
第一个三角形的底为$a$，高为$(b-a)$，面积为$\dfrac{1}{2}a(b-a)$；
第二个三角形的底为$b$，高为$(b-a)$，面积为$\dfrac{1}{2}b(b-a)$。
则涂色部分的总面积为：
$S_{\mathrm{涂色}}=\dfrac{1}{2}a(b-a)+\dfrac{1}{2}b(b-a)$
提取公因式$\dfrac{1}{2}(b-a)$，可得：
$S_{\mathrm{涂色}}=\dfrac{1}{2}(b-a)(a+b)=\dfrac{1}{2}(b^2 - a^2)$
将$b^2 - a^2=5$代入，得：
$S_{\mathrm{涂色}}=\dfrac{1}{2}×5=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
正方形面积计算、三角形面积计算、平方差公式应用
【点评】
本题结合几何图形面积计算与代数因式分解知识，解题的核心是通过设参数表示阴影面积后，利用平方差公式将代数式转化为与已知条件相关的形式，采用整体代入的方法简化计算，避免了求解边长的复杂过程。
【难度系数】
0.6
25 对于整数$a,b$定义运算:$a\otimes b = a^m b^n$（其中$m,n$为常数）,如$3\otimes2=3^m×2^n$.若存在一个实数$k$,使得$3\otimes1=k$,$3^{2m+3n}=k^5$.
(1) 求$3^m$的值(用含$k$的代数式表示);
(2) 求证:$m=n$.
(1) 求$3^m$的值(用含$k$的代数式表示);
(2) 求证:$m=n$.
答案
25. (1) $3^m = k$ (2) $\because 3^{2m+3n}=3^{2m}×3^{3n}=(3^m)^2×(3^n)^3$，$3^{2m+3n}=k^5=(3^m)^5$，$\therefore (3^m)^2×(3^n)^3=(3^m)^5$. $\therefore (3^n)^3=(3^m)^3$. $\therefore 3^n=3^m$. $\therefore m=n$
解析
【分析】
(1) 先根据新定义的运算规则写出$3\otimes1$的展开式，结合1的任意次幂都为1的性质，再联立已知$3\otimes1=k$，即可直接推导出$3^m$的表达式。
(2) 先利用同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质，将$3^{2m+3n}$拆分为含$3^m$和$3^n$的幂的乘积形式；再将第(1)问得到的$k=3^m$代入$k^5$，将等式两边都转化为底数为3的幂的形式，通过变形对比即可证明$m=n$。
【解析】
(1) 解：根据题中定义的运算规则可得：
$3\otimes1=3^m×1^n$
∵1的任意次幂均为1，即$1^n=1$，且已知$3\otimes1=k$
∴$3^m=k$
(2) 证明：
由幂的运算性质变形得：
$3^{2m+3n}=3^{2m}×3^{3n}=(3^m)^2×(3^n)^3$
已知$3^{2m+3n}=k^5$，结合(1)的结论$k=3^m$，可得$k^5=(3^m)^5$，因此有：
$(3^m)^2×(3^n)^3=(3^m)^5$
两边同时除以不为0的$(3^m)^2$，得：
$(3^n)^3=(3^m)^3$
等式两边同时开立方得$3^n=3^m$，
∵底数为3的幂值相等时，指数也相等，
∴$m=n$
【答案】
(1) $3^m = k$
(2) 已证得$m=n$
【知识点】
新定义运算，幂的乘方，同底数幂乘法
【点评】
本题结合新定义考查幂的运算法则的应用，解题核心是准确理解新运算规则，熟练运用幂的运算性质变形等式，侧重考查基础运算能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.8
(1) 先根据新定义的运算规则写出$3\otimes1$的展开式，结合1的任意次幂都为1的性质，再联立已知$3\otimes1=k$，即可直接推导出$3^m$的表达式。
(2) 先利用同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质，将$3^{2m+3n}$拆分为含$3^m$和$3^n$的幂的乘积形式；再将第(1)问得到的$k=3^m$代入$k^5$，将等式两边都转化为底数为3的幂的形式，通过变形对比即可证明$m=n$。
【解析】
(1) 解：根据题中定义的运算规则可得：
$3\otimes1=3^m×1^n$
∵1的任意次幂均为1，即$1^n=1$，且已知$3\otimes1=k$
∴$3^m=k$
(2) 证明：
由幂的运算性质变形得：
$3^{2m+3n}=3^{2m}×3^{3n}=(3^m)^2×(3^n)^3$
已知$3^{2m+3n}=k^5$，结合(1)的结论$k=3^m$，可得$k^5=(3^m)^5$，因此有：
$(3^m)^2×(3^n)^3=(3^m)^5$
两边同时除以不为0的$(3^m)^2$，得：
$(3^n)^3=(3^m)^3$
等式两边同时开立方得$3^n=3^m$，
∵底数为3的幂值相等时，指数也相等，
∴$m=n$
【答案】
(1) $3^m = k$
(2) 已证得$m=n$
【知识点】
新定义运算，幂的乘方，同底数幂乘法
【点评】
本题结合新定义考查幂的运算法则的应用，解题核心是准确理解新运算规则，熟练运用幂的运算性质变形等式，侧重考查基础运算能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.8
26 新情境 数学文化 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则为两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了$(a+b)^n$（$n$为正整数）的展开式（按$a$的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如：在“杨辉三角”中第三行的三个数1,2,1，恰好对应$(a+b)^2$的展开式$a^2+2ab+b^2$中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应$(a+b)^3$的展开式$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$中的系数.
(1)$(a+b)^4$的展开式共有
(2)直接写出$(a+b)^5$的展开式；
(3)利用上面的规律计算：$2^6 + 6×2^5×(-\frac{1}{2}) + 15×2^4×(-\frac{1}{2})^2 + 20×2^3×(-\frac{1}{2})^3 + 15×2^2×(-\frac{1}{2})^4 + 6×2×(-\frac{1}{2})^5 + (-\frac{1}{2})^6 -1.$
(1)$(a+b)^4$的展开式共有
5
项，第三项是$6a^2b^2$
；(2)直接写出$(a+b)^5$的展开式；
(3)利用上面的规律计算：$2^6 + 6×2^5×(-\frac{1}{2}) + 15×2^4×(-\frac{1}{2})^2 + 20×2^3×(-\frac{1}{2})^3 + 15×2^2×(-\frac{1}{2})^4 + 6×2×(-\frac{1}{2})^5 + (-\frac{1}{2})^6 -1.$
答案
26. (1) 5 $6a^2b^2$ (2) $(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$ (3) 由“杨辉三角”可知，原式$=(2-\dfrac{1}{2})^6-1=(\dfrac{3}{2})^6-1=\dfrac{665}{64}$
解析
【分析】
解题时首先明确杨辉三角与$(a+b)^n$展开式的对应规律：①$(a+b)^n$的展开式共有$n+1$项；②展开式各项的系数依次对应杨辉三角第$n+1$行的数；③展开式按$a$的降幂排列时，$a$的次数从$n$依次递减到0，$b$的次数从0依次递增到$n$，每一项$a$与$b$的次数和为$n$。
解第(1)问时，先根据$n=4$确定项数，再写出对应杨辉三角行的系数，按排列规律确定第三项；第(2)问先推导$n=5$对应的系数，再按次数规律写出展开式；第(3)问观察原式的系数、各项底数和次数特征，对应二项式展开的结构，将原式转化为$(a+b)^n$的形式简化计算。
【解析】
(1) 根据规律，$(a+b)^n$的展开式项数为$n+1$，因此$(a+b)^4$的展开式有$4+1=5$项。
结合杨辉三角的构造法则，可得$(a+b)^4$的系数依次为1,4,6,4,1，按$a$的降幂排列展开式为$a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$，因此第三项是$6a^2b^2$。
(2) 推导得$(a+b)^5$对应的系数依次为1,5,10,10,5,1，按规律写展开式：
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
(3) 观察原式前半部分的系数为1,6,15,20,15,6,1，恰好是$(a+b)^6$的展开式系数，且各项符合$a=2$、$b=-\frac{1}{2}$的展开式结构，因此：
原式$=(2-\dfrac{1}{2})^6-1=(\dfrac{3}{2})^6-1=\dfrac{729}{64}-\dfrac{64}{64}=\dfrac{665}{64}$
【答案】
(1) $5$，$6a^2b^2$
(2) $(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
(3) $\dfrac{665}{64}$
【知识点】
杨辉三角规律、二项式展开、整式简便运算
【点评】
本题结合我国古代数学文化“杨辉三角”设题，既考查了学生对规律的观察归纳能力，也考查了规律的正向、逆向应用能力，第三问的逆向转化能有效锻炼学生的逻辑思维和运算简化意识。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确杨辉三角与$(a+b)^n$展开式的对应规律：①$(a+b)^n$的展开式共有$n+1$项；②展开式各项的系数依次对应杨辉三角第$n+1$行的数；③展开式按$a$的降幂排列时，$a$的次数从$n$依次递减到0，$b$的次数从0依次递增到$n$，每一项$a$与$b$的次数和为$n$。
解第(1)问时，先根据$n=4$确定项数，再写出对应杨辉三角行的系数，按排列规律确定第三项；第(2)问先推导$n=5$对应的系数，再按次数规律写出展开式；第(3)问观察原式的系数、各项底数和次数特征，对应二项式展开的结构，将原式转化为$(a+b)^n$的形式简化计算。
【解析】
(1) 根据规律，$(a+b)^n$的展开式项数为$n+1$，因此$(a+b)^4$的展开式有$4+1=5$项。
结合杨辉三角的构造法则，可得$(a+b)^4$的系数依次为1,4,6,4,1，按$a$的降幂排列展开式为$a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$，因此第三项是$6a^2b^2$。
(2) 推导得$(a+b)^5$对应的系数依次为1,5,10,10,5,1，按规律写展开式：
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
(3) 观察原式前半部分的系数为1,6,15,20,15,6,1，恰好是$(a+b)^6$的展开式系数，且各项符合$a=2$、$b=-\frac{1}{2}$的展开式结构，因此：
原式$=(2-\dfrac{1}{2})^6-1=(\dfrac{3}{2})^6-1=\dfrac{729}{64}-\dfrac{64}{64}=\dfrac{665}{64}$
【答案】
(1) $5$，$6a^2b^2$
(2) $(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
(3) $\dfrac{665}{64}$
【知识点】
杨辉三角规律、二项式展开、整式简便运算
【点评】
本题结合我国古代数学文化“杨辉三角”设题，既考查了学生对规律的观察归纳能力，也考查了规律的正向、逆向应用能力，第三问的逆向转化能有效锻炼学生的逻辑思维和运算简化意识。
【难度系数】
0.65
