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10 计算：
(1) $8x^3y ÷ (2x)^2 =$
(2) $(-2xy)^2 · \dfrac{3}{2}x^2 + 4x^2y^3 =$
(1) $8x^3y ÷ (2x)^2 =$
$2xy$
；(2) $(-2xy)^2 · \dfrac{3}{2}x^2 + 4x^2y^3 =$
$6x^4y^2+4x^2y^3$
。答案
10. (1) $2xy$ (2) $6x^4y^2+4x^2y^3$
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：
（1）先根据积的乘方法则计算除数$(2x)^2$，再按照单项式除以单项式的法则，将系数、同底数幂分别相除，剩余字母连同指数保留即可得到结果；
（2）运算顺序为先算乘方，再算乘法，最后算加减：先利用积的乘方法则计算$(-2xy)^2$，再根据单项式乘单项式的法则计算乘法，最后判断所得乘积与后面的项是否为同类项，不是同类项则不能合并，直接写出和即为最终结果。
【解析】
（1）先计算乘方：
$(2x)^2=2^2· x^2=4x^2$
再计算单项式除法：
$8x^3y ÷ 4x^2=(8÷4)·(x^3÷ x^2)· y=2xy$
（2）先计算乘方：
$(-2xy)^2=(-2)^2· x^2· y^2=4x^2y^2$
再计算单项式乘法：
$4x^2y^2 · \dfrac{3}{2}x^2=(4×\dfrac{3}{2})·(x^2· x^2)· y^2=6x^4y^2$
最后判断同类项：$6x^4y^2$与$4x^2y^3$所含字母相同，但相同字母的指数不完全一致，不是同类项，无法合并，因此结果为$6x^4y^2+4x^2y^3$。
【答案】
（1）$2xy$；（2）$6x^4y^2+4x^2y^3$
【知识点】
积的乘方运算、单项式的乘除运算、整式的加减
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查整式运算的顺序（先乘方，后乘除，最后加减），解题时需准确掌握各运算法则，注意指数运算的规律，同时要明确只有同类项才能合并，避免出现强行合并非同类项的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：
（1）先根据积的乘方法则计算除数$(2x)^2$，再按照单项式除以单项式的法则，将系数、同底数幂分别相除，剩余字母连同指数保留即可得到结果；
（2）运算顺序为先算乘方，再算乘法，最后算加减：先利用积的乘方法则计算$(-2xy)^2$，再根据单项式乘单项式的法则计算乘法，最后判断所得乘积与后面的项是否为同类项，不是同类项则不能合并，直接写出和即为最终结果。
【解析】
（1）先计算乘方：
$(2x)^2=2^2· x^2=4x^2$
再计算单项式除法：
$8x^3y ÷ 4x^2=(8÷4)·(x^3÷ x^2)· y=2xy$
（2）先计算乘方：
$(-2xy)^2=(-2)^2· x^2· y^2=4x^2y^2$
再计算单项式乘法：
$4x^2y^2 · \dfrac{3}{2}x^2=(4×\dfrac{3}{2})·(x^2· x^2)· y^2=6x^4y^2$
最后判断同类项：$6x^4y^2$与$4x^2y^3$所含字母相同，但相同字母的指数不完全一致，不是同类项，无法合并，因此结果为$6x^4y^2+4x^2y^3$。
【答案】
（1）$2xy$；（2）$6x^4y^2+4x^2y^3$
【知识点】
积的乘方运算、单项式的乘除运算、整式的加减
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查整式运算的顺序（先乘方，后乘除，最后加减），解题时需准确掌握各运算法则，注意指数运算的规律，同时要明确只有同类项才能合并，避免出现强行合并非同类项的错误。
【难度系数】
0.8
11 若$a^2 - a - 10 = 0$，则$(6 - a)(5 + a)$的值是
20
。答案
11. 20
解析
【分析】
题目给出了关于a的等式，若直接求解a的值再代入计算会比较繁琐。我们可以先将要求值的代数式(6-a)(5+a)按照多项式乘多项式的法则展开并整理，观察整理后的式子和已知等式的关联，发现可以把a² -a看作一个整体，先从已知等式得到a² -a的值，再整体代入变形后的式子计算，既简便又符合整式运算的要求。
【解析】
1. 先由已知条件推导整体值：
已知$a^2 - a - 10 = 0$，移项可得$a^2 - a = 10$。
2. 展开并整理所求代数式：
根据多项式乘多项式的运算法则展开$(6 - a)(5 + a)$：
$\begin{aligned}(6 - a)(5 + a)&=6×5 + 6× a - a×5 - a× a\\&=30 + 6a - 5a - a^2\\&=30 + a - a^2\end{aligned}$
将上式变形为含$a^2 - a$的形式：$30 + a - a^2 = 30 - (a^2 - a)$。
3. 整体代入计算：
把$a^2 - a = 10$代入上式，可得：
$30 - 10 = 20$
【答案】
20
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题核心是灵活运用整体代入思想，不需要求出参数a的具体值，熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，对所求式子合理变形后即可代入求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
题目给出了关于a的等式，若直接求解a的值再代入计算会比较繁琐。我们可以先将要求值的代数式(6-a)(5+a)按照多项式乘多项式的法则展开并整理，观察整理后的式子和已知等式的关联，发现可以把a² -a看作一个整体，先从已知等式得到a² -a的值，再整体代入变形后的式子计算，既简便又符合整式运算的要求。
【解析】
1. 先由已知条件推导整体值：
已知$a^2 - a - 10 = 0$，移项可得$a^2 - a = 10$。
2. 展开并整理所求代数式：
根据多项式乘多项式的运算法则展开$(6 - a)(5 + a)$：
$\begin{aligned}(6 - a)(5 + a)&=6×5 + 6× a - a×5 - a× a\\&=30 + 6a - 5a - a^2\\&=30 + a - a^2\end{aligned}$
将上式变形为含$a^2 - a$的形式：$30 + a - a^2 = 30 - (a^2 - a)$。
3. 整体代入计算：
把$a^2 - a = 10$代入上式，可得：
$30 - 10 = 20$
【答案】
20
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题核心是灵活运用整体代入思想，不需要求出参数a的具体值，熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，对所求式子合理变形后即可代入求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
12 某市园林局为美化城区环境，计划在一块长方形空地上种植草皮.若这块空地的面积为$(3a^{2}b^{3}-6a^{2}b+27a^{3}b^{3})m^{2}$，宽为$3ab$ m，则这块空地的长为
$ab^2-2a+9a^2b^2$
m.答案
12. $ab^2-2a+9a^2b^2$
解析
【分析】
首先根据长方形的面积公式“面积=长×宽”，可推导出长=面积÷宽。本题给出的面积是多项式，宽是单项式，因此解题核心是运用多项式除以单项式的运算法则计算：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时需注意系数运算、同底数幂的除法规则以及符号问题。
【解析】
由长方形面积公式可得，空地的长 = 面积÷宽，代入已知条件计算：
$\begin{aligned}&(3a^{2}b^{3}-6a^{2}b+27a^{3}b^{3})÷ 3ab\\=&3a^{2}b^{3}÷ 3ab - 6a^{2}b÷ 3ab + 27a^{3}b^{3}÷ 3ab\\=&ab^{2} - 2a + 9a^{2}b^{2}\end{aligned}$
【答案】
$ab^2-2a+9a^2b^2$
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的实际应用类基础题，解题关键是结合几何公式将实际问题转化为整式除法运算，计算时需留意每一项的符号和同底数幂的除法规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
首先根据长方形的面积公式“面积=长×宽”，可推导出长=面积÷宽。本题给出的面积是多项式，宽是单项式，因此解题核心是运用多项式除以单项式的运算法则计算：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时需注意系数运算、同底数幂的除法规则以及符号问题。
【解析】
由长方形面积公式可得，空地的长 = 面积÷宽，代入已知条件计算：
$\begin{aligned}&(3a^{2}b^{3}-6a^{2}b+27a^{3}b^{3})÷ 3ab\\=&3a^{2}b^{3}÷ 3ab - 6a^{2}b÷ 3ab + 27a^{3}b^{3}÷ 3ab\\=&ab^{2} - 2a + 9a^{2}b^{2}\end{aligned}$
【答案】
$ab^2-2a+9a^2b^2$
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的实际应用类基础题，解题关键是结合几何公式将实际问题转化为整式除法运算，计算时需留意每一项的符号和同底数幂的除法规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
13 计算：
(1) $(-8ab^{3})· (-ab)^{2}· 5abc$；
(2) $(5mn^{2}-4m^{2}n)· (-2mn)$；
(3) $(3x+2y)(9x^{2}-6xy+4y^{2})$。
(1) $(-8ab^{3})· (-ab)^{2}· 5abc$；
(2) $(5mn^{2}-4m^{2}n)· (-2mn)$；
(3) $(3x+2y)(9x^{2}-6xy+4y^{2})$。
答案
13. (1) $-40a^4b^6c$ (2) $-10m^2n^3+8m^3n^2$ (3) $27x^3+8y^3$
解析
【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题思路如下：
(1) 属于单项式乘单项式运算，先计算积的乘方，再将各单项式的系数、同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同它的指数作为积的一个因式，注意符号的运算；
(2) 属于单项式乘多项式运算，根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意不要漏乘，同时处理好符号；
(3) 属于多项式乘多项式运算，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再按单项式乘法法则计算：
$\begin{aligned}(-8ab^{3})· (-ab)^{2}· 5abc&=(-8ab^3)·a^2b^2·5abc\\&=(-8×1×5)·a^{1+2+1}·b^{3+2+1}·c\\&=-40a^4b^6c\end{aligned}$
(2) 根据单项式乘多项式的分配律计算：
$\begin{aligned}(5mn^{2}-4m^{2}n)· (-2mn)&=5mn^2·(-2mn) + (-4m^2n)·(-2mn)\\&=-10m^2n^3 + 8m^3n^2\end{aligned}$
(3) 按多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}(3x+2y)(9x^{2}-6xy+4y^{2})&=3x·9x^2 + 3x·(-6xy) + 3x·4y^2 + 2y·9x^2 + 2y·(-6xy) + 2y·4y^2\\&=27x^3 -18x^2y + 12xy^2 + 18x^2y -12xy^2 +8y^3\\&=27x^3 + 8y^3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-40a^4b^6c}$；(2) $\boxed{-10m^2n^3+8m^3n^2}$；(3) $\boxed{27x^3+8y^3}$
【知识点】
幂的运算，单项式乘多项式，多项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题时要注意运算顺序，先算乘方再算乘法，处理好每一项的符号，合并同类项时注意辨别同类项，熟练掌握运算法则是快速准确解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的乘法运算，解题思路如下：
(1) 属于单项式乘单项式运算，先计算积的乘方，再将各单项式的系数、同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同它的指数作为积的一个因式，注意符号的运算；
(2) 属于单项式乘多项式运算，根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意不要漏乘，同时处理好符号；
(3) 属于多项式乘多项式运算，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再按单项式乘法法则计算：
$\begin{aligned}(-8ab^{3})· (-ab)^{2}· 5abc&=(-8ab^3)·a^2b^2·5abc\\&=(-8×1×5)·a^{1+2+1}·b^{3+2+1}·c\\&=-40a^4b^6c\end{aligned}$
(2) 根据单项式乘多项式的分配律计算：
$\begin{aligned}(5mn^{2}-4m^{2}n)· (-2mn)&=5mn^2·(-2mn) + (-4m^2n)·(-2mn)\\&=-10m^2n^3 + 8m^3n^2\end{aligned}$
(3) 按多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}(3x+2y)(9x^{2}-6xy+4y^{2})&=3x·9x^2 + 3x·(-6xy) + 3x·4y^2 + 2y·9x^2 + 2y·(-6xy) + 2y·4y^2\\&=27x^3 -18x^2y + 12xy^2 + 18x^2y -12xy^2 +8y^3\\&=27x^3 + 8y^3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-40a^4b^6c}$；(2) $\boxed{-10m^2n^3+8m^3n^2}$；(3) $\boxed{27x^3+8y^3}$
【知识点】
幂的运算，单项式乘多项式，多项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题时要注意运算顺序，先算乘方再算乘法，处理好每一项的符号，合并同类项时注意辨别同类项，熟练掌握运算法则是快速准确解题的核心。
【难度系数】
0.7
14 欢欢和乐乐分别计算同一道整式乘法题：$(2x+a)(3x+b)$.欢欢由于抄错了第一个多项式中$a$前面的符号，得到的结果为$6x^2 -13x +6$；乐乐由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$2x^2 -x -6$.
(1) 求式子中$a$，$b$的值；
(2) 请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
(1) 求式子中$a$，$b$的值；
(2) 请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
答案
14. (1) $\because$ 欢欢抄错了第一个多项式中$a$前面的符号，$\therefore (2x-a)(3x+b)=6x^2-(3a-2b)x-ab=6x^2-13x+6$.$\therefore -(3a-2b)=-13$①.$\because$ 乐乐漏抄了第二个多项式中$x$的系数，$\therefore (2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab=2x^2-x-6$.$\therefore a+2b=-1$②. 联立①②，解得 $a=3,b=-2$ (2) $(2x+3)(3x-2)=6x^2+5x-6$
解析
【分析】
解题时需先根据两人抄错的情况，分别写出他们实际计算的整式乘法算式，再将算式展开，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；再将a、b代入原式，按整式乘法法则计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 欢欢抄错了第一个多项式中a前面的符号，因此他实际计算的算式为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2 + 2bx - 3ax - ab = 6x^2 - (3a - 2b)x - ab$
已知他得到的结果为$6x^2 -13x +6$，对应系数相等可得：
$-(3a - 2b) = -13$，即$3a - 2b =13$ ①
乐乐漏抄了第二个多项式中x的系数，因此他实际计算的算式为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2 + 2bx + ax + ab = 2x^2 + (a + 2b)x + ab$
已知他得到的结果为$2x^2 -x -6$，对应系数相等可得：
$a + 2b = -1$ ②
联立①②组成方程组，将两式相加得$4a=12$，解得$a=3$，把$a=3$代入②得$3 + 2b = -1$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=3$，$b=-2$代入原式计算：
$(2x+3)(3x-2)=6x^2 -4x +9x -6 = 6x^2 +5x -6$
【答案】
(1) $a=3$，$b=-2$；(2) 正确结果为$6x^2 +5x -6$
【知识点】
整式乘法；二元一次方程组；多项式恒等
【点评】
本题是整式乘法与方程组的综合题，解题关键是结合错误的计算场景准确列出对应等式，利用多项式对应系数相等的性质建立方程，既考查基础运算能力，也考查逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时需先根据两人抄错的情况，分别写出他们实际计算的整式乘法算式，再将算式展开，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；再将a、b代入原式，按整式乘法法则计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 欢欢抄错了第一个多项式中a前面的符号，因此他实际计算的算式为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2 + 2bx - 3ax - ab = 6x^2 - (3a - 2b)x - ab$
已知他得到的结果为$6x^2 -13x +6$，对应系数相等可得：
$-(3a - 2b) = -13$，即$3a - 2b =13$ ①
乐乐漏抄了第二个多项式中x的系数，因此他实际计算的算式为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2 + 2bx + ax + ab = 2x^2 + (a + 2b)x + ab$
已知他得到的结果为$2x^2 -x -6$，对应系数相等可得：
$a + 2b = -1$ ②
联立①②组成方程组，将两式相加得$4a=12$，解得$a=3$，把$a=3$代入②得$3 + 2b = -1$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=3$，$b=-2$代入原式计算：
$(2x+3)(3x-2)=6x^2 -4x +9x -6 = 6x^2 +5x -6$
【答案】
(1) $a=3$，$b=-2$；(2) 正确结果为$6x^2 +5x -6$
【知识点】
整式乘法；二元一次方程组；多项式恒等
【点评】
本题是整式乘法与方程组的综合题，解题关键是结合错误的计算场景准确列出对应等式，利用多项式对应系数相等的性质建立方程，既考查基础运算能力，也考查逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
15 下列式子不能用平方差公式运算的是（
A.$(x+2)(x-2)$
B.$(2m+n)(-2m-n)$
C.$(-2a+b)(2a+b)$
D.$(y-x)(-y-x)$
B
）A.$(x+2)(x-2)$
B.$(2m+n)(-2m-n)$
C.$(-2a+b)(2a+b)$
D.$(y-x)(-y-x)$
答案
15. B
解析
【分析】
要判断式子能否用平方差公式运算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式。解题时逐一分析每个选项是否符合上述特征，不符合的即为正确答案。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心特征是：两个相乘的二项式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(x+2)(x-2)$中，相同项为$x$，互为相反数的项为$2$和$-2$，符合平方差公式特征，可使用平方差公式运算；
选项B：将$(2m+n)(-2m-n)$变形可得$-(2m+n)(2m+n)=-(2m+n)^2$，其中$2m$与$-2m$互为相反数，$n$与$-n$也互为相反数，不存在相同的项，不符合平方差公式特征，不能使用平方差公式运算；
选项C：$(-2a+b)(2a+b)$中，相同项为$b$，互为相反数的项为$-2a$和$2a$，符合平方差公式特征，可使用平方差公式运算；
选项D：将$(y-x)(-y-x)$变形为$(-x+y)(-x-y)$，相同项为$-x$，互为相反数的项为$y$和$-y$，符合平方差公式特征，可使用平方差公式运算。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的识别，整式乘法公式
【点评】
本题考查对平方差公式结构特征的理解与运用，解题的关键是准确区分两个二项式中的相同项和相反项，注意不要和完全平方公式的结构混淆。
【难度系数】
0.8
要判断式子能否用平方差公式运算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式。解题时逐一分析每个选项是否符合上述特征，不符合的即为正确答案。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心特征是：两个相乘的二项式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(x+2)(x-2)$中，相同项为$x$，互为相反数的项为$2$和$-2$，符合平方差公式特征，可使用平方差公式运算；
选项B：将$(2m+n)(-2m-n)$变形可得$-(2m+n)(2m+n)=-(2m+n)^2$，其中$2m$与$-2m$互为相反数，$n$与$-n$也互为相反数，不存在相同的项，不符合平方差公式特征，不能使用平方差公式运算；
选项C：$(-2a+b)(2a+b)$中，相同项为$b$，互为相反数的项为$-2a$和$2a$，符合平方差公式特征，可使用平方差公式运算；
选项D：将$(y-x)(-y-x)$变形为$(-x+y)(-x-y)$，相同项为$-x$，互为相反数的项为$y$和$-y$，符合平方差公式特征，可使用平方差公式运算。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的识别，整式乘法公式
【点评】
本题考查对平方差公式结构特征的理解与运用，解题的关键是准确区分两个二项式中的相同项和相反项，注意不要和完全平方公式的结构混淆。
【难度系数】
0.8
16 如图,从边长为$(a+1)\mathrm{cm}$的正方形纸片中剪去一个边长为$(a-1)\mathrm{cm}(a＞1)$的正方形,剩余部分沿虚线剪开,拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则该长方形的面积为 (
A.$2\mathrm{ cm}^2$
B.$2a\mathrm{ cm}^2$
C.$4a\mathrm{ cm}^2$
D.$(a^2 -1)\mathrm{cm}^2$
C
)A.$2\mathrm{ cm}^2$
B.$2a\mathrm{ cm}^2$
C.$4a\mathrm{ cm}^2$
D.$(a^2 -1)\mathrm{cm}^2$
答案
16. C
解析
【分析】
解决这道题的核心是明确图形剪拼过程中面积不变，即拼成的长方形面积等于原大正方形面积减去剪去的小正方形面积。我们可以选择两种思路解题：一是直接计算两个正方形的面积差，利用完全平方公式展开化简即可得到结果；二是先确定拼接后长方形的长和宽，再通过长方形面积公式（长×宽）计算。
【解析】
方法一：利用面积差计算
边长为$(a+1)\mathrm{cm}$的大正方形面积为：$S_大=(a+1)^2\ \mathrm{cm}^2$
边长为$(a-1)\mathrm{cm}$的小正方形面积为：$S_小=(a-1)^2\ \mathrm{cm}^2$
剩余部分（即长方形）的面积为：
$\begin{aligned}S&=S_大 - S_小\\&=(a+1)^2-(a-1)^2\\&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=a^2+2a+1-a^2+2a-1\\&=4a\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
方法二：确定长方形的长宽计算
观察剪拼过程可知，拼成的长方形的长为$(a+1)+(a-1)=2a\ \mathrm{cm}$，宽为$(a+1)-(a-1)=2\ \mathrm{cm}$
则长方形面积为：$S=2a×2=4a\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，等积变换，整式运算
【点评】
本题结合图形剪拼的情境考查整式的运算应用，解题关键是抓住剪拼前后面积不变的特点，两种解题思路都较为基础，能很好地考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是明确图形剪拼过程中面积不变，即拼成的长方形面积等于原大正方形面积减去剪去的小正方形面积。我们可以选择两种思路解题：一是直接计算两个正方形的面积差，利用完全平方公式展开化简即可得到结果；二是先确定拼接后长方形的长和宽，再通过长方形面积公式（长×宽）计算。
【解析】
方法一：利用面积差计算
边长为$(a+1)\mathrm{cm}$的大正方形面积为：$S_大=(a+1)^2\ \mathrm{cm}^2$
边长为$(a-1)\mathrm{cm}$的小正方形面积为：$S_小=(a-1)^2\ \mathrm{cm}^2$
剩余部分（即长方形）的面积为：
$\begin{aligned}S&=S_大 - S_小\\&=(a+1)^2-(a-1)^2\\&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=a^2+2a+1-a^2+2a-1\\&=4a\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
方法二：确定长方形的长宽计算
观察剪拼过程可知，拼成的长方形的长为$(a+1)+(a-1)=2a\ \mathrm{cm}$，宽为$(a+1)-(a-1)=2\ \mathrm{cm}$
则长方形面积为：$S=2a×2=4a\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，等积变换，整式运算
【点评】
本题结合图形剪拼的情境考查整式的运算应用，解题关键是抓住剪拼前后面积不变的特点，两种解题思路都较为基础，能很好地考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
17 若$x$为任意实数，则$x - 1 - \frac{1}{4}x^2$的值（
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能为正数、负数或0
B
）A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能为正数、负数或0
答案
17. B
解析
【分析】
要判断给定代数式的取值情况，对于包含二次项、一次项和常数项的二次三项式，我们可以采用配方法将其变形为含完全平方式的形式，再利用完全平方的非负性分析代数式的符号范围。首先将代数式按x的降幂排列，再提取二次项系数进行配方，最后根据非负性判断取值即可。
【解析】
先对原式进行变形整理：
$\begin{aligned}x - 1 - \frac{1}{4}x^2&= -\frac{1}{4}x^2 + x - 1\\&= -\frac{1}{4}(x^2 - 4x + 4)\\&= -\frac{1}{4}(x-2)^2\end{aligned}$
∵x为任意实数，根据完全平方的非负性，可得$(x-2)^2≥0$，
∴$-\frac{1}{4}(x-2)^2≤0$，即该代数式的值小于等于0，不可能为正数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是判断代数式符号的基础题型，解题核心是熟练掌握配方法对二次三项式的变形技巧，结合完全平方的非负性即可快速判断取值范围，这类题型是代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要判断给定代数式的取值情况，对于包含二次项、一次项和常数项的二次三项式，我们可以采用配方法将其变形为含完全平方式的形式，再利用完全平方的非负性分析代数式的符号范围。首先将代数式按x的降幂排列，再提取二次项系数进行配方，最后根据非负性判断取值即可。
【解析】
先对原式进行变形整理：
$\begin{aligned}x - 1 - \frac{1}{4}x^2&= -\frac{1}{4}x^2 + x - 1\\&= -\frac{1}{4}(x^2 - 4x + 4)\\&= -\frac{1}{4}(x-2)^2\end{aligned}$
∵x为任意实数，根据完全平方的非负性，可得$(x-2)^2≥0$，
∴$-\frac{1}{4}(x-2)^2≤0$，即该代数式的值小于等于0，不可能为正数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是判断代数式符号的基础题型，解题核心是熟练掌握配方法对二次三项式的变形技巧，结合完全平方的非负性即可快速判断取值范围，这类题型是代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
18 若$x^2 - 2(m - 3)x + 9$是完全平方式，则$m$的值为
0或6
。答案
18. 0或6
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$两种形式。首先将给定多项式与完全平方式结构对应：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$，常数项$9=3^2$对应$b^2$，即$b=3$，由此可知中间项需为$\pm 2ab=\pm 6x$，再令原式的一次项系数等于$\pm6$，列一元一次方程求解即可，注意不要遗漏两种情况。
【解析】
解：$\because x^2 - 2(m - 3)x + 9$是完全平方式
$\therefore$该式符合完全平方公式的两种展开形式：
情况1：对应$(x+3)^2=x^2+6x+9$，此时一次项系数相等，即：
$-2(m-3)=6$
两边同时除以$-2$得：$m-3=-3$
解得：$m=0$
情况2：对应$(x-3)^2=x^2-6x+9$，此时一次项系数相等，即：
$-2(m-3)=-6$
两边同时除以$-2$得：$m-3=3$
解得：$m=6$
综上，$m$的值为0或6。
【答案】
0或6
【知识点】
完全平方公式；解一元一次方程
【点评】
本题考查完全平方式的结构特征，解题关键是明确完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，避免因只考虑一种情况出现漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$两种形式。首先将给定多项式与完全平方式结构对应：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$，常数项$9=3^2$对应$b^2$，即$b=3$，由此可知中间项需为$\pm 2ab=\pm 6x$，再令原式的一次项系数等于$\pm6$，列一元一次方程求解即可，注意不要遗漏两种情况。
【解析】
解：$\because x^2 - 2(m - 3)x + 9$是完全平方式
$\therefore$该式符合完全平方公式的两种展开形式：
情况1：对应$(x+3)^2=x^2+6x+9$，此时一次项系数相等，即：
$-2(m-3)=6$
两边同时除以$-2$得：$m-3=-3$
解得：$m=0$
情况2：对应$(x-3)^2=x^2-6x+9$，此时一次项系数相等，即：
$-2(m-3)=-6$
两边同时除以$-2$得：$m-3=3$
解得：$m=6$
综上，$m$的值为0或6。
【答案】
0或6
【知识点】
完全平方公式；解一元一次方程
【点评】
本题考查完全平方式的结构特征，解题关键是明确完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，避免因只考虑一种情况出现漏解。
【难度系数】
0.7
19 先化简，再求值：$(2x+1)(2x-1)-(2x-3)^2$，其中$x=-\dfrac{1}{6}$
答案
19. 原式$=12x-10$. 当$x=-\dfrac{1}{6}$时，原式$=-12$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，观察原式的两个乘积项，$(2x+1)(2x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，$(2x-3)^2$符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，先分别用两个公式展开，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将给定的$x$的值代入最简整式计算结果即可。注意去括号时，括号前是负号，括号内各项都要变号。
【解析】
首先利用乘法公式展开各项：
1. 由平方差公式得：$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$
2. 由完全平方差公式得：$(2x-3)^2=(2x)^2 - 2×2x×3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$
将上述结果代入原式，去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 - 1 - (4x^2 - 12x + 9)\\&=4x^2 -1 -4x^2 +12x -9\\&=12x -10\end{aligned}$
再将$x=-\dfrac{1}{6}$代入最简式计算：
当$x=-\dfrac{1}{6}$时，$原式=12×(-\dfrac{1}{6}) - 10 = -2 -10 = -12$
【答案】
原式化简为$12x-10$，当$x=-\dfrac{1}{6}$时，原式的值为$-12$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的熟练运用，解题的易错点是去括号时符号处理错误，以及公式展开时系数、指数计算失误，掌握好乘法公式的结构特征，仔细计算即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，观察原式的两个乘积项，$(2x+1)(2x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，$(2x-3)^2$符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，先分别用两个公式展开，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将给定的$x$的值代入最简整式计算结果即可。注意去括号时，括号前是负号，括号内各项都要变号。
【解析】
首先利用乘法公式展开各项：
1. 由平方差公式得：$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$
2. 由完全平方差公式得：$(2x-3)^2=(2x)^2 - 2×2x×3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$
将上述结果代入原式，去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 - 1 - (4x^2 - 12x + 9)\\&=4x^2 -1 -4x^2 +12x -9\\&=12x -10\end{aligned}$
再将$x=-\dfrac{1}{6}$代入最简式计算：
当$x=-\dfrac{1}{6}$时，$原式=12×(-\dfrac{1}{6}) - 10 = -2 -10 = -12$
【答案】
原式化简为$12x-10$，当$x=-\dfrac{1}{6}$时，原式的值为$-12$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的熟练运用，解题的易错点是去括号时符号处理错误，以及公式展开时系数、指数计算失误，掌握好乘法公式的结构特征，仔细计算即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
