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1 教材P124探究变式 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（
A.$3abc^3=3c · abc^2$
B.$x^2 -1 = x(x - \frac{1}{x})$
C.$4t^2 -9=(2t+3)(2t-3)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$
C
）A.$3abc^3=3c · abc^2$
B.$x^2 -1 = x(x - \frac{1}{x})$
C.$4t^2 -9=(2t+3)(2t-3)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，且变形前后恒等。解题时我们只要对照定义的三个要求：①左边的变形对象是多项式；②右边的结果是几个整式的乘积；③左右两边恒等，逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：左边$3abc^3$是单项式，不是多项式，不满足因式分解的变形对象要求，故A错误；
B选项：右边$x(x-\frac{1}{x})$中含有$\frac{1}{x}$，属于分式，不是整式，不满足结果为整式乘积的要求，故B错误；
C选项：左边$4t^2-9$是多项式，右边$(2t+3)(2t-3)$是两个整式的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：右边$(x+4)(x-4)+6x$是乘积与多项式的和的形式，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的结果要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义 2. 整式的概念
【点评】
本题是对因式分解概念的基础考查，解题的关键是牢牢抓住因式分解的三个判定要点：变形对象为多项式、变形结果为几个整式的乘积、变形为恒等变形，掌握要点即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是不是因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，且变形前后恒等。解题时我们只要对照定义的三个要求：①左边的变形对象是多项式；②右边的结果是几个整式的乘积；③左右两边恒等，逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：左边$3abc^3$是单项式，不是多项式，不满足因式分解的变形对象要求，故A错误；
B选项：右边$x(x-\frac{1}{x})$中含有$\frac{1}{x}$，属于分式，不是整式，不满足结果为整式乘积的要求，故B错误；
C选项：左边$4t^2-9$是多项式，右边$(2t+3)(2t-3)$是两个整式的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故C正确；
D选项：右边$(x+4)(x-4)+6x$是乘积与多项式的和的形式，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的结果要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义 2. 整式的概念
【点评】
本题是对因式分解概念的基础考查，解题的关键是牢牢抓住因式分解的三个判定要点：变形对象为多项式、变形结果为几个整式的乘积、变形为恒等变形，掌握要点即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
2 若多项式 $x^2 - mx - 21$ 可以分解为 $(x + 3)(x - 7)$，则 $m = \_\_\_\_\_\_.$
答案
4
解析
【分析】
要确定m的值，我们可以利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系，先将分解后的因式$(x+3)(x-7)$通过整式乘法展开，再将展开后的多项式与原式$x^2 - mx -21$对比，令对应项的系数相等，即可求出m的值。
【解析】
首先对$(x+3)(x-7)$进行整式乘法运算：
$\begin{aligned}(x+3)(x-7)&=x· x -7· x +3· x -3×7\\&=x^2 -7x +3x -21\\&=x^2 -4x -21\end{aligned}$
已知多项式$x^2 - mx -21$分解因式的结果为$(x+3)(x-7)$，因此两个多项式相等：
$x^2 - mx -21 = x^2 -4x -21$
根据多项式相等时对应项的系数相等，可得一次项系数相等：
$-m = -4$
解得：$m=4$
【答案】
4
【知识点】
1.因式分解与整式乘法互逆
2.整式乘法运算
3.多项式系数对应相等
【点评】
本题考查因式分解相关的基础运算，解题核心是利用因式分解和整式乘法的互逆性展开乘积式，再通过系数对应关系求解，掌握整式乘法的运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.9
要确定m的值，我们可以利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系，先将分解后的因式$(x+3)(x-7)$通过整式乘法展开，再将展开后的多项式与原式$x^2 - mx -21$对比，令对应项的系数相等，即可求出m的值。
【解析】
首先对$(x+3)(x-7)$进行整式乘法运算：
$\begin{aligned}(x+3)(x-7)&=x· x -7· x +3· x -3×7\\&=x^2 -7x +3x -21\\&=x^2 -4x -21\end{aligned}$
已知多项式$x^2 - mx -21$分解因式的结果为$(x+3)(x-7)$，因此两个多项式相等：
$x^2 - mx -21 = x^2 -4x -21$
根据多项式相等时对应项的系数相等，可得一次项系数相等：
$-m = -4$
解得：$m=4$
【答案】
4
【知识点】
1.因式分解与整式乘法互逆
2.整式乘法运算
3.多项式系数对应相等
【点评】
本题考查因式分解相关的基础运算，解题核心是利用因式分解和整式乘法的互逆性展开乘积式，再通过系数对应关系求解，掌握整式乘法的运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.9
3 下列多项式中,可以提取公因式的为 （
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
B
）A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查提公因式法因式分解的相关知识，解题核心是明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的公共因式，叫做这个多项式的公因式。解题思路是逐一分析每个选项中的多项式各项，判断是否存在除1之外的公共因式，存在即可提取公因式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2-y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，两项没有除1以外的公共因式，无法提取公因式，该式可通过平方差公式分解，不符合要求；
B. 多项式$x^2+x$的两项为$x^2$和$x$，两项都含有公因式$x$，可以提取公因式$x$，分解为$x(x+1)$，符合要求；
C. 多项式$x^2-y$的两项为$x^2$和$-y$，两项没有除1以外的公共因式，无法提取公因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2+2xy+y^2$的三项为$x^2$、$2xy$、$y^2$，三项没有除1以外的公共因式，无法提取公因式，该式可通过完全平方公式分解，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的概念，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对公因式的识别能力，解题时要注意区分提公因式法和公式法因式分解的适用场景，牢记公因式是多项式各项共有的因式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查提公因式法因式分解的相关知识，解题核心是明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的公共因式，叫做这个多项式的公因式。解题思路是逐一分析每个选项中的多项式各项，判断是否存在除1之外的公共因式，存在即可提取公因式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2-y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，两项没有除1以外的公共因式，无法提取公因式，该式可通过平方差公式分解，不符合要求；
B. 多项式$x^2+x$的两项为$x^2$和$x$，两项都含有公因式$x$，可以提取公因式$x$，分解为$x(x+1)$，符合要求；
C. 多项式$x^2-y$的两项为$x^2$和$-y$，两项没有除1以外的公共因式，无法提取公因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2+2xy+y^2$的三项为$x^2$、$2xy$、$y^2$，三项没有除1以外的公共因式，无法提取公因式，该式可通过完全平方公式分解，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的概念，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对公因式的识别能力，解题时要注意区分提公因式法和公式法因式分解的适用场景，牢记公因式是多项式各项共有的因式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4 多项式$8a^3b^2 -12ab^3c$中各项的公因式为
（
A.$4ab^2$
B.$4abc$
C.$2ab^2$
D.$4ab^3$
（
A
）A.$4ab^2$
B.$4abc$
C.$2ab^2$
D.$4ab^3$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需按固定规则分步推导：第一步先求各项系数的最大公约数，第二步找两项都含有的相同字母，第三步对相同字母取次数最低的幂，最后将这几部分相乘就是最终的公因式。我们依次对应这个多项式的两项分析即可得出结果。
【解析】
确定公因式分三步计算：
1. 求系数的最大公约数：两项系数为8和-12，绝对值8和12的最大公约数是4；
2. 找共有字母：两项分别为$8a^3b^2$和$-12ab^3c$，都含有的字母是a、b，字母c仅在第二项出现，不属于共有字母，不纳入公因式；
3. 取相同字母的最低次幂：a的次数在第一项为3、第二项为1，取最低次1；b的次数在第一项为2、第二项为3，取最低次2。
将上述结果组合，公因式为$4× a^1 × b^2=4ab^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定、最大公约数的计算、幂的意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查公因式的确定规则，只要熟练掌握“系数取最大公约数、字母取共有且次数最低”的判定原则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要确定多项式各项的公因式，需按固定规则分步推导：第一步先求各项系数的最大公约数，第二步找两项都含有的相同字母，第三步对相同字母取次数最低的幂，最后将这几部分相乘就是最终的公因式。我们依次对应这个多项式的两项分析即可得出结果。
【解析】
确定公因式分三步计算：
1. 求系数的最大公约数：两项系数为8和-12，绝对值8和12的最大公约数是4；
2. 找共有字母：两项分别为$8a^3b^2$和$-12ab^3c$，都含有的字母是a、b，字母c仅在第二项出现，不属于共有字母，不纳入公因式；
3. 取相同字母的最低次幂：a的次数在第一项为3、第二项为1，取最低次1；b的次数在第一项为2、第二项为3，取最低次2。
将上述结果组合，公因式为$4× a^1 × b^2=4ab^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定、最大公约数的计算、幂的意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查公因式的确定规则，只要熟练掌握“系数取最大公约数、字母取共有且次数最低”的判定原则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
5 分解因式：
(1) $[2025 \mathrm{ 甘孜}]ab+ac=$ ______；
(2) $[2025 \mathrm{ 江西}]a^2 - a=$ ______；
(3) $[2025 \mathrm{ 长沙}]mx - 2my=$ ______.
(1) $[2025 \mathrm{ 甘孜}]ab+ac=$ ______；
(2) $[2025 \mathrm{ 江西}]a^2 - a=$ ______；
(3) $[2025 \mathrm{ 长沙}]mx - 2my=$ ______.
答案
(1) $a(b+c)$ (2) $a(a-1)$ (3) $m(x-2y)$
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先观察多项式的每一项，确定各项共有的公因式：①先找各项系数的最大公约数，②再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；随后提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的项，最终写成公因式乘剩余多项式的形式即可，注意提取公因式后剩余项的符号要和原式对应。
【解析】
(1) 观察$ab+ac$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$后，剩余项分别为$b$和$c$，因此$ab+ac=a(b+c)$；
(2) 观察$a^2 - a$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$后，剩余项分别为$a$和$-1$，因此$a^2 - a=a(a-1)$；
(3) 观察$mx - 2my$，两项的公因式为$m$，提取公因式$m$后，剩余项分别为$x$和$-2y$，因此$mx - 2my=m(x-2y)$。
【答案】
(1) $a(b+c)$ (2) $a(a-1)$ (3) $m(x-2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
这三道题是提公因式法分解因式的基础题型，核心是准确识别公因式，提取后注意剩余项的符号、项数不要出错，熟练掌握该方法是后续学习复杂因式分解的基础。
【难度系数】
0.9
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先观察多项式的每一项，确定各项共有的公因式：①先找各项系数的最大公约数，②再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；随后提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的项，最终写成公因式乘剩余多项式的形式即可，注意提取公因式后剩余项的符号要和原式对应。
【解析】
(1) 观察$ab+ac$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$后，剩余项分别为$b$和$c$，因此$ab+ac=a(b+c)$；
(2) 观察$a^2 - a$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$后，剩余项分别为$a$和$-1$，因此$a^2 - a=a(a-1)$；
(3) 观察$mx - 2my$，两项的公因式为$m$，提取公因式$m$后，剩余项分别为$x$和$-2y$，因此$mx - 2my=m(x-2y)$。
【答案】
(1) $a(b+c)$ (2) $a(a-1)$ (3) $m(x-2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
这三道题是提公因式法分解因式的基础题型，核心是准确识别公因式，提取后注意剩余项的符号、项数不要出错，熟练掌握该方法是后续学习复杂因式分解的基础。
【难度系数】
0.9
6 分解因式：
(1) $p^2 -7p$；
(2) $2ab -b^2 +3bc$。
(1) $p^2 -7p$；
(2) $2ab -b^2 +3bc$。
答案
(1) $p(p-7)$ (2) $b(2a-b+3c)$
解析
【分析】
这两道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：找公因式时，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，最终写成公因式乘括号内多项式的形式即可。
【解析】
(1) 多项式$p^2 -7p$的两项都含有公因式$p$，提取公因式$p$：
$p^2 -7p = p· p - p·7 = p(p-7)$
(2) 多项式$2ab -b^2 +3bc$的三项都含有公因式$b$，提取公因式$b$：
$2ab -b^2 +3bc = b·2a - b· b + b·3c = b(2a - b + 3c)$
【答案】
(1) $p(p-7)$；(2) $b(2a-b+3c)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的运用，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
这两道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：找公因式时，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，最终写成公因式乘括号内多项式的形式即可。
【解析】
(1) 多项式$p^2 -7p$的两项都含有公因式$p$，提取公因式$p$：
$p^2 -7p = p· p - p·7 = p(p-7)$
(2) 多项式$2ab -b^2 +3bc$的三项都含有公因式$b$，提取公因式$b$：
$2ab -b^2 +3bc = b·2a - b· b + b·3c = b(2a - b + 3c)$
【答案】
(1) $p(p-7)$；(2) $b(2a-b+3c)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的运用，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
7 利用提公因式法计算 $43×79+58×79-79$ 的过程及结果是 （
A.$79×(43+58)=79×101=7979$
B.$79×(43+58-1)=79×100=7900$
C.$79×(43+58+1)=79×102=8058$
D.$79×(43+58-79)=79×22=1738$
B
）A.$79×(43+58)=79×101=7979$
B.$79×(43+58-1)=79×100=7900$
C.$79×(43+58+1)=79×102=8058$
D.$79×(43+58-79)=79×22=1738$
答案
B
解析
【分析】观察算式可知，各项均含有公因数79，可采用提公因式法进行简便计算。注意最后一项的“-79”可转化为“-1×79”，提取公因式79后，剩余部分需保留原式的运算符号，即分别为43、+58、-1，将剩余部分合并后再乘79即可算出结果。
【解析】
首先将原式改写为含公因式的形式：$43×79 + 58×79 - 1×79$
提取公因式79，得：$79×(43 + 58 - 1)$
先计算括号内的运算：$43 + 58 - 1 = 100$
再计算乘法：$79×100 = 7900$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法；有理数简便运算
【点评】
本题考查提公因式法在简便运算中的应用，易错点是提取公因式时容易遗漏最后一项的系数-1，导致错选A，解题时要注意核对每一项提取公因式后的剩余部分。
【难度系数】
0.8
【解析】
首先将原式改写为含公因式的形式：$43×79 + 58×79 - 1×79$
提取公因式79，得：$79×(43 + 58 - 1)$
先计算括号内的运算：$43 + 58 - 1 = 100$
再计算乘法：$79×100 = 7900$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法；有理数简便运算
【点评】
本题考查提公因式法在简便运算中的应用，易错点是提取公因式时容易遗漏最后一项的系数-1，导致错选A，解题时要注意核对每一项提取公因式后的剩余部分。
【难度系数】
0.8
8 多项式$am - an + ap^2$提取公因式$a$后，另一个因式为 （
A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^2$
D.$m - n +1$
C
）A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^2$
D.$m - n +1$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路为：题目已经给出公因式是$a$，我们只需要将原多项式的每一项分别除以公因式$a$，把得到的结果按原有符号合并，就是提取公因式后剩下的另一个因式，计算时要注意每一项都参与运算，不能漏项，同时保留各项原本的符号。
【解析】
解：原多项式为$am - an + ap^2$，提取公因式$a$时，分别计算每一项除以$a$的结果：
第一项：$am÷ a = m$
第二项：$-an÷ a = -n$
第三项：$ap^2÷ a = p^2$
将上述结果按原式符号合并，得到另一个因式为$m - n + p^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法
2. 多项式除以单项式
【点评】
本题是提公因式法的基础练习题，解题时需注意提取公因式后要检查剩余因式是否漏项，各项的符号是否与原式一致，避免出现符号错误或丢项的问题。
【难度系数】
0.9
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路为：题目已经给出公因式是$a$，我们只需要将原多项式的每一项分别除以公因式$a$，把得到的结果按原有符号合并，就是提取公因式后剩下的另一个因式，计算时要注意每一项都参与运算，不能漏项，同时保留各项原本的符号。
【解析】
解：原多项式为$am - an + ap^2$，提取公因式$a$时，分别计算每一项除以$a$的结果：
第一项：$am÷ a = m$
第二项：$-an÷ a = -n$
第三项：$ap^2÷ a = p^2$
将上述结果按原式符号合并，得到另一个因式为$m - n + p^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法
2. 多项式除以单项式
【点评】
本题是提公因式法的基础练习题，解题时需注意提取公因式后要检查剩余因式是否漏项，各项的符号是否与原式一致，避免出现符号错误或丢项的问题。
【难度系数】
0.9
9 分解因式：$ax^2 - 2ax - a =$
$a(x^2-2x-1)$
.答案
$a(x^2-2x-1)$
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路清晰明确：第一步先确定多项式各项的公因式，观察多项式$ax^2 - 2ax - a$的每一项都含有因式$a$，因此公因式为$a$；第二步将公因式$a$提取出来，把多项式各项除以公因式后剩下的部分放在括号内即可，当前课时仅学习提公因式法，括号内的多项式无法再用提公因式法分解，到这一步就完成因式分解。
【解析】
解：首先确定多项式的公因式，多项式各项均含有字母$a$，且$a$的最低次数为1，因此公因式为$a$。
提取公因式$a$可得：
$ax^2 - 2ax - a = a· x^2 - a· 2x - a· 1 = a(x^2-2x-1)$
【答案】
$a(x^2-2x-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的核心是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后注意检查括号内的项数是否和原多项式项数一致，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路清晰明确：第一步先确定多项式各项的公因式，观察多项式$ax^2 - 2ax - a$的每一项都含有因式$a$，因此公因式为$a$；第二步将公因式$a$提取出来，把多项式各项除以公因式后剩下的部分放在括号内即可，当前课时仅学习提公因式法，括号内的多项式无法再用提公因式法分解，到这一步就完成因式分解。
【解析】
解：首先确定多项式的公因式，多项式各项均含有字母$a$，且$a$的最低次数为1，因此公因式为$a$。
提取公因式$a$可得：
$ax^2 - 2ax - a = a· x^2 - a· 2x - a· 1 = a(x^2-2x-1)$
【答案】
$a(x^2-2x-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的核心是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后注意检查括号内的项数是否和原多项式项数一致，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
10 教材 P127 习题 T3 变式 利用因式分解计算：
(1) $888^2 + 222 × 448$；
(2) $29 × 20.26 + 72 × 20.26 - 20.26$。
(1) $888^2 + 222 × 448$；
(2) $29 × 20.26 + 72 × 20.26 - 20.26$。
答案
(1) 原式$=888^2 + 888 × 112 = 888 × (888 + 112) = 888 × 1000 = 888000$
(2) 原式$=20.26 × (29 + 72 - 1) = 20.26 × 100 = 2026$
(2) 原式$=20.26 × (29 + 72 - 1) = 20.26 × 100 = 2026$
解析
【分析】
(1) 观察式子特征发现888是222的4倍，我们可以先对$222×448$做恒等变形凑出公因式888，再用提公因式法简化计算：将$222×448$改写为$888×112$后，两项都含有公因式888，提取公因式后括号内的和为整千数，计算更简便。
(2) 观察式子发现三项都含有相同因数20.26，可直接将20.26作为公因式提取，注意最后一项$-20.26$等价于$-1×20.26$，提取公因式后剩余系数相加减刚好得到整百数，可快速算出结果。
【解析】
(1) 先对原式变形凑公因式：
$\begin{aligned}原式&=888^2 + 222× 4× 112\\&=888^2 + 888× 112\end{aligned}$
提取公因式888：
$\begin{aligned}原式&=888×(888 + 112)\\&=888× 1000\\&=888000\end{aligned}$
(2) 直接提取公因式20.26：
$\begin{aligned}原式&=20.26×(29 + 72 - 1)\\&=20.26× 100\\&=2026\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{888000}$；(2) $\boxed{2026}$
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解简便运算
【点评】
这两道题是利用因式分解做简便运算的典型题，解题核心是准确识别公因式，没有公因式时可通过恒等变形凑出公因式，提取公因式后能将复杂的乘加、乘减运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算难度，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子特征发现888是222的4倍，我们可以先对$222×448$做恒等变形凑出公因式888，再用提公因式法简化计算：将$222×448$改写为$888×112$后，两项都含有公因式888，提取公因式后括号内的和为整千数，计算更简便。
(2) 观察式子发现三项都含有相同因数20.26，可直接将20.26作为公因式提取，注意最后一项$-20.26$等价于$-1×20.26$，提取公因式后剩余系数相加减刚好得到整百数，可快速算出结果。
【解析】
(1) 先对原式变形凑公因式：
$\begin{aligned}原式&=888^2 + 222× 4× 112\\&=888^2 + 888× 112\end{aligned}$
提取公因式888：
$\begin{aligned}原式&=888×(888 + 112)\\&=888× 1000\\&=888000\end{aligned}$
(2) 直接提取公因式20.26：
$\begin{aligned}原式&=20.26×(29 + 72 - 1)\\&=20.26× 100\\&=2026\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{888000}$；(2) $\boxed{2026}$
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解简便运算
【点评】
这两道题是利用因式分解做简便运算的典型题，解题核心是准确识别公因式，没有公因式时可通过恒等变形凑出公因式，提取公因式后能将复杂的乘加、乘减运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算难度，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
11 教材 P125 练习 T3(3)变式 求证：$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被 45 整除。
答案
原式$=3^{28} - 3^{27} - 3^{26} = 3^{26} × (3^2 - 3 - 1) = 3^{26} × 5 = 3^{24} × 45$，
$\therefore 81^7 - 27^9 - 9^{13}$ 能被 45 整除
$\therefore 81^7 - 27^9 - 9^{13}$ 能被 45 整除
解析
【分析】
要证明一个整式能被45整除，只需证明45是该整式的一个因数即可。首先观察原式中三个幂的底数81、27、9均为3的整数次幂，第一步先将所有项统一转化为以3为底的幂，再提取各项的公因式，最后对提取公因式后的式子变形，判断是否含有因数45即可完成证明。
【解析】
先将原式各项转化为底数为3的幂：
$81^7=(3^4)^7=3^{4×7}=3^{28}$，
$27^9=(3^3)^9=3^{3×9}=3^{27}$，
$9^{13}=(3^2)^{13}=3^{2×13}=3^{26}$，
因此原式可改写为：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=3^{28}-3^{27}-3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}×(9-3-1)\\&=3^{26}×5\\&=3^{24}×3^2×5\\&=3^{24}×45\end{aligned}$
因为$3^{24}$是整数，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$是45的整数倍，即能被45整除。
【答案】
$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除，得证。
【知识点】
幂的乘方运算；提公因式法因式分解；整除的判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是先统一幂的底数，再提取公因式，将原式变形为含目标除数的乘积形式，既考查了幂的运算性质，也考查了因式分解的实际应用。
【难度系数】
0.75
要证明一个整式能被45整除，只需证明45是该整式的一个因数即可。首先观察原式中三个幂的底数81、27、9均为3的整数次幂，第一步先将所有项统一转化为以3为底的幂，再提取各项的公因式，最后对提取公因式后的式子变形，判断是否含有因数45即可完成证明。
【解析】
先将原式各项转化为底数为3的幂：
$81^7=(3^4)^7=3^{4×7}=3^{28}$，
$27^9=(3^3)^9=3^{3×9}=3^{27}$，
$9^{13}=(3^2)^{13}=3^{2×13}=3^{26}$，
因此原式可改写为：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=3^{28}-3^{27}-3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}×(9-3-1)\\&=3^{26}×5\\&=3^{24}×3^2×5\\&=3^{24}×45\end{aligned}$
因为$3^{24}$是整数，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$是45的整数倍，即能被45整除。
【答案】
$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除，得证。
【知识点】
幂的乘方运算；提公因式法因式分解；整除的判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是先统一幂的底数，再提取公因式，将原式变形为含目标除数的乘积形式，既考查了幂的运算性质，也考查了因式分解的实际应用。
【难度系数】
0.75
