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1 AI名师编审 现有一批螺丝帽,从中抽选6个测得它们的直径尺寸(单位:cm)依次是3.5,3.8,3.6,3.2,3.7,3.6,要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组,使两组数据波动最小,你认为应该如何分组?
答案
现将这组数据从小到大排序为 3.2,3.5,3.6,3.6,3.7,3.8,计算不同分组的组内离差平方和,如下表(不能整除的保留四位小数):
| 分组方式 | 组内离差平方和 |
|--------------------------|----------------|
| 第一组1个,第二组5个 | 0.052 |
| 第一组2个,第二组4个 | 0.072 5 |
| 第一组3个,第二组3个 | 0.106 7 |
| 第一组4个,第二组2个 | 0.112 5 |
| 第一组5个,第二组1个 | 0.148 |
计算结果表明,第一种分组的组内离差平方和最小.因此把6个螺丝帽按直径大小分成两组,一组是3.2,一组是3.5,3.6,3.6,3.7,3.8,这样分组波动最小.
| 分组方式 | 组内离差平方和 |
|--------------------------|----------------|
| 第一组1个,第二组5个 | 0.052 |
| 第一组2个,第二组4个 | 0.072 5 |
| 第一组3个,第二组3个 | 0.106 7 |
| 第一组4个,第二组2个 | 0.112 5 |
| 第一组5个,第二组1个 | 0.148 |
计算结果表明,第一种分组的组内离差平方和最小.因此把6个螺丝帽按直径大小分成两组,一组是3.2,一组是3.5,3.6,3.6,3.7,3.8,这样分组波动最小.
解析
【分析】
要使两组数据波动最小，本质是让两组的组内波动总和最小，组内波动可以用组内离差平方和衡量，离差平方和越小说明组内数据越集中、波动越小。解题思路如下：第一步先将6个直径数据从小到大排序，方便后续分组；第二步枚举所有合理的分组方式，分别是1个和5个、2个和4个、3个和3个、4个和2个、5个和1个这五类分组；第三步计算每种分组的两组离差平方和之和，找到总和最小的分组就是最优方案。
【解析】
首先将测得的直径数据从小到大排序：3.2，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8。
组内离差平方和越小，对应组内数据波动越小，我们逐一计算不同分组的总离差平方和：
1. 第一组1个、第二组5个：总离差平方和为0.052
2. 第一组2个、第二组4个：总离差平方和为0.0725
3. 第一组3个、第二组3个：总离差平方和为0.1067
4. 第一组4个、第二组2个：总离差平方和为0.1125
5. 第一组5个、第二组1个：总离差平方和为0.148
对比可知，1个和5个的分组总离差平方和最小，对应两组波动最小。
【答案】
一组是直径为3.2cm的螺丝帽，另一组是直径为3.5cm、3.6cm、3.6cm、3.7cm、3.8cm的螺丝帽。
【知识点】
数据波动的衡量、数据排序、合理分组
【点评】
本题结合生活实际考查对数据波动含义的理解，以及方案优化的能力，解题核心是明确离差平方和越小代表组内波动越小，通过枚举所有可能的分组并计算比较即可得到结果。
【难度系数】
0.6
要使两组数据波动最小，本质是让两组的组内波动总和最小，组内波动可以用组内离差平方和衡量，离差平方和越小说明组内数据越集中、波动越小。解题思路如下：第一步先将6个直径数据从小到大排序，方便后续分组；第二步枚举所有合理的分组方式，分别是1个和5个、2个和4个、3个和3个、4个和2个、5个和1个这五类分组；第三步计算每种分组的两组离差平方和之和，找到总和最小的分组就是最优方案。
【解析】
首先将测得的直径数据从小到大排序：3.2，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8。
组内离差平方和越小，对应组内数据波动越小，我们逐一计算不同分组的总离差平方和：
1. 第一组1个、第二组5个：总离差平方和为0.052
2. 第一组2个、第二组4个：总离差平方和为0.0725
3. 第一组3个、第二组3个：总离差平方和为0.1067
4. 第一组4个、第二组2个：总离差平方和为0.1125
5. 第一组5个、第二组1个：总离差平方和为0.148
对比可知，1个和5个的分组总离差平方和最小，对应两组波动最小。
【答案】
一组是直径为3.2cm的螺丝帽，另一组是直径为3.5cm、3.6cm、3.6cm、3.7cm、3.8cm的螺丝帽。
【知识点】
数据波动的衡量、数据排序、合理分组
【点评】
本题结合生活实际考查对数据波动含义的理解，以及方案优化的能力，解题核心是明确离差平方和越小代表组内波动越小，通过枚举所有可能的分组并计算比较即可得到结果。
【难度系数】
0.6
2 AI 名师编审。为考察某品种小麦的长势，测量了8株麦苗的高（单位：cm），结果如下：21,21,22,23,23,24,25,25. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这8个数据分成两组。
答案
计算不同分组的组内离差平方和,如下表:
| 分组方式 | 组内离差平方和 |
|--------------------------|----------------|
| 第一组1个,第二组7个 | $\dfrac{94}{7}$|
| 第一组2个,第二组6个 | $\dfrac{22}{3}$|
| 第一组3个,第二组5个 | $\dfrac{14}{3}$|
| 第一组4个,第二组4个 | $\dfrac{11}{2}$|
| 第一组5个,第二组3个 | $\dfrac{14}{3}$|
| 第一组6个,第二组2个 | $\dfrac{22}{3}$|
| 第一组7个,第二组1个 | $\dfrac{94}{7}$|
可知将这8个数据分成两组有两个方案.方案一:21,21,22为一组,23,23,24,25,25为一组;方案二:21,21,22,23,23为一组,24,25,25为一组.
| 分组方式 | 组内离差平方和 |
|--------------------------|----------------|
| 第一组1个,第二组7个 | $\dfrac{94}{7}$|
| 第一组2个,第二组6个 | $\dfrac{22}{3}$|
| 第一组3个,第二组5个 | $\dfrac{14}{3}$|
| 第一组4个,第二组4个 | $\dfrac{11}{2}$|
| 第一组5个,第二组3个 | $\dfrac{14}{3}$|
| 第一组6个,第二组2个 | $\dfrac{22}{3}$|
| 第一组7个,第二组1个 | $\dfrac{94}{7}$|
可知将这8个数据分成两组有两个方案.方案一:21,21,22为一组,23,23,24,25,25为一组;方案二:21,21,22,23,23为一组,24,25,25为一组.
解析
【分析】
要找到组内离差平方和最小的分组方案，首先观察到8个数据已经按从小到大有序排列：21,21,22,23,23,24,25,25。对于有序数据，最优分组一定是连续分割（如果打乱顺序把中间数值分到不同组，会导致离差平方和更大），因此我们只需要考虑从第k个和第k+1个数据之间切开，分成前k个一组、后8-k个一组的情况，k取1~7。接下来分别计算每种分割方式下两组的组内离差平方和之和，找到和最小的分割方式即可得到最优分组方案。组内离差平方和的计算方法是：先求组内数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的总和，两组的总离差平方和为两组各自离差平方和相加。
【解析】
首先明确组内离差平方和计算规则：对于一组数据，先计算组内平均数，再求每个数据与平均数的差的平方之和，两组总离差平方和为两组各自离差平方和相加。
我们依次计算不同分割方式的总离差平方和：
1. 1个数据为一组、7个数据为一组：总离差平方和为$\frac{94}{7}\approx13.43$
2. 2个数据为一组、6个数据为一组：总离差平方和为$\frac{22}{3}\approx7.33$
3. 3个数据为一组、5个数据为一组：总离差平方和为$\frac{14}{3}\approx4.67$
4. 4个数据为一组、4个数据为一组：总离差平方和为$\frac{11}{2}=5.5$
5. 5个数据为一组、3个数据为一组：与3个和5个的分法对称，总离差平方和为$\frac{14}{3}\approx4.67$
6. 6个数据为一组、2个数据为一组：与2个和6个的分法对称，总离差平方和为$\frac{22}{3}\approx7.33$
7. 7个数据为一组、1个数据为一组：与1个和7个的分法对称，总离差平方和为$\frac{94}{7}\approx13.43$
对比可知总离差平方和最小的是3个和5个的分割方式，对应两个分组方案。
【答案】
有两种分组方案：方案一：21,21,22为一组，23,23,24,25,25为一组；方案二：21,21,22,23,23为一组，24,25,25为一组。
【知识点】
离差平方和计算；合理分组；平均数计算
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和越小，组内数据离散程度越低、分组越合理，解题时要注意有序数据的最优分组是连续分割，避免无意义的排列组合分组，能有效锻炼学生的数据处理能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
要找到组内离差平方和最小的分组方案，首先观察到8个数据已经按从小到大有序排列：21,21,22,23,23,24,25,25。对于有序数据，最优分组一定是连续分割（如果打乱顺序把中间数值分到不同组，会导致离差平方和更大），因此我们只需要考虑从第k个和第k+1个数据之间切开，分成前k个一组、后8-k个一组的情况，k取1~7。接下来分别计算每种分割方式下两组的组内离差平方和之和，找到和最小的分割方式即可得到最优分组方案。组内离差平方和的计算方法是：先求组内数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的总和，两组的总离差平方和为两组各自离差平方和相加。
【解析】
首先明确组内离差平方和计算规则：对于一组数据，先计算组内平均数，再求每个数据与平均数的差的平方之和，两组总离差平方和为两组各自离差平方和相加。
我们依次计算不同分割方式的总离差平方和：
1. 1个数据为一组、7个数据为一组：总离差平方和为$\frac{94}{7}\approx13.43$
2. 2个数据为一组、6个数据为一组：总离差平方和为$\frac{22}{3}\approx7.33$
3. 3个数据为一组、5个数据为一组：总离差平方和为$\frac{14}{3}\approx4.67$
4. 4个数据为一组、4个数据为一组：总离差平方和为$\frac{11}{2}=5.5$
5. 5个数据为一组、3个数据为一组：与3个和5个的分法对称，总离差平方和为$\frac{14}{3}\approx4.67$
6. 6个数据为一组、2个数据为一组：与2个和6个的分法对称，总离差平方和为$\frac{22}{3}\approx7.33$
7. 7个数据为一组、1个数据为一组：与1个和7个的分法对称，总离差平方和为$\frac{94}{7}\approx13.43$
对比可知总离差平方和最小的是3个和5个的分割方式，对应两个分组方案。
【答案】
有两种分组方案：方案一：21,21,22为一组，23,23,24,25,25为一组；方案二：21,21,22,23,23为一组，24,25,25为一组。
【知识点】
离差平方和计算；合理分组；平均数计算
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和越小，组内数据离散程度越低、分组越合理，解题时要注意有序数据的最优分组是连续分割，避免无意义的排列组合分组，能有效锻炼学生的数据处理能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
3[2025广东深圳二模]艺术测评的目的是了解学生艺术素养发展状况,改进美育教学.某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准,在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析,下面是对九(1)班抽取的10位同学的测评分值的分析过程.
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下:
|分组方式|组别|测评分值/分|
| ---- | ---- | ---- |
|方式一
(按平均分相同分组)|Ⅰ组|80,85,85,90,100|
||
组|80,85,90,90,95|
|方式二
(按分数段分组)|Ⅰ组|80,80,85,85,85|
||Ⅱ组|90,90,90,95,100|
【描述与分析】
10位同学测评分值统计量分析表
|分组方式|组别|中位数/分|众数/分|方差|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|方式一|Ⅰ组|m|85|46|360|
||Ⅱ组|90|90|26| |
|方式二|Ⅰ组|85
|85|6|110|
||Ⅱ组|90|n|16| |
说明:组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度.它的值越小,说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近
10位同学测评分值扇形统计图
根据以上信息,解答下面问题:
(1)扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为
(2)m=
【判断与决策】
(3)为深入推进小组学习,促进同学间的互帮互助、共同进步,请你根据以上信息,选择一种利于开展小组学习的分组方式,并说明你这样选择的理由.
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下:
|分组方式|组别|测评分值/分|
| ---- | ---- | ---- |
|方式一
(按平均分相同分组)|Ⅰ组|80,85,85,90,100|
||
组|80,85,90,90,95||方式二
(按分数段分组)|Ⅰ组|80,80,85,85,85|
||Ⅱ组|90,90,90,95,100|
【描述与分析】
10位同学测评分值统计量分析表
|分组方式|组别|中位数/分|众数/分|方差|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|方式一|Ⅰ组|m|85|46|360|
||Ⅱ组|90|90|26| |
|方式二|Ⅰ组|85
|85|6|110|||Ⅱ组|90|n|16| |
说明:组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度.它的值越小,说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近
10位同学测评分值扇形统计图
根据以上信息,解答下面问题:
(1)扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为
36
°.(2)m=
85
,n=90
.【判断与决策】
(3)为深入推进小组学习,促进同学间的互帮互助、共同进步,请你根据以上信息,选择一种利于开展小组学习的分组方式,并说明你这样选择的理由.
答案
(1) 扇形统计图中“100 分”对应的圆心角度数为 $360°×\dfrac{1}{10}=36°$,故答案为 36.
(2) 方式一中Ⅰ组数据从小到大排列,中间数为85,则中位数 $m=85$,方式二中Ⅱ组数据中出现次数最多的是 90,则众数 $n=90$,故答案为 85,90.
(3) 方式二利于开展小组学习.理由:由题表知,方式二的组内离差平方和小于方式一的,说明方式二中同组成员之间的水平比较接近,更利于开展同级别水平的训练,促进同学间的互帮互助、共同进步.(言之有理即可)
(2) 方式一中Ⅰ组数据从小到大排列,中间数为85,则中位数 $m=85$,方式二中Ⅱ组数据中出现次数最多的是 90,则众数 $n=90$,故答案为 85,90.
(3) 方式二利于开展小组学习.理由:由题表知,方式二的组内离差平方和小于方式一的,说明方式二中同组成员之间的水平比较接近,更利于开展同级别水平的训练,促进同学间的互帮互助、共同进步.(言之有理即可)
解析
【分析】
(1) 求扇形统计图中对应圆心角度数，需先计算100分人数占总抽取人数的比例，再用360°乘该比例即可求解。(2) 求中位数m：将方式一Ⅰ组数据从小到大排序，5个数据的中位数是排序后第3个数据；求众数n：找方式二Ⅱ组中出现次数最多的数即可。(3) 选择分组方式可依据题干给出的组内离差平方和的意义判断，离差平方和越小说明同组水平越接近，更利于小组互助学习，对比两种分组方式的离差平方和即可得出结论。
【解析】
(1) 共抽取10位同学，其中得100分的有1人，因此“100分”对应的圆心角度数为：
$360° × \frac{1}{10}=36°$
(2) 方式一Ⅰ组数据从小到大排列为：80,85,85,90,100，最中间的数是85，故中位数$m=85$；
方式二Ⅱ组数据为：90,90,90,95,100，90出现次数最多，故众数$n=90$。
(3) 选择方式二利于开展小组学习。理由：由统计表格可知，方式二的组内离差平方和小于方式一的组内离差平方和，说明方式二中同组成员的艺术测评水平更接近，更利于开展同级别水平的训练，促进同学间互帮互助、共同进步。（言之有理即可）
【答案】
(1) 36
(2) 85；90
(3) 选择方式二，理由：方式二组内离差平方和更小，同组成员水平更接近，利于互帮互助、共同进步（言之有理即可）
【知识点】
扇形统计图，中位数与众数，统计决策
【点评】本题结合艺术测评的实际情境考查统计相关基础知识点，既考察了基础统计概念的应用，也引导学生学会利用统计结论解决实际决策问题，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
(1) 求扇形统计图中对应圆心角度数，需先计算100分人数占总抽取人数的比例，再用360°乘该比例即可求解。(2) 求中位数m：将方式一Ⅰ组数据从小到大排序，5个数据的中位数是排序后第3个数据；求众数n：找方式二Ⅱ组中出现次数最多的数即可。(3) 选择分组方式可依据题干给出的组内离差平方和的意义判断，离差平方和越小说明同组水平越接近，更利于小组互助学习，对比两种分组方式的离差平方和即可得出结论。
【解析】
(1) 共抽取10位同学，其中得100分的有1人，因此“100分”对应的圆心角度数为：
$360° × \frac{1}{10}=36°$
(2) 方式一Ⅰ组数据从小到大排列为：80,85,85,90,100，最中间的数是85，故中位数$m=85$；
方式二Ⅱ组数据为：90,90,90,95,100，90出现次数最多，故众数$n=90$。
(3) 选择方式二利于开展小组学习。理由：由统计表格可知，方式二的组内离差平方和小于方式一的组内离差平方和，说明方式二中同组成员的艺术测评水平更接近，更利于开展同级别水平的训练，促进同学间互帮互助、共同进步。（言之有理即可）
【答案】
(1) 36
(2) 85；90
(3) 选择方式二，理由：方式二组内离差平方和更小，同组成员水平更接近，利于互帮互助、共同进步（言之有理即可）
【知识点】
扇形统计图，中位数与众数，统计决策
【点评】本题结合艺术测评的实际情境考查统计相关基础知识点，既考察了基础统计概念的应用，也引导学生学会利用统计结论解决实际决策问题，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
