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1[中]在如图所示的平面直角坐标系中，直线$y=3$上有$A,B,C,D,E$五个点，下列说法中错误的是（
A.五个点的横坐标的方差是2
B.五个点的横坐标的平均数是3
C.五个点的纵坐标的方差是2
D.五个点的纵坐标的平均数是3
C
）A.五个点的横坐标的方差是2
B.五个点的横坐标的平均数是3
C.五个点的纵坐标的方差是2
D.五个点的纵坐标的平均数是3
答案
1. C 【解析】根据题意可得,五个点的横坐标的平均数为$\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$,五个点的横坐标的方差为$\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=2$,五个点的纵坐标的平均数为$\frac{3+3+3+3+3}{5}=3$,五个点的纵坐标的方差是 0,故 C 选项的说法错误. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先从平面直角坐标系中提取五个点的横、纵坐标数据，再分别按照平均数、方差的计算公式，计算横坐标的平均数和方差、纵坐标的平均数和方差，最后将计算结果与四个选项逐一比对，找出说法错误的选项即可。
【解析】
首先确定五个点的横坐标分别为1、2、3、4、5，纵坐标均为3：
1. 计算横坐标的平均数：$\bar{x}_\mathrm{横}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，因此B选项说法正确；
2. 计算横坐标的方差：$s^2_\mathrm{横}=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$，因此A选项说法正确；
3. 计算纵坐标的平均数：$\bar{x}_\mathrm{纵}=\frac{3+3+3+3+3}{5}=3$，因此D选项说法正确；
4. 计算纵坐标的方差：$s^2_\mathrm{纵}=\frac{1}{5}×[(3-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2]=0$，因此C选项说法错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算，方差计算，点的坐标特征
【点评】
本题结合平面直角坐标系基础知识和平均数、方差的计算考查，解题关键是正确提取各点坐标数据，牢记相关计算公式，需要注意：若一组数据所有数值相等，则该组数据的方差为0。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先从平面直角坐标系中提取五个点的横、纵坐标数据，再分别按照平均数、方差的计算公式，计算横坐标的平均数和方差、纵坐标的平均数和方差，最后将计算结果与四个选项逐一比对，找出说法错误的选项即可。
【解析】
首先确定五个点的横坐标分别为1、2、3、4、5，纵坐标均为3：
1. 计算横坐标的平均数：$\bar{x}_\mathrm{横}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，因此B选项说法正确；
2. 计算横坐标的方差：$s^2_\mathrm{横}=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$，因此A选项说法正确；
3. 计算纵坐标的平均数：$\bar{x}_\mathrm{纵}=\frac{3+3+3+3+3}{5}=3$，因此D选项说法正确；
4. 计算纵坐标的方差：$s^2_\mathrm{纵}=\frac{1}{5}×[(3-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2]=0$，因此C选项说法错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算，方差计算，点的坐标特征
【点评】
本题结合平面直角坐标系基础知识和平均数、方差的计算考查，解题关键是正确提取各点坐标数据，牢记相关计算公式，需要注意：若一组数据所有数值相等，则该组数据的方差为0。
【难度系数】
0.7
2[中]甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩(单位:个)如图所示.
设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为$s^2_甲$和$s^2_乙$,则$s^2_甲$
设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为$s^2_甲$和$s^2_乙$,则$s^2_甲$
＜
$s^2_乙$.(填“＞”“＜”或“=”)答案
2. ＜ 【解析】$\bar{x}_甲=(5+6+7+8)×25\%=6.5$(个),$\bar{x}_乙=5×30\%+6×20\%+7×20\%+8×30\%=6.5$(个),则$s^2_甲=\frac{1}{20}×[(5-6.5)^2+(6-6.5)^2+(7-6.5)^2+(8-6.5)^2]×20×25\%=1.25$,$s^2_乙=\frac{1}{20}×[(5-6.5)^2×20×30\%+(6-6.5)^2×20×20\%+(7-6.5)^2×20×20\%+(8-6.5)^2×20×30\%]=1.45$,所以$s^2_甲＜s^2_乙$. 故答案为＜.
解析
【分析】
要比较两个班成绩的方差大小，需按以下步骤思考：首先，方差是衡量数据波动程度的统计量，计算方差前需要先求出两组数据的平均数，本题中扇形统计图给出了各成绩的占比，用加权平均数公式即可求出两班的平均成绩；其次，在确认两班平均成绩相同的基础上，根据方差公式分别计算两班的方差，也可直接观察数据分布判断波动程度：数据越集中在平均数附近，方差越小，乙班更多数据分布在离平均数更远的5个和8个区间，波动更大，方差更大；最后对比两个方差的大小即可得到结论。
【解析】
1. 计算两班的平均成绩：
甲班平均成绩：$\bar{x}_甲=5×25\%+6×25\%+7×25\%+8×25\%=(5+6+7+8)×0.25=6.5$（个）
乙班平均成绩：$\bar{x}_乙=5×30\%+6×20\%+7×20\%+8×30\%=1.5+1.2+1.4+2.4=6.5$（个）
2. 计算两班的方差：
甲班各成绩人数均为$20×25\%=5$人，
$s^2_甲=\frac{1}{20}×[5×(5-6.5)^2+5×(6-6.5)^2+5×(7-6.5)^2+5×(8-6.5)^2]$
$=\frac{1}{20}×(5×2.25+5×0.25+5×0.25+5×2.25)=\frac{25}{20}=1.25$
乙班成绩为5个的有$20×30\%=6$人，6个的有$20×20\%=4$人，7个的有$20×20\%=4$人，8个的有$20×30\%=6$人，
$s^2_乙=\frac{1}{20}×[6×(5-6.5)^2+4×(6-6.5)^2+4×(7-6.5)^2+6×(8-6.5)^2]$
$=\frac{1}{20}×(6×2.25+4×0.25+4×0.25+6×2.25)=\frac{29}{20}=1.45$
3. 比较大小：$1.25＜1.45$，因此$s^2_甲＜s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
加权平均数；方差计算；扇形统计图
【点评】
本题结合扇形统计图考查方差的相关知识，既可以通过规范计算得到准确结果，也可以通过观察数据离散程度快速判断波动大小，解题时要注意加权平均数和方差公式的正确运用。
【难度系数】
0.7
要比较两个班成绩的方差大小，需按以下步骤思考：首先，方差是衡量数据波动程度的统计量，计算方差前需要先求出两组数据的平均数，本题中扇形统计图给出了各成绩的占比，用加权平均数公式即可求出两班的平均成绩；其次，在确认两班平均成绩相同的基础上，根据方差公式分别计算两班的方差，也可直接观察数据分布判断波动程度：数据越集中在平均数附近，方差越小，乙班更多数据分布在离平均数更远的5个和8个区间，波动更大，方差更大；最后对比两个方差的大小即可得到结论。
【解析】
1. 计算两班的平均成绩：
甲班平均成绩：$\bar{x}_甲=5×25\%+6×25\%+7×25\%+8×25\%=(5+6+7+8)×0.25=6.5$（个）
乙班平均成绩：$\bar{x}_乙=5×30\%+6×20\%+7×20\%+8×30\%=1.5+1.2+1.4+2.4=6.5$（个）
2. 计算两班的方差：
甲班各成绩人数均为$20×25\%=5$人，
$s^2_甲=\frac{1}{20}×[5×(5-6.5)^2+5×(6-6.5)^2+5×(7-6.5)^2+5×(8-6.5)^2]$
$=\frac{1}{20}×(5×2.25+5×0.25+5×0.25+5×2.25)=\frac{25}{20}=1.25$
乙班成绩为5个的有$20×30\%=6$人，6个的有$20×20\%=4$人，7个的有$20×20\%=4$人，8个的有$20×30\%=6$人，
$s^2_乙=\frac{1}{20}×[6×(5-6.5)^2+4×(6-6.5)^2+4×(7-6.5)^2+6×(8-6.5)^2]$
$=\frac{1}{20}×(6×2.25+4×0.25+4×0.25+6×2.25)=\frac{29}{20}=1.45$
3. 比较大小：$1.25＜1.45$，因此$s^2_甲＜s^2_乙$。
【答案】
＜
【知识点】
加权平均数；方差计算；扇形统计图
【点评】
本题结合扇形统计图考查方差的相关知识，既可以通过规范计算得到准确结果，也可以通过观察数据离散程度快速判断波动大小，解题时要注意加权平均数和方差公式的正确运用。
【难度系数】
0.7
3[较难]为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是
$\frac{8}{7}$
。答案
3. $\frac{8}{7}$ 【解析】因为平均数是 12,所以这组数据的总和为$12×7=84$,所以被墨汁覆盖的三天的个数的总和为$84-(11+12+13+12)=36$. 因为这组数据唯一的众数是 13,所以被墨汁覆盖的三个数分别为 10,13,13,所以$s^2=\frac{1}{7}×[(11-12)^2+(12-12)^2+(10-12)^2+(13-12)^2+(13-12)^2+(13-12)^2+(12-12)^2]=\frac{8}{7}$.
解析
【分析】
解题时首先利用平均数的计算公式求出这组数据的总和，减去已知4天的个数得到被墨汁覆盖三天的个数之和；再结合“唯一众数是13”的条件，分析13出现的次数需要多于已知12出现的次数（已知12出现2次，因此13至少要出现3次），结合三天的总个数确定被覆盖的三个数分别是多少；最后代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵这组数据的平均数是12，
∴这组数据的总和为 $12 × 7 = 84$，
∴被墨汁覆盖的三天的个数之和为 $84 - (11 + 12 + 13 + 12) = 36$。
∵这组数据的唯一众数是13，已知数据中12已经出现2次，
∴13出现的次数要多于2次，即被覆盖的三个数中至少有2个13，
若有2个13，则第三个数为 $36 - 13 × 2 = 10$，符合条件；若有3个13，总和为$13×3=39＞36$，不符合要求，
因此被覆盖的三个数为10、13、13。
根据方差公式 $s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2 = \frac{1}{7} × [(11-12)^2 + (12-12)^2 + (13-12)^2 + (10-12)^2 + (13-12)^2 + (13-12)^2 + (12-12)^2]$
$= \frac{1}{7} × (1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 1 + 0) = \frac{8}{7}$
【答案】$\frac{8}{7}$
【知识点】平均数的计算，众数的概念，方差的计算
【点评】本题综合考查了统计中平均数、众数、方差的相关应用，解题的关键是结合平均数的总数关系和众数的唯一性确定未知数据，解题时要注意不要忽略“唯一众数”的限制条件，避免多解。
【难度系数】0.6
解题时首先利用平均数的计算公式求出这组数据的总和，减去已知4天的个数得到被墨汁覆盖三天的个数之和；再结合“唯一众数是13”的条件，分析13出现的次数需要多于已知12出现的次数（已知12出现2次，因此13至少要出现3次），结合三天的总个数确定被覆盖的三个数分别是多少；最后代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵这组数据的平均数是12，
∴这组数据的总和为 $12 × 7 = 84$，
∴被墨汁覆盖的三天的个数之和为 $84 - (11 + 12 + 13 + 12) = 36$。
∵这组数据的唯一众数是13，已知数据中12已经出现2次，
∴13出现的次数要多于2次，即被覆盖的三个数中至少有2个13，
若有2个13，则第三个数为 $36 - 13 × 2 = 10$，符合条件；若有3个13，总和为$13×3=39＞36$，不符合要求，
因此被覆盖的三个数为10、13、13。
根据方差公式 $s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2 = \frac{1}{7} × [(11-12)^2 + (12-12)^2 + (13-12)^2 + (10-12)^2 + (13-12)^2 + (13-12)^2 + (12-12)^2]$
$= \frac{1}{7} × (1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 1 + 0) = \frac{8}{7}$
【答案】$\frac{8}{7}$
【知识点】平均数的计算，众数的概念，方差的计算
【点评】本题综合考查了统计中平均数、众数、方差的相关应用，解题的关键是结合平均数的总数关系和众数的唯一性确定未知数据，解题时要注意不要忽略“唯一众数”的限制条件，避免多解。
【难度系数】0.6
4[2025湖南湘西州期末,中]已知数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是10,方差是6,那么数据$x_1+3,x_2+3,x_3+3$的平均数和方差分别是 (
A.13,6
B.13,9
C.10,6
D.10,9
A
)A.13,6
B.13,9
C.10,6
D.10,9
答案
4. A 【解析】因为数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是 10,方差是 6,所以$x_1+3,x_2+3,x_3+3$的平均数是 13,方差是 6,故选 A.
解析
【分析】
解题时先回忆平均数和方差的定义及变化规律，首先明确已知条件：原数据的平均数为10、方差为6，现在每个数据都加上常数3。计算新数据平均数时，可根据平均数计算公式推导：每个数据加3，总和会增加3×3=9，数据总个数不变，因此平均数会增加3；再分析方差，方差反映的是数据的波动程度，每个数据都加上相同的数，数据之间的差值不变，波动程度不变，因此方差不变，也可代入方差公式验证推导结果。
【解析】
解：已知数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是10，即$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=10$。
新数据$x_1+3,x_2+3,x_3+3$的平均数为：
$\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+(x_3+3)}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3 + 9}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}+3=10+3=13$。
已知原数据方差是6，即$\frac{1}{3}[(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2]=6$。
新数据的方差为：
$\frac{1}{3}[(x_1+3 - 13)^2+(x_2+3 - 13)^2+(x_3+3 - 13)^2]$
$=\frac{1}{3}[(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2]=6$。
因此新数据的平均数是13，方差是6，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，掌握“一组数据中每个数据同时加上（或减去）同一个常数，平均数相应加上（或减去）这个常数，方差保持不变”的规律，可快速得出答案，避免繁琐计算。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平均数和方差的定义及变化规律，首先明确已知条件：原数据的平均数为10、方差为6，现在每个数据都加上常数3。计算新数据平均数时，可根据平均数计算公式推导：每个数据加3，总和会增加3×3=9，数据总个数不变，因此平均数会增加3；再分析方差，方差反映的是数据的波动程度，每个数据都加上相同的数，数据之间的差值不变，波动程度不变，因此方差不变，也可代入方差公式验证推导结果。
【解析】
解：已知数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是10，即$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=10$。
新数据$x_1+3,x_2+3,x_3+3$的平均数为：
$\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+(x_3+3)}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3 + 9}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}+3=10+3=13$。
已知原数据方差是6，即$\frac{1}{3}[(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2]=6$。
新数据的方差为：
$\frac{1}{3}[(x_1+3 - 13)^2+(x_2+3 - 13)^2+(x_3+3 - 13)^2]$
$=\frac{1}{3}[(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2]=6$。
因此新数据的平均数是13，方差是6，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，掌握“一组数据中每个数据同时加上（或减去）同一个常数，平均数相应加上（或减去）这个常数，方差保持不变”的规律，可快速得出答案，避免繁琐计算。
【难度系数】
0.7
5[2025吉林长春质检,中]小明计算出一组数据的方差为$s^2$,小丽将这组数据中每个数据都
除以2,所得新数据的方差是 (
A.$\frac{1}{2}s^2$
B.$2s^2$
C.$\frac{1}{4}s^2$
D.$4s^2$
除以2,所得新数据的方差是 (
C
)A.$\frac{1}{2}s^2$
B.$2s^2$
C.$\frac{1}{4}s^2$
D.$4s^2$
答案
5. C 【解析】设一组数据为$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$,它的平均数为$\bar{x}$,则方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$. 因为小丽将这组数据中每个数据都除以 2,所以所得新数据的平均数为$\frac{1}{2}\bar{x}$,所以其方差为$\frac{1}{n}[(\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}\bar{x})^2+(\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}\bar{x})^2+\dots+(\frac{1}{2}x_n-\frac{1}{2}\bar{x})^2]=\frac{1}{4n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=\frac{1}{4}s^2$,故选 C.
解析
【分析】
本题考查数据缩放变换后方差的计算，有两种解题思路：一是利用方差定义推导，先设出原数据、原平均数，写出原方差表达式，再计算新数据的平均数，代入方差公式变形后和原方差建立关联；二是直接用方差变化规律：若一组数据每个数都乘以常数$k$，则新方差是原方差的$k^2$倍，本题中除以2等价于乘以$\frac{1}{2}$，代入规律即可快速求解。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$，它的平均数为$\bar{x}$，根据方差定义，原方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
将每个数据都除以2后，新数据的平均数为：
$\bar{x}_{\mathrm{新}}=\frac{1}{n}(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2+\dots+\frac{1}{2}x_n)=\frac{1}{2}\bar{x}$
代入方差公式计算新方差：
$\begin{aligned}s^2_{\mathrm{新}}&=\frac{1}{n}[(\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}\bar{x})^2+(\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}\bar{x})^2+\dots+(\frac{1}{2}x_n-\frac{1}{2}\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[\frac{1}{4}(x_1-\bar{x})^2+\frac{1}{4}(x_2-\bar{x})^2+\dots+\frac{1}{4}(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}·\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}s^2\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的定义，方差的性质
【点评】
本题属于方差的基础应用题型，既可以通过公式逐步推导验证结果，也可以直接用方差变化规律快速作答，解题时要注意区分平均数和方差的缩放规律，避免混淆系数的倍数关系。
【难度系数】
0.6
本题考查数据缩放变换后方差的计算，有两种解题思路：一是利用方差定义推导，先设出原数据、原平均数，写出原方差表达式，再计算新数据的平均数，代入方差公式变形后和原方差建立关联；二是直接用方差变化规律：若一组数据每个数都乘以常数$k$，则新方差是原方差的$k^2$倍，本题中除以2等价于乘以$\frac{1}{2}$，代入规律即可快速求解。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$，它的平均数为$\bar{x}$，根据方差定义，原方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
将每个数据都除以2后，新数据的平均数为：
$\bar{x}_{\mathrm{新}}=\frac{1}{n}(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2+\dots+\frac{1}{2}x_n)=\frac{1}{2}\bar{x}$
代入方差公式计算新方差：
$\begin{aligned}s^2_{\mathrm{新}}&=\frac{1}{n}[(\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}\bar{x})^2+(\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}\bar{x})^2+\dots+(\frac{1}{2}x_n-\frac{1}{2}\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[\frac{1}{4}(x_1-\bar{x})^2+\frac{1}{4}(x_2-\bar{x})^2+\dots+\frac{1}{4}(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}·\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}s^2\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的定义，方差的性质
【点评】
本题属于方差的基础应用题型，既可以通过公式逐步推导验证结果，也可以直接用方差变化规律快速作答，解题时要注意区分平均数和方差的缩放规律，避免混淆系数的倍数关系。
【难度系数】
0.6
6[2025山东威海期中,中]一组数据$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$,方差是$n$,则另一组数据$2a-3,2b-3,2c-3,2d-3,2e-3,2f-3,2g-3$的平均数是
刷素养 走向重高
$2m-1$
,方差是$4n$
.刷素养 走向重高
答案
6. $2m-1$ $4n$ 【解析】因为$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$,方差是$n$,所以数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数是$m+1$,方差是$n$,所以$2a-3,2b-3,2c-3,2d-3,2e-3,2f-3,2g-3$的平均数是$2(m+1)-3=2m-1$,方差是$2^2·n=4n$.
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数和方差的变化规律：第一步先根据已知的“每个数减1后的数据”的统计量，还原原数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数和方差，一组数据每个加/减同一个常数时，平均数同步加/减该常数，方差不变；第二步再根据原数据到待求数据的线性变换（每个数变为$2x-3$），利用规律计算新数据的统计量：若每个数据变为$kx+b$，则平均数变为$k×原平均数 + b$，方差变为$k²×原方差$，常数$b$不影响方差，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 数据$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$，方差是$n$，
根据数据加减常数的统计量变化规律，可得原数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数为$m+1$，方差为$n$。
∵ 待求数据是原数据每个乘2再减3得到的，符合$kx+b$的线性变换形式（$k=2,b=-3$），
∴ 新数据的平均数为$2(m+1)-3=2m-1$，
新数据的方差为$2^2 × n = 4n$。
【答案】
$2m-1$；$4n$
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题核心考查平均数和方差的变换规律，解题的易错点是容易记错方差的变化倍数，混淆成和平均数一样乘一次系数，牢记“加减常数仅影响平均数，乘系数时平均数乘系数、方差乘系数的平方”的规律，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆平均数和方差的变化规律：第一步先根据已知的“每个数减1后的数据”的统计量，还原原数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数和方差，一组数据每个加/减同一个常数时，平均数同步加/减该常数，方差不变；第二步再根据原数据到待求数据的线性变换（每个数变为$2x-3$），利用规律计算新数据的统计量：若每个数据变为$kx+b$，则平均数变为$k×原平均数 + b$，方差变为$k²×原方差$，常数$b$不影响方差，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 数据$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$，方差是$n$，
根据数据加减常数的统计量变化规律，可得原数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数为$m+1$，方差为$n$。
∵ 待求数据是原数据每个乘2再减3得到的，符合$kx+b$的线性变换形式（$k=2,b=-3$），
∴ 新数据的平均数为$2(m+1)-3=2m-1$，
新数据的方差为$2^2 × n = 4n$。
【答案】
$2m-1$；$4n$
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题核心考查平均数和方差的变换规律，解题的易错点是容易记错方差的变化倍数，混淆成和平均数一样乘一次系数，牢记“加减常数仅影响平均数，乘系数时平均数乘系数、方差乘系数的平方”的规律，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.6
7 核心素养数据观念 [中]某市农科院培育了A,B两个新品种的桃树,在口感相同的情况下,农科院希望选育出一个品相好的品种.科研人员从两个品种的桃树上分别抽取了100个桃子,再分别从中随机抽取了10个桃子,记录了它们的质量(单位:克)如下:
(1)根据表中数据,可得10个A品种桃子质量的中位数、众数、平均数都是75克,求10个B品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是多少.
(2)在(1)的条件下,农科院可选育哪个品种的桃子?说出你的理由.
(3)估计这100个B品种桃子中,质量为75克的桃子有多少个?
(4)根据表中数据可得A,B两个品种桃子质量的方差分别为$s_A^2=2.8,s_B^2=2.36$,为了桃子质量的稳定性,农科院应选育哪个品种的桃子?
(1)根据表中数据,可得10个A品种桃子质量的中位数、众数、平均数都是75克,求10个B品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是多少.
(2)在(1)的条件下,农科院可选育哪个品种的桃子?说出你的理由.
(3)估计这100个B品种桃子中,质量为75克的桃子有多少个?
(4)根据表中数据可得A,B两个品种桃子质量的方差分别为$s_A^2=2.8,s_B^2=2.36$,为了桃子质量的稳定性,农科院应选育哪个品种的桃子?
答案
【解】(1)将 B 品种 10 个桃子的质量按从小到大的顺序排列后的第 5 个和第 6 个数分别是 75,75,所以中位数是$(75+75)÷2=75$(克).
由于 75 出现的次数最多,所以 B 品种桃子质量的众数是 75 克.
B 品种桃子质量的平均数是$\frac{1}{10}×(73+75×5+74×2+78×2)=75.2$(克),
所以 10 个 B 品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是 75 克、75 克、75.2 克.
(2)选育 B 品种的桃子. 理由如下:在 A,B 两种桃子质量的中位数、众数都是 75 克的情况下,B 品种桃子质量的平均数高于 A 品种桃子质量的平均数,所以选育 B 品种桃子.
(3)因为 10 个 B 品种桃子中有 5 个的质量是 75 克,所以估计这 100 个 B 品种桃子中,质量为 75 克的桃子有$100×\frac{5}{10}=50$(个).
(4)因为$s_A^2=2.8$,$s_B^2=2.36$,所以$s_A^2＞s_B^2$,所以 B 品种桃子的质量较稳定,所以农科院应选育 B 品种桃子.
由于 75 出现的次数最多,所以 B 品种桃子质量的众数是 75 克.
B 品种桃子质量的平均数是$\frac{1}{10}×(73+75×5+74×2+78×2)=75.2$(克),
所以 10 个 B 品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是 75 克、75 克、75.2 克.
(2)选育 B 品种的桃子. 理由如下:在 A,B 两种桃子质量的中位数、众数都是 75 克的情况下,B 品种桃子质量的平均数高于 A 品种桃子质量的平均数,所以选育 B 品种桃子.
(3)因为 10 个 B 品种桃子中有 5 个的质量是 75 克,所以估计这 100 个 B 品种桃子中,质量为 75 克的桃子有$100×\frac{5}{10}=50$(个).
(4)因为$s_A^2=2.8$,$s_B^2=2.36$,所以$s_A^2＞s_B^2$,所以 B 品种桃子的质量较稳定,所以农科院应选育 B 品种桃子.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 求B品种的中位数、众数、平均数时，依据对应统计量的定义计算即可：中位数需先将数据从小到大排序，10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数；众数是数据中出现次数最多的数；平均数为所有数据之和除以数据总个数。
(2) 选育品相好的品种时，当中位数、众数相同时，优先选择平均数更高的品种，平均质量更大则品相更好。
(3) 估计100个B品种中75克桃子的数量，属于用样本估计总体的问题，先算样本中75克桃子的占比，再乘总数量100即可。
(4) 方差反映数据的稳定性，方差越小数据波动越小、质量越稳定，比较两个品种的方差大小，选择方差更小的品种即可。
【解析】
(1) 将B品种10个桃子的质量从小到大排列为：73、74、74、75、75、75、75、75、78、78。
中位数：第5、6个数据均为75，因此中位数为$\frac{75+75}{2}=75$（克）。
众数：75共出现5次，出现次数最多，因此众数为75克。
平均数：$\overline{x}_B=\frac{1}{10}×(73+74×2+75×5+78×2)=75.2$（克）。
(2) 选育B品种桃子。理由：A、B品种桃子质量的中位数、众数均为75克，B品种的平均质量75.2克高于A品种的75克，说明B品种桃子平均质量更大，品相更好。
(3) 抽取的10个B品种桃子中，质量为75克的有5个，因此100个B品种桃子中，质量为75克的数量约为$100×\frac{5}{10}=50$（个）。
(4) 已知$s_A^2=2.8$，$s_B^2=2.36$，可得$s_A^2＞s_B^2$，方差越小数据波动越小，因此B品种桃子质量更稳定，应选育B品种。
【答案】
(1) 10个B品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是75克、75克、75.2克；
(2) 选育B品种的桃子；
(3) 估计质量为75克的桃子有50个；
(4) 农科院应选育B品种的桃子。
【知识点】
统计量的计算，用样本估计总体，方差的意义
【点评】
本题结合农业品种选育的实际场景，考查了多个常见统计量的计算与实际应用，同时渗透了用样本估计总体的统计思想，要求学生准确理解各统计量的实际含义，才能结合需求做出合理判断。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1) 求B品种的中位数、众数、平均数时，依据对应统计量的定义计算即可：中位数需先将数据从小到大排序，10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数；众数是数据中出现次数最多的数；平均数为所有数据之和除以数据总个数。
(2) 选育品相好的品种时，当中位数、众数相同时，优先选择平均数更高的品种，平均质量更大则品相更好。
(3) 估计100个B品种中75克桃子的数量，属于用样本估计总体的问题，先算样本中75克桃子的占比，再乘总数量100即可。
(4) 方差反映数据的稳定性，方差越小数据波动越小、质量越稳定，比较两个品种的方差大小，选择方差更小的品种即可。
【解析】
(1) 将B品种10个桃子的质量从小到大排列为：73、74、74、75、75、75、75、75、78、78。
中位数：第5、6个数据均为75，因此中位数为$\frac{75+75}{2}=75$（克）。
众数：75共出现5次，出现次数最多，因此众数为75克。
平均数：$\overline{x}_B=\frac{1}{10}×(73+74×2+75×5+78×2)=75.2$（克）。
(2) 选育B品种桃子。理由：A、B品种桃子质量的中位数、众数均为75克，B品种的平均质量75.2克高于A品种的75克，说明B品种桃子平均质量更大，品相更好。
(3) 抽取的10个B品种桃子中，质量为75克的有5个，因此100个B品种桃子中，质量为75克的数量约为$100×\frac{5}{10}=50$（个）。
(4) 已知$s_A^2=2.8$，$s_B^2=2.36$，可得$s_A^2＞s_B^2$，方差越小数据波动越小，因此B品种桃子质量更稳定，应选育B品种。
【答案】
(1) 10个B品种桃子质量的中位数、众数、平均数分别是75克、75克、75.2克；
(2) 选育B品种的桃子；
(3) 估计质量为75克的桃子有50个；
(4) 农科院应选育B品种的桃子。
【知识点】
统计量的计算，用样本估计总体，方差的意义
【点评】
本题结合农业品种选育的实际场景，考查了多个常见统计量的计算与实际应用，同时渗透了用样本估计总体的统计思想，要求学生准确理解各统计量的实际含义，才能结合需求做出合理判断。
【难度系数】
0.7
