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7. 计算：$\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{48}{50}+\frac{49}{50})$
答案
解法一:设$S=\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{48}{50}+\frac{49}{50})$,
则$S=\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5})+\dots+(\frac{49}{50}+\frac{48}{50}+\dots+\frac{2}{50}+\frac{1}{50})$,
所以$S+S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{48}{50}+\frac{49}{50})+(\frac{49}{50}+\frac{48}{50}+\dots+\frac{2}{50}+\frac{1}{50})$,即$2S=1+2+3+\dots+49=1\ 225$,故$S=\frac{1\ 225}{2}$.
解法二:由$1+2+3+\dots+n=\frac{(1+n)n}{2}$易得$\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{48}{50}+\frac{49}{50})=\frac{1}{2}×1+\frac{1}{2}×2+\frac{1}{2}×3+\dots+\frac{1}{2}×49=\frac{1}{2}×(1+2+3+\dots+49)=\frac{1\ 225}{2}.$
则$S=\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5})+\dots+(\frac{49}{50}+\frac{48}{50}+\dots+\frac{2}{50}+\frac{1}{50})$,
所以$S+S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{48}{50}+\frac{49}{50})+(\frac{49}{50}+\frac{48}{50}+\dots+\frac{2}{50}+\frac{1}{50})$,即$2S=1+2+3+\dots+49=1\ 225$,故$S=\frac{1\ 225}{2}$.
解法二:由$1+2+3+\dots+n=\frac{(1+n)n}{2}$易得$\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{48}{50}+\frac{49}{50})=\frac{1}{2}×1+\frac{1}{2}×2+\frac{1}{2}×3+\dots+\frac{1}{2}×49=\frac{1}{2}×(1+2+3+\dots+49)=\frac{1\ 225}{2}.$
解析
【分析】
观察算式可发现：算式由多个括号组成，每个括号内均为同分母分数相加，分母从2依次递增到50，每个括号内分子从1一直加到比分母小1的数。解题时可先计算单个括号的和，寻找规律：对分母为$n$（$n$从2到50）的括号，其内部和为$\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$，用连续整数求和公式计算后可得每个括号的和为$\frac{n-1}{2}$，将原式转化为同分母的半整数相加后，提取公因式再计算连续整数的和即可得到结果；也可使用倒序相加法，将原式倒序后与原式对应项相加，每对对应项的和为1，进一步简化运算。
【解析】
解法一（规律法）：
先计算每个括号的运算结果：
对于分母为$n$的括号，内部和为$\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$，根据$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，将$k=n-1$代入得：
$\frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}$
原式中$n$取值为2到50，因此原式可改写为：
$\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\dots+\frac{49}{2}$
提取公因式$\frac{1}{2}$得：
$\frac{1}{2}×(1+2+3+\dots+49)$
计算1到49的和：$1+2+\dots+49=\frac{(1+49)×49}{2}=1225$
代入计算得：$\frac{1}{2}×1225=\frac{1225}{2}$
解法二（倒序相加法）：
设$S=\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{49}{50})$
将$S$中每个括号内的分数倒序排列得：
$S=\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+\dots+(\frac{49}{50}+\frac{48}{50}+\dots+\frac{1}{50})$
将两式相加，对应项合并：
$2S=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{50}+\dots+\frac{49}{50}+\frac{49}{50}+\dots+\frac{1}{50})$
每一组的和依次为$1,2,3,\dots,49$，即：
$2S=1+2+3+\dots+49=\frac{(1+49)×49}{2}=1225$
因此$S=\frac{1225}{2}$
【答案】
$\frac{1225}{2}$
【知识点】
有理数简便运算，同分母分数加法，连续整数求和
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，解题核心是观察算式的结构特征，通过找单个括号的运算规律或运用倒序相加的技巧简化运算，避免了逐个计算的繁琐，能有效锻炼算式观察能力和简便运算的应用能力。
【难度系数】
0.65
观察算式可发现：算式由多个括号组成，每个括号内均为同分母分数相加，分母从2依次递增到50，每个括号内分子从1一直加到比分母小1的数。解题时可先计算单个括号的和，寻找规律：对分母为$n$（$n$从2到50）的括号，其内部和为$\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$，用连续整数求和公式计算后可得每个括号的和为$\frac{n-1}{2}$，将原式转化为同分母的半整数相加后，提取公因式再计算连续整数的和即可得到结果；也可使用倒序相加法，将原式倒序后与原式对应项相加，每对对应项的和为1，进一步简化运算。
【解析】
解法一（规律法）：
先计算每个括号的运算结果：
对于分母为$n$的括号，内部和为$\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$，根据$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，将$k=n-1$代入得：
$\frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}$
原式中$n$取值为2到50，因此原式可改写为：
$\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\dots+\frac{49}{2}$
提取公因式$\frac{1}{2}$得：
$\frac{1}{2}×(1+2+3+\dots+49)$
计算1到49的和：$1+2+\dots+49=\frac{(1+49)×49}{2}=1225$
代入计算得：$\frac{1}{2}×1225=\frac{1225}{2}$
解法二（倒序相加法）：
设$S=\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+\dots+(\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+\dots+\frac{49}{50})$
将$S$中每个括号内的分数倒序排列得：
$S=\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+\dots+(\frac{49}{50}+\frac{48}{50}+\dots+\frac{1}{50})$
将两式相加，对应项合并：
$2S=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{50}+\dots+\frac{49}{50}+\frac{49}{50}+\dots+\frac{1}{50})$
每一组的和依次为$1,2,3,\dots,49$，即：
$2S=1+2+3+\dots+49=\frac{(1+49)×49}{2}=1225$
因此$S=\frac{1225}{2}$
【答案】
$\frac{1225}{2}$
【知识点】
有理数简便运算，同分母分数加法，连续整数求和
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，解题核心是观察算式的结构特征，通过找单个括号的运算规律或运用倒序相加的技巧简化运算，避免了逐个计算的繁琐，能有效锻炼算式观察能力和简便运算的应用能力。
【难度系数】
0.65
8. 计算:$1+3\frac{1}{6}+5\frac{1}{12}+7\frac{1}{20}+\dots+15\frac{1}{72}+17\frac{1}{90}.$
答案
1×8=8
2×8=16
3×8=24
4×8=32
5×8=40
答：在直线上分别圈出标注为8、16、24、32、40的位置。
2×8=16
3×8=24
4×8=32
5×8=40
答：在直线上分别圈出标注为8、16、24、32、40的位置。
9. 计算：$-\dfrac{191919}{919191} - (-\dfrac{1919}{9191})$
答案
$-\dfrac{191919}{919191}-(-\dfrac{1919}{9191})=-\dfrac{19×10\ 000+19×100+19}{91×10\ 000+91×100+91}+\dfrac{19×100+19}{91×100+91}=-\dfrac{19×10\ 101}{91×10\ 101}+\dfrac{19×101}{91×101}=-\dfrac{19}{91}+\dfrac{19}{91}=0.$
解析
【分析】
这是一道有理数巧算题目，解题思路如下：第一步先处理运算符号，根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上这个数的相反数，将原式转化为两个分数相加的形式；第二步观察分数的分子和分母，均是由重复数字构成的特殊结构，可将分子、分母拆成公因数乘重复系数的形式，比如191919可拆为19×10101，919191可拆为91×10101，1919可拆为19×101，9191可拆为91×101；第三步拆分后对分数进行约分，即可将复杂分数简化为同分母的简单分数，最后计算简化后的算式即可得到结果。
【解析】
按照先化简符号，再拆分约分的步骤计算：
$\begin{aligned}-\dfrac{191919}{919191} - (-\dfrac{1919}{9191})&=-\dfrac{19×10000 + 19×100 + 19}{91×10000 + 91×100 + 91}+\dfrac{19×100 + 19}{91×100 + 91}\\&=-\dfrac{19×(10000+100+1)}{91×(10000+100+1)}+\dfrac{19×(100+1)}{91×(100+1)}\\&=-\dfrac{19×10101}{91×10101}+\dfrac{19×101}{91×101}\\&=-\dfrac{19}{91}+\dfrac{19}{91}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{0}$
【知识点】
有理数减法法则、分数约分、有理数巧算
【点评】
本题重点考察对特殊结构数字的观察能力，通过拆分重复数字结构约分简化运算，避免直接硬算带来的计算量过大问题，有助于锻炼数字敏感度和巧算思维。
【难度系数】
0.6
这是一道有理数巧算题目，解题思路如下：第一步先处理运算符号，根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上这个数的相反数，将原式转化为两个分数相加的形式；第二步观察分数的分子和分母，均是由重复数字构成的特殊结构，可将分子、分母拆成公因数乘重复系数的形式，比如191919可拆为19×10101，919191可拆为91×10101，1919可拆为19×101，9191可拆为91×101；第三步拆分后对分数进行约分，即可将复杂分数简化为同分母的简单分数，最后计算简化后的算式即可得到结果。
【解析】
按照先化简符号，再拆分约分的步骤计算：
$\begin{aligned}-\dfrac{191919}{919191} - (-\dfrac{1919}{9191})&=-\dfrac{19×10000 + 19×100 + 19}{91×10000 + 91×100 + 91}+\dfrac{19×100 + 19}{91×100 + 91}\\&=-\dfrac{19×(10000+100+1)}{91×(10000+100+1)}+\dfrac{19×(100+1)}{91×(100+1)}\\&=-\dfrac{19×10101}{91×10101}+\dfrac{19×101}{91×101}\\&=-\dfrac{19}{91}+\dfrac{19}{91}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{0}$
【知识点】
有理数减法法则、分数约分、有理数巧算
【点评】
本题重点考察对特殊结构数字的观察能力，通过拆分重复数字结构约分简化运算，避免直接硬算带来的计算量过大问题，有助于锻炼数字敏感度和巧算思维。
【难度系数】
0.6
10. 计算: $99 + 1949×( \frac{1}{78} - \frac{1}{2027} ) + 78×( \frac{1}{1949} - \frac{1}{2027} ) - 2027×( \frac{1}{1949} + \frac{1}{78} ).$
答案
在直线对应数字1、5的位置标注△；
在直线对应数字5、10、15、20的位置标注○。
相等
在直线对应数字5、10、15、20的位置标注○。
相等
11. 改编题 (1)如图①,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{2}$的长方形;接着又把一个面积为$\frac{1}{2}$的长方形等分成两个面积为$\frac{1}{4}$的正方形;再把其中一个面积为$\frac{1}{4}$的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{8}$的长方形.如此进行下去,请根据图形规律计算:$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=$
$\dfrac{31}{32}$
.答案
48÷4=12（次）
48÷6=8（次）
48÷8=6（次）
答：每次可以放4个，需放12次；每次可以放6个，需放8次；每次可以放8个，需放6次。
48÷6=8（次）
48÷8=6（次）
答：每次可以放4个，需放12次；每次可以放6个，需放8次；每次可以放8个，需放6次。
(2)请你利用图②,再设计一个能求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$的值的几何图形.
(3)利用上述方法计算$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+···+\frac{2^5}{3^6}$的值.
备用图
(3)利用上述方法计算$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+···+\frac{2^5}{3^6}$的值.
备用图
答案
(2)答案合理即可,如图①所示:
(3)如图②,一个边长为1的正方形纸片,图形①的面积是正方形纸片面积的$\frac{1}{3}$,图形②的面积是图形①面积的2倍的$\frac{1}{3}$,即$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$,图形③的面积是图形②面积的2倍的$\frac{1}{3}$,即$\frac{1}{3}×2×\frac{2}{9}=\frac{4}{27}=\frac{2^2}{3^3}$……图形⑥的面积是图形⑤面积的2倍的$\frac{1}{3}$,即$\frac{1}{3}×2×\frac{2^4}{3^5}=\frac{2^5}{3^6}$,图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍,即$2×\frac{2^5}{3^6}=\frac{2^6}{3^6}$,所以$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\dots+\frac{2^5}{3^6}$等于图形①、②、③、④、⑤、⑥的面积之和,即$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\dots+\frac{2^5}{3^6}=1-\frac{2^6}{3^6}=\frac{665}{729}.$
解析
【分析】
（2）解决本问可借助数形结合思想，将边长为1的正方形面积看作单位1，所求算式是多个分母为2的幂的分数相加，我们可以每次将剩余未划分的区域平均分成2份，取其中1份对应算式中的一项，依次划分到对应$\frac{1}{32}$的部分即可，只要设计的图形能清晰表示每一项对应的面积即可。
（3）本问可类比第（2）问的面积法思路：观察算式发现每一项都是前一项乘$\frac{2}{3}$，我们同样将正方形面积看作单位1，按规则分割正方形，用每一块的面积对应算式的每一项，所有项的和等于正方形总面积减去最后剩余未取部分的面积，即可快速算出结果，避免复杂的通分计算。
【解析】
（2）我们将单位正方形面积看作1，首先划分出正方形的$\frac{1}{2}$对应第一项，再将剩余的$\frac{1}{2}$区域平均分成2份，取其中1份（占总面积的$\frac{1}{4}$）对应第二项，继续将剩余的$\frac{1}{4}$区域平均分成2份，取1份得$\frac{1}{8}$对应第三项，依此类推，直到取出占总面积$\frac{1}{32}$的部分，所有取出部分的面积和就是$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$的值。
（3）设边长为1的正方形面积为单位1，按如下方式分割：
1. 首先将正方形平均分成3份，取其中1份（面积为$\frac{1}{3}$）对应算式第一项$\frac{1}{3}$，剩余未取部分面积为$\frac{2}{3}$；
2. 将剩余的$\frac{2}{3}$区域再平均分成3份，取其中1份，面积为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，对应第二项$\frac{2}{9}$，剩余未取部分面积为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^2$；
3. 重复上述操作，每次都将剩余未取区域平均分成3份取1份作为下一项，直到取到第6项$\frac{2^5}{3^6}$，此时剩余未取部分的面积为$(\frac{2}{3})^6=\frac{2^6}{3^6}$；
4. 所有取出项的面积和就是所求算式的和，计算得：
$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+···+\frac{2^5}{3^6}=1-\frac{2^6}{3^6}=1-\frac{64}{729}=\frac{665}{729}$
【答案】
(2)答案合理即可，如图①所示：
(3)$\frac{665}{729}$，参考分割图形如图②所示：
【知识点】
有理数巧算，数形结合思想，类比迁移
【点评】
本题通过几何图形面积分割的方式将抽象的分数求和运算转化为直观的图形问题，既简化了计算过程，也考查了对方法的迁移应用能力，能帮助学生更好地理解特殊数列求和的逻辑，避免机械记忆公式。
【难度系数】
0.6
（2）解决本问可借助数形结合思想，将边长为1的正方形面积看作单位1，所求算式是多个分母为2的幂的分数相加，我们可以每次将剩余未划分的区域平均分成2份，取其中1份对应算式中的一项，依次划分到对应$\frac{1}{32}$的部分即可，只要设计的图形能清晰表示每一项对应的面积即可。
（3）本问可类比第（2）问的面积法思路：观察算式发现每一项都是前一项乘$\frac{2}{3}$，我们同样将正方形面积看作单位1，按规则分割正方形，用每一块的面积对应算式的每一项，所有项的和等于正方形总面积减去最后剩余未取部分的面积，即可快速算出结果，避免复杂的通分计算。
【解析】
（2）我们将单位正方形面积看作1，首先划分出正方形的$\frac{1}{2}$对应第一项，再将剩余的$\frac{1}{2}$区域平均分成2份，取其中1份（占总面积的$\frac{1}{4}$）对应第二项，继续将剩余的$\frac{1}{4}$区域平均分成2份，取1份得$\frac{1}{8}$对应第三项，依此类推，直到取出占总面积$\frac{1}{32}$的部分，所有取出部分的面积和就是$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$的值。
（3）设边长为1的正方形面积为单位1，按如下方式分割：
1. 首先将正方形平均分成3份，取其中1份（面积为$\frac{1}{3}$）对应算式第一项$\frac{1}{3}$，剩余未取部分面积为$\frac{2}{3}$；
2. 将剩余的$\frac{2}{3}$区域再平均分成3份，取其中1份，面积为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，对应第二项$\frac{2}{9}$，剩余未取部分面积为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^2$；
3. 重复上述操作，每次都将剩余未取区域平均分成3份取1份作为下一项，直到取到第6项$\frac{2^5}{3^6}$，此时剩余未取部分的面积为$(\frac{2}{3})^6=\frac{2^6}{3^6}$；
4. 所有取出项的面积和就是所求算式的和，计算得：
$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+···+\frac{2^5}{3^6}=1-\frac{2^6}{3^6}=1-\frac{64}{729}=\frac{665}{729}$
【答案】
(2)答案合理即可，如图①所示：
(3)$\frac{665}{729}$，参考分割图形如图②所示：
【知识点】
有理数巧算，数形结合思想，类比迁移
【点评】
本题通过几何图形面积分割的方式将抽象的分数求和运算转化为直观的图形问题，既简化了计算过程，也考查了对方法的迁移应用能力，能帮助学生更好地理解特殊数列求和的逻辑，避免机械记忆公式。
【难度系数】
0.6
