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1.某市煤气公司计划在地下修建一个容积为$10^4\ \mathrm{m}^3$的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积$S(\mathrm{m}^2)$与其深度$d(\mathrm{m})$的函数的大致图象是（）
答案
$\boldsymbol{A}$
解析
【分析】
解题时首先结合圆柱容积公式推导底面积S和深度d的函数关系：容积为定值，因此S与d成反比例关系，得到反比例函数解析式；再结合实际问题的取值要求，深度d和底面积S均为正数，因此函数图象仅分布在第一象限；最后根据反比例函数k＞0时第一象限图象的特征（y随x增大而减小的曲线）对应选项判断即可。
【解析】
根据圆柱的容积公式可得：$V = S· d$，
已知储存室容积$V=10^4\ \mathrm{m}^3$，代入得$10^4 = Sd$，变形为$S=\frac{10^4}{d}$，该函数为反比例函数，比例系数$k=10^4＞0$。
结合实际意义可知：深度$d＞0$，底面积$S＞0$，因此函数图象仅为第一象限内的双曲线分支，且S随d的增大而减小，只有选项A符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
反比例函数的应用、圆柱体积计算、反比例函数的图象
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的典型应用题，解题的核心是先根据等量关系确定函数类型，再结合实际意义限定自变量和函数值的取值范围，避免忽略实际情况误选含负半轴的图象。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合圆柱容积公式推导底面积S和深度d的函数关系：容积为定值，因此S与d成反比例关系，得到反比例函数解析式；再结合实际问题的取值要求，深度d和底面积S均为正数，因此函数图象仅分布在第一象限；最后根据反比例函数k＞0时第一象限图象的特征（y随x增大而减小的曲线）对应选项判断即可。
【解析】
根据圆柱的容积公式可得：$V = S· d$，
已知储存室容积$V=10^4\ \mathrm{m}^3$，代入得$10^4 = Sd$，变形为$S=\frac{10^4}{d}$，该函数为反比例函数，比例系数$k=10^4＞0$。
结合实际意义可知：深度$d＞0$，底面积$S＞0$，因此函数图象仅为第一象限内的双曲线分支，且S随d的增大而减小，只有选项A符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
反比例函数的应用、圆柱体积计算、反比例函数的图象
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的典型应用题，解题的核心是先根据等量关系确定函数类型，再结合实际意义限定自变量和函数值的取值范围，避免忽略实际情况误选含负半轴的图象。
【难度系数】
0.8
2. 科技创新 情境化 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数。已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6 m/s。当其载重后总质量m=90 kg时，它的最快移动速度v= m/s.
答案
12. 4 解析:设反比例函数表达式为$v=\frac{k}{m}$,
∵机器狗载重后总质量m=60kg时,它的最快移动速度v=6m/s.
∴k=60×6=360,
∴反比例函数表达式为$v=\frac{360}{m}$,
当m=90kg时,$v=\frac{360}{90}=4$(m/s).
故答案为4.
∵机器狗载重后总质量m=60kg时,它的最快移动速度v=6m/s.
∴k=60×6=360,
∴反比例函数表达式为$v=\frac{360}{m}$,
当m=90kg时,$v=\frac{360}{90}=4$(m/s).
故答案为4.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题干中“最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数”，明确函数类型，设出反比例函数的一般形式；再将已知的m=60kg、v=6m/s代入解析式，求出未知系数k，确定完整的函数解析式；最后将m=90kg代入已求出的解析式，计算得到对应的v值即可。
【解析】
设反比例函数的表达式为$ v=\frac{k}{m} $（$ k≠0 $）。
将$ m=60\ \mathrm{kg} $，$ v=6\ \mathrm{m/s} $代入表达式，得：
$ k = m· v = 60×6 = 360 $
因此反比例函数的表达式为$ v=\frac{360}{m} $。
当$ m=90\ \mathrm{kg} $时，代入表达式得：
$ v=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s} $
【答案】4
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合科技创新的实际情境命题，贴合生活实际，重点考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练运用待定系数法求出反比例函数解析式，属于基础类习题。
【难度系数】
0.85
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题干中“最快移动速度v是载重后总质量m的反比例函数”，明确函数类型，设出反比例函数的一般形式；再将已知的m=60kg、v=6m/s代入解析式，求出未知系数k，确定完整的函数解析式；最后将m=90kg代入已求出的解析式，计算得到对应的v值即可。
【解析】
设反比例函数的表达式为$ v=\frac{k}{m} $（$ k≠0 $）。
将$ m=60\ \mathrm{kg} $，$ v=6\ \mathrm{m/s} $代入表达式，得：
$ k = m· v = 60×6 = 360 $
因此反比例函数的表达式为$ v=\frac{360}{m} $。
当$ m=90\ \mathrm{kg} $时，代入表达式得：
$ v=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s} $
【答案】4
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合科技创新的实际情境命题，贴合生活实际，重点考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练运用待定系数法求出反比例函数解析式，属于基础类习题。
【难度系数】
0.85
3.某工程队修建一条公路,所需天数y(天)与每天修建该公路的长度x(m)是反比例函数关系,其函数图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式;(不用写出自变量的取值范围)
(2)求该工程队每天修建该公路30 m比每天修建24 m提前多少天完成此项工程.
(1)求y与x之间的函数表达式;(不用写出自变量的取值范围)
(2)求该工程队每天修建该公路30 m比每天修建24 m提前多少天完成此项工程.
答案
解：
(1) 设y与x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将图象上的点$(30,40)$代入表达式，得：
$40=\frac{k}{30}$，
解得$k=1200$。
所以y与x之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$。
(2) 当$x=24$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{24}=50$；
当$x=30$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{30}=40$。
$50-40=10$（天）。
答：该工程队每天修建该公路30 m比每天修建24 m提前10天完成此项工程。
(1) 设y与x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将图象上的点$(30,40)$代入表达式，得：
$40=\frac{k}{30}$，
解得$k=1200$。
所以y与x之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$。
(2) 当$x=24$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{24}=50$；
当$x=30$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{30}=40$。
$50-40=10$（天）。
答：该工程队每天修建该公路30 m比每天修建24 m提前10天完成此项工程。
解析
【分析】
(1) 已知y与x是反比例函数关系，解题时首先利用待定系数法，设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再结合函数图象给出的点(30,40)，将x=30、y=40代入解析式求解k的值，即可得到y与x的函数表达式。
(2) 求提前的天数，需要先分别求出每天修建24m和30m时对应的施工天数，即把x=24和x=30分别代入第一问求出的函数解析式，算出对应的y值，再将两个天数作差，即可得到提前的天数。
【解析】
(1) 设y与x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将图象上的点$(30,40)$代入表达式，得：
$40=\frac{k}{30}$，
解得$k=1200$。
所以y与x之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$。
(2) 当$x=24$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{24}=50$；
当$x=30$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{30}=40$。
$50-40=10$（天）。
答：该工程队每天修建该公路30 m比每天修建24 m提前10天完成此项工程。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{1200}{x}}$；(2) $\boldsymbol{10}$天
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合工程问题考查反比例函数的相关知识，解题的关键是先利用待定系数法正确求出反比例函数的解析式，再代入对应自变量的值求解即可，解题过程中需要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
(1) 已知y与x是反比例函数关系，解题时首先利用待定系数法，设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再结合函数图象给出的点(30,40)，将x=30、y=40代入解析式求解k的值，即可得到y与x的函数表达式。
(2) 求提前的天数，需要先分别求出每天修建24m和30m时对应的施工天数，即把x=24和x=30分别代入第一问求出的函数解析式，算出对应的y值，再将两个天数作差，即可得到提前的天数。
【解析】
(1) 设y与x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将图象上的点$(30,40)$代入表达式，得：
$40=\frac{k}{30}$，
解得$k=1200$。
所以y与x之间的函数表达式为$y=\frac{1200}{x}$。
(2) 当$x=24$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{24}=50$；
当$x=30$时，代入$y=\frac{1200}{x}$，得$y=\frac{1200}{30}=40$。
$50-40=10$（天）。
答：该工程队每天修建该公路30 m比每天修建24 m提前10天完成此项工程。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{1200}{x}}$；(2) $\boldsymbol{10}$天
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合工程问题考查反比例函数的相关知识，解题的关键是先利用待定系数法正确求出反比例函数的解析式，再代入对应自变量的值求解即可，解题过程中需要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
4.(德阳中考)公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”:阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m,当动力为1 200 N时,动力臂是m.
答案
$0.5$
解析
【分析】
解题的核心是利用题目给出的“杠杆原理”等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂。我们已知阻力、阻力臂、动力三个量的数值，待求量是动力臂，因此可以先设动力臂为未知数，将已知量代入等量关系列方程，再求解方程即可得到结果，计算时注意数值运算准确。
【解析】
设动力臂的长度为$ x \, \mathrm{m} $，根据杠杆原理公式：$ \mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂} $，
将已知的阻力$ 600\,\mathrm{N} $、阻力臂$ 1\,\mathrm{m} $、动力$ 1200\,\mathrm{N} $代入公式，可得：
$ 600 × 1 = 1200x $
化简得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = \frac{600}{1200} = 0.5 $
【答案】
$ 0.5 $
【知识点】
杠杆原理，反比例函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于结合实际的跨学科基础应用题，只需准确提取题干给出的等量关系，代入数值计算即可得分，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用题目给出的“杠杆原理”等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂。我们已知阻力、阻力臂、动力三个量的数值，待求量是动力臂，因此可以先设动力臂为未知数，将已知量代入等量关系列方程，再求解方程即可得到结果，计算时注意数值运算准确。
【解析】
设动力臂的长度为$ x \, \mathrm{m} $，根据杠杆原理公式：$ \mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂} $，
将已知的阻力$ 600\,\mathrm{N} $、阻力臂$ 1\,\mathrm{m} $、动力$ 1200\,\mathrm{N} $代入公式，可得：
$ 600 × 1 = 1200x $
化简得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = \frac{600}{1200} = 0.5 $
【答案】
$ 0.5 $
【知识点】
杠杆原理，反比例函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于结合实际的跨学科基础应用题，只需准确提取题干给出的等量关系，代入数值计算即可得分，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
5.小安通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（m）会随着电磁波的频率f（MHz）的变化而变化.已知波长λ与频率f是反比例函数关系，它们的部分对应值如下表.当f=75 MHz时，此电磁波的波长λ为m.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
题目明确说明波长λ与频率f是反比例函数关系，解题可按以下思路进行：第一步，回忆反比例函数的一般形式，设出对应的函数解析式；第二步，选取表格中任意一组f和λ的对应值代入解析式，求出比例系数k，再用其余两组数据验证解析式的正确性；第三步，将f=75代入已确定的解析式，计算得到对应的λ值。
【解析】
解：设λ与f的反比例函数解析式为$\boldsymbol{λ = \frac{k}{f}}$（$k≠0$，k为常数）。
将$f=10\ \mathrm{MHz}$，$λ=30\ \mathrm{m}$代入解析式，得：
$30=\frac{k}{10}$，解得$k=30×10=300$。
因此反比例函数解析式为$λ=\frac{300}{f}$。
验证：将$f=15$代入得$λ=\frac{300}{15}=20$，将$f=50$代入得$λ=\frac{300}{50}=6$，均与表格数据一致，解析式正确。
当$f=75\ \mathrm{MHz}$时，$λ=\frac{300}{75}=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
反比例函数概念、待定系数法求解析式、函数值计算
【点评】
本题结合物理电磁波的知识背景考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，解题核心是先确定反比例函数的解析式，再代入数值计算，解题时可通过已知的多组数据验证解析式的正确性，降低计算失误的概率。
【难度系数】
0.8
题目明确说明波长λ与频率f是反比例函数关系，解题可按以下思路进行：第一步，回忆反比例函数的一般形式，设出对应的函数解析式；第二步，选取表格中任意一组f和λ的对应值代入解析式，求出比例系数k，再用其余两组数据验证解析式的正确性；第三步，将f=75代入已确定的解析式，计算得到对应的λ值。
【解析】
解：设λ与f的反比例函数解析式为$\boldsymbol{λ = \frac{k}{f}}$（$k≠0$，k为常数）。
将$f=10\ \mathrm{MHz}$，$λ=30\ \mathrm{m}$代入解析式，得：
$30=\frac{k}{10}$，解得$k=30×10=300$。
因此反比例函数解析式为$λ=\frac{300}{f}$。
验证：将$f=15$代入得$λ=\frac{300}{15}=20$，将$f=50$代入得$λ=\frac{300}{50}=6$，均与表格数据一致，解析式正确。
当$f=75\ \mathrm{MHz}$时，$λ=\frac{300}{75}=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
反比例函数概念、待定系数法求解析式、函数值计算
【点评】
本题结合物理电磁波的知识背景考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，解题核心是先确定反比例函数的解析式，再代入数值计算，解题时可通过已知的多组数据验证解析式的正确性，降低计算失误的概率。
【难度系数】
0.8
6.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内的气压 $ p(\mathrm{kPa}) $ 是气体体积 $ V(\mathrm{m}^3) $ 的反比例函数，其图象如图所示.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)当气体体积为 $ 1\ \mathrm{m}^3 $ 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到 $ 0.01\ \mathrm{m}^3 $）
(1)求反比例函数的表达式.
(2)当气体体积为 $ 1\ \mathrm{m}^3 $ 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到 $ 0.01\ \mathrm{m}^3 $）
答案
6.解:(1)设 $ p=\frac{k}{V} $,把(0.8,120)代入,得 $ 120=\frac{k}{0.8} $,解得 $ k=96. \therefore $ 反比例函数的表达式为 $ p=\frac{96}{V} $.(2)当 $ V=1 $ 时, $ p=\frac{96}{1}=96. \therefore $ 气压是 96 kPa.(3)当 $ p=140 $ 时, $ V=\frac{96}{140}\approx0.69. \therefore $ 为了安全起见,气体的体积应不小于 $ 0.69\ \mathrm{m}^3 $.
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 已知气压p是气体体积V的反比例函数，先设出反比例函数的一般形式$ p=\frac{k}{V}(k≠0) $，结合图像给出的点$(0.8,120)$，将坐标代入解析式即可求出常数k，得到函数表达式。
(2) 求体积为$1\ \mathrm{m}^3$时的气压，只需把$V=1$代入第一问求出的函数表达式，计算对应p值即可。
(3) 气压大于140kPa会爆炸，因此安全范围内$p≤140\mathrm{kPa}$，由于该反比例函数k＞0，p随V的增大而减小，因此只需算出$p=140$时对应的V值，即可得到安全的最小体积。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为$ p=\frac{k}{V}(k≠0) $，
将点$(0.8,120)$代入表达式，得$ 120=\frac{k}{0.8} $，
解得$ k=120×0.8=96 $，
因此反比例函数的表达式为$ p=\frac{96}{V} $。
(2) 当$ V=1\ \mathrm{m}^3 $时，代入表达式得：
$ p=\frac{96}{1}=96(\mathrm{kPa}) $。
(3) 由题意可知，安全时气压$ p≤140\mathrm{kPa} $，
将$ p=140 $代入$ p=\frac{96}{V} $，得$ 140=\frac{96}{V} $，
解得$ V=\frac{96}{140}\approx0.69 $。
又因为该函数中k=96＞0，当V＞0时p随V增大而减小，因此要满足$ p≤140 $，需$ V≥0.69\mathrm{m}^3 $。
【答案】
(1) $ p=\frac{96}{V} $
(2) 96 kPa
(3) 不小于$ 0.69\ \mathrm{m}^3 $
【知识点】
反比例函数解析式求解；反比例函数的性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，核心是用待定系数法求出函数解析式，再结合函数的增减性解决实际范围问题，解答时需注意变量的实际意义。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 已知气压p是气体体积V的反比例函数，先设出反比例函数的一般形式$ p=\frac{k}{V}(k≠0) $，结合图像给出的点$(0.8,120)$，将坐标代入解析式即可求出常数k，得到函数表达式。
(2) 求体积为$1\ \mathrm{m}^3$时的气压，只需把$V=1$代入第一问求出的函数表达式，计算对应p值即可。
(3) 气压大于140kPa会爆炸，因此安全范围内$p≤140\mathrm{kPa}$，由于该反比例函数k＞0，p随V的增大而减小，因此只需算出$p=140$时对应的V值，即可得到安全的最小体积。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为$ p=\frac{k}{V}(k≠0) $，
将点$(0.8,120)$代入表达式，得$ 120=\frac{k}{0.8} $，
解得$ k=120×0.8=96 $，
因此反比例函数的表达式为$ p=\frac{96}{V} $。
(2) 当$ V=1\ \mathrm{m}^3 $时，代入表达式得：
$ p=\frac{96}{1}=96(\mathrm{kPa}) $。
(3) 由题意可知，安全时气压$ p≤140\mathrm{kPa} $，
将$ p=140 $代入$ p=\frac{96}{V} $，得$ 140=\frac{96}{V} $，
解得$ V=\frac{96}{140}\approx0.69 $。
又因为该函数中k=96＞0，当V＞0时p随V增大而减小，因此要满足$ p≤140 $，需$ V≥0.69\mathrm{m}^3 $。
【答案】
(1) $ p=\frac{96}{V} $
(2) 96 kPa
(3) 不小于$ 0.69\ \mathrm{m}^3 $
【知识点】
反比例函数解析式求解；反比例函数的性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，核心是用待定系数法求出函数解析式，再结合函数的增减性解决实际范围问题，解答时需注意变量的实际意义。
【难度系数】
0.8
