登录
10. 某工程队计划在10天内修路8千米，施工前2天修完1.4千米后，计划发生改变，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少千米？
答案
10.以后几天内平均每天至少修路1.1千米.
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的工程应用问题，解题思路如下：首先明确题干的核心要求“至少提前2天完成任务”，第一步先计算剩余可用的施工时间：原计划10天完工，已施工2天，要提前2天，因此剩余最多可施工的天数为10-2-2=6天；第二步计算剩余未修的路程：总路程8千米减去已修的1.4千米，得6.6千米；第三步找不等关系：剩余时间修的总路程需要≥剩余未修的路程，据此设未知数列不等式求解即可，注意“至少”对应不等号为≥。
【解析】
解：设以后几天内平均每天要修路$x$千米。
根据题意，剩余施工最多可用天数：$10 - 2 - 2 = 6$（天）
剩余未修路程：$8 - 1.4 = 6.6$（千米）
要完成修路任务，需满足不等式：
$6x ≥ 6.6$
解不等式：
$x ≥ 6.6 ÷ 6$
$x ≥ 1.1$
【答案】
以后几天内平均每天至少修路1.1千米。
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 工程问题计算
3. 不等式求解
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题的关键是准确提取题干中的限制条件，正确梳理剩余工作量和剩余工作时间的对应关系，注意“至少”“最多”这类限定词对应的不等号方向，避免符号用错即可正确解题。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的工程应用问题，解题思路如下：首先明确题干的核心要求“至少提前2天完成任务”，第一步先计算剩余可用的施工时间：原计划10天完工，已施工2天，要提前2天，因此剩余最多可施工的天数为10-2-2=6天；第二步计算剩余未修的路程：总路程8千米减去已修的1.4千米，得6.6千米；第三步找不等关系：剩余时间修的总路程需要≥剩余未修的路程，据此设未知数列不等式求解即可，注意“至少”对应不等号为≥。
【解析】
解：设以后几天内平均每天要修路$x$千米。
根据题意，剩余施工最多可用天数：$10 - 2 - 2 = 6$（天）
剩余未修路程：$8 - 1.4 = 6.6$（千米）
要完成修路任务，需满足不等式：
$6x ≥ 6.6$
解不等式：
$x ≥ 6.6 ÷ 6$
$x ≥ 1.1$
【答案】
以后几天内平均每天至少修路1.1千米。
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 工程问题计算
3. 不等式求解
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题的关键是准确提取题干中的限制条件，正确梳理剩余工作量和剩余工作时间的对应关系，注意“至少”“最多”这类限定词对应的不等号方向，避免符号用错即可正确解题。
【难度系数】
0.7
11.为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表所示.
如果小花家每月的水费不少于30元，那么她家每月至少用多少吨水？
如果小花家每月的水费不少于30元，那么她家每月至少用多少吨水？
答案
11.小花家每月至少用$\frac{35}{4}$吨水.
解析
【分析】
首先明确收费为分段计价规则：用水量不超过5吨时，每吨收费3元；用水量超过5吨时，前5吨仍按3元/吨收费，超出5吨的部分按4元/吨收费。先计算用水量为5吨时的水费：$5×3=15$元，题目要求水费不少于30元，$15＜30$，说明小花家用水量一定超过5吨。接下来设每月用水量为x吨，总水费为“5吨的费用+超出5吨部分的费用”，根据“水费不少于30元”即费用≥30元，列出一元一次不等式求解即可得到最少用水量。
【解析】
解：设小花家每月用水量为$x$吨。
当用水量为5吨时，水费为：$5×3=15$元，
因为$15＜30$，所以小花家每月用水量$x＞5$。
根据总水费不少于30元，列不等式：
$3×5 + 4(x-5) ≥ 30$
化简不等式左边：$15 + 4x -20 ≥ 30$
整理得：$4x -5 ≥ 30$
移项得：$4x ≥ 35$
解得：$x ≥ \frac{35}{4}$
【答案】
小花家每月至少用$\frac{35}{4}$吨水。
【知识点】
分段计费问题；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的生活类阶梯收费应用题，解题关键是先根据费用阈值判断用水量所处的收费区间，再抓住“不少于”这类关键词准确列出不等关系，求解后即可得到符合要求的最值。
【难度系数】
0.7
首先明确收费为分段计价规则：用水量不超过5吨时，每吨收费3元；用水量超过5吨时，前5吨仍按3元/吨收费，超出5吨的部分按4元/吨收费。先计算用水量为5吨时的水费：$5×3=15$元，题目要求水费不少于30元，$15＜30$，说明小花家用水量一定超过5吨。接下来设每月用水量为x吨，总水费为“5吨的费用+超出5吨部分的费用”，根据“水费不少于30元”即费用≥30元，列出一元一次不等式求解即可得到最少用水量。
【解析】
解：设小花家每月用水量为$x$吨。
当用水量为5吨时，水费为：$5×3=15$元，
因为$15＜30$，所以小花家每月用水量$x＞5$。
根据总水费不少于30元，列不等式：
$3×5 + 4(x-5) ≥ 30$
化简不等式左边：$15 + 4x -20 ≥ 30$
整理得：$4x -5 ≥ 30$
移项得：$4x ≥ 35$
解得：$x ≥ \frac{35}{4}$
【答案】
小花家每月至少用$\frac{35}{4}$吨水。
【知识点】
分段计费问题；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的生活类阶梯收费应用题，解题关键是先根据费用阈值判断用水量所处的收费区间，再抓住“不少于”这类关键词准确列出不等关系，求解后即可得到符合要求的最值。
【难度系数】
0.7
12. 根据以下素材，完成任务. 
答案
12.任务1 31
任务2 方案有三种：
①生产5辆A型汽车、35辆B型汽车,利润为5×5+35×10=375万元；
②生产6辆A型汽车、34辆B型汽车,利润为6×5+34×10=370万元；
③生产7辆A型汽车、33辆B型汽车,利润为7×5+33×10=365万元.
生产利润最高为375万元.
任务2 方案有三种：
①生产5辆A型汽车、35辆B型汽车,利润为5×5+35×10=375万元；
②生产6辆A型汽车、34辆B型汽车,利润为6×5+34×10=370万元；
③生产7辆A型汽车、33辆B型汽车,利润为7×5+33×10=365万元.
生产利润最高为375万元.
解析
【分析】
任务1解题思路：先计算生产10辆A型汽车的总成本，再设B型汽车的生产数量为未知数，结合“生产成本不超过1550万元”的限制条件列一元一次不等式，求解后结合车辆数为正整数的实际要求，取最大整数解即可。
任务2解题思路：设A型汽车的生产数量为未知数，用总生产数量表示B型汽车的生产数量，再分别根据“生产成本不超过1550万元”“总利润不低于365万元”两个不等关系列不等式组，求解得到未知数的取值范围，结合车辆数为正整数的要求筛选出符合条件的整数解，即可得到所有生产方案，最后计算各方案利润对比得到最高利润即可。
【解析】
任务1解答：
生产10辆A型汽车的成本为：$10×30=300$（万元）
设最多可生产$x$辆B型汽车，根据生产成本限制列不等式：
$300 + 40x ≤ 1550$
解不等式：
$40x ≤ 1250$
$x ≤ 31.25$
由于汽车数量为正整数，因此$x$的最大值为31。
任务2解答：
设生产A型汽车$a$辆，则生产B型汽车$(40-a)$辆。
计算单辆车利润：A型每辆利润$35-30=5$万元，B型每辆利润$50-40=10$万元。
根据题意列不等式组：
1. 生产成本限制：$30a + 40(40-a) ≤ 1550$
2. 总利润限制：$5a + 10(40-a) ≥ 365$
解第一个不等式：
$30a + 1600 - 40a ≤ 1550$
$-10a ≤ -50$
不等号两边同时除以-10，不等号方向改变，得$a ≥ 5$
解第二个不等式：
$5a + 400 - 10a ≥ 365$
$-5a ≥ -35$
不等号两边同时除以-5，不等号方向改变，得$a ≤ 7$
因此$a$的取值范围为$5≤ a ≤7$，$a$为正整数，故$a$可取5、6、7，对应三种方案：
①$a=5$：生产5辆A型、35辆B型，利润为$5×5 + 35×10=375$万元
②$a=6$：生产6辆A型、34辆B型，利润为$6×5 + 34×10=370$万元
③$a=7$：生产7辆A型、33辆B型，利润为$7×5 + 33×10=365$万元
对比得最高利润为375万元。
【答案】
任务1：31
任务2：共有3种生产方案：
①生产5辆A型汽车、35辆B型汽车；
②生产6辆A型汽车、34辆B型汽车；
③生产7辆A型汽车、33辆B型汽车。
生产利润最高为375万元。
【知识点】
一元一次不等式应用；一元一次不等式组应用；方案设计问题
【点评】
本题结合实际生产场景考查不等式的实际应用，解题核心是找准题干中的不等关系列出对应不等式（组），解题时要注意未知数的实际意义，需取符合要求的整数解，计算时要注意不等式系数化为1时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
任务1解题思路：先计算生产10辆A型汽车的总成本，再设B型汽车的生产数量为未知数，结合“生产成本不超过1550万元”的限制条件列一元一次不等式，求解后结合车辆数为正整数的实际要求，取最大整数解即可。
任务2解题思路：设A型汽车的生产数量为未知数，用总生产数量表示B型汽车的生产数量，再分别根据“生产成本不超过1550万元”“总利润不低于365万元”两个不等关系列不等式组，求解得到未知数的取值范围，结合车辆数为正整数的要求筛选出符合条件的整数解，即可得到所有生产方案，最后计算各方案利润对比得到最高利润即可。
【解析】
任务1解答：
生产10辆A型汽车的成本为：$10×30=300$（万元）
设最多可生产$x$辆B型汽车，根据生产成本限制列不等式：
$300 + 40x ≤ 1550$
解不等式：
$40x ≤ 1250$
$x ≤ 31.25$
由于汽车数量为正整数，因此$x$的最大值为31。
任务2解答：
设生产A型汽车$a$辆，则生产B型汽车$(40-a)$辆。
计算单辆车利润：A型每辆利润$35-30=5$万元，B型每辆利润$50-40=10$万元。
根据题意列不等式组：
1. 生产成本限制：$30a + 40(40-a) ≤ 1550$
2. 总利润限制：$5a + 10(40-a) ≥ 365$
解第一个不等式：
$30a + 1600 - 40a ≤ 1550$
$-10a ≤ -50$
不等号两边同时除以-10，不等号方向改变，得$a ≥ 5$
解第二个不等式：
$5a + 400 - 10a ≥ 365$
$-5a ≥ -35$
不等号两边同时除以-5，不等号方向改变，得$a ≤ 7$
因此$a$的取值范围为$5≤ a ≤7$，$a$为正整数，故$a$可取5、6、7，对应三种方案：
①$a=5$：生产5辆A型、35辆B型，利润为$5×5 + 35×10=375$万元
②$a=6$：生产6辆A型、34辆B型，利润为$6×5 + 34×10=370$万元
③$a=7$：生产7辆A型、33辆B型，利润为$7×5 + 33×10=365$万元
对比得最高利润为375万元。
【答案】
任务1：31
任务2：共有3种生产方案：
①生产5辆A型汽车、35辆B型汽车；
②生产6辆A型汽车、34辆B型汽车；
③生产7辆A型汽车、33辆B型汽车。
生产利润最高为375万元。
【知识点】
一元一次不等式应用；一元一次不等式组应用；方案设计问题
【点评】
本题结合实际生产场景考查不等式的实际应用，解题核心是找准题干中的不等关系列出对应不等式（组），解题时要注意未知数的实际意义，需取符合要求的整数解，计算时要注意不等式系数化为1时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
