登录
1. 「2025四川成都温江期中」下列各式中，是不等式的是(
A.$ x - 1 = 3 $
B.$ y - 2x ＞ 3 $
C.$ x^{2} - 2x + 1 $
D.$ x + y = 1 $
B
)A.$ x - 1 = 3 $
B.$ y - 2x ＞ 3 $
C.$ x^{2} - 2x + 1 $
D.$ x + y = 1 $
答案
1. B 用不等号表示不等关系的式子是不等式,只有 B 含有不等号.故选 B.
2. 「2024辽宁沈阳期中」一袋牛奶的包装盒上标重$ (200 \pm 2) $g，则这袋牛奶的实际质量$ x $满足(
A.$ x = 200 $g
B.$ x = 202 $g
C.$ x = 202 $g 或 198g
D.$ 198 $g $ ≤ x ≤ 202 $g
D
)A.$ x = 200 $g
B.$ x = 202 $g
C.$ x = 202 $g 或 198g
D.$ 198 $g $ ≤ x ≤ 202 $g
答案
2. D
∵ 一袋牛奶的包装盒上标重$(200\pm 2)g,$
$\therefore (200 - 2)g≤ x≤ (200 + 2)g$,即$198g≤ x≤ 202g$.故选 D.
∵ 一袋牛奶的包装盒上标重$(200\pm 2)g,$
$\therefore (200 - 2)g≤ x≤ (200 + 2)g$,即$198g≤ x≤ 202g$.故选 D.
3. 「2024宁夏中考」已知$ 3 - a = a - 3 $，则$ a $的取值范围在数轴上表示正确的是(
A
)答案
3. A $\because |3 - a| = a - 3,\therefore a - 3≥ 0,\therefore a≥ 3$.故选 A.
4. 「2025北京通州期末」若$ m ＞ n $，则下列不等式成立的是(
A.$ -2m ＞ -2n $
B.$ m - 5 ＜ n - 5 $
C.$ m - n ＜ 0 $
D.$ \dfrac{m}{3} ＞ \dfrac{n}{3} $
D
)A.$ -2m ＞ -2n $
B.$ m - 5 ＜ n - 5 $
C.$ m - n ＜ 0 $
D.$ \dfrac{m}{3} ＞ \dfrac{n}{3} $
答案
4. D A.若$m ＞ n$,根据不等式的性质 3,得$-2m ＜ -2n$,故选项 A 不成立;B.若$m ＞ n$,根据不等式的性质 1,得$m - 5 ＞ n - 5$,故选项 B 不成立;C.若$m ＞ n$,根据不等式的性质 1,得$m - n ＞ 0$,故选项 C 不成立;D.若$m ＞ n$,根据不等式的性质 2,得$\frac{m}{3} ＞ \frac{n}{3}$,故选项 D 成立.故选 D.
5. 「2025山西中考」不等式组$ \begin{cases}2x + 1 ＞ 5, \\ 1 - 3x ≥ -8\end{cases}$的解集是( )
A.$ x ＜ 2 $
B.$ x ≥ 3 $
C.$ 2 ＜ x ≤ 3 $
D.无解
A.$ x ＜ 2 $
B.$ x ≥ 3 $
C.$ 2 ＜ x ≤ 3 $
D.无解
答案
5. C $\{\begin{array}{l}2x + 1 ＞ 5①,\\1 - 3x≥ - 8②,\end{array} $解不等式①,得$x ＞ 2$,解不等式②,得$x≤ 3$,所以不等式组的解集为$2 ＜ x≤ 3$.故选 C.
6. 关于$ x $，$ y $的方程组$ \begin{cases}2x - y = 3k - 1, \\ x - 2y = k\end{cases}$的解中，$ x $与$ y $的和不大于3，则$ k $的取值范围是( )
A.$ k ≥ 2 $
B.$ k ≤ 2 $
C.$ k ≥ 1 $
D.$ k ≤ 1 $
A.$ k ≥ 2 $
B.$ k ≤ 2 $
C.$ k ≥ 1 $
D.$ k ≤ 1 $
答案
6. B $\{\begin{array}{l}2x - y = 3k - 1①,\\x - 2y = k②,\end{array} $① - ②,得$x + y = 2k - 1$,
$\because x$与$y$的和不大于$3,\therefore 2k - 1≤ 3$,解得$k≤ 2$.故选 B.
$\because x$与$y$的和不大于$3,\therefore 2k - 1≤ 3$,解得$k≤ 2$.故选 B.
7. 「2025安徽合肥蜀山期末」某公司为合肥市中小学智慧课堂提供学生平板，成本为3200元，标价为4480元，如果公司要以利润不低于5%的售价打折出售，则最多可打(
A.9折
B.8.5折
C.8折
D.7.5折
D
)A.9折
B.8.5折
C.8折
D.7.5折
答案
7. D 设可以打$x$折出售,根据题意得$4480×\frac{x}{10} - 3200≥ 3200× 5\%$,解得$x≥ 7.5$,
$\therefore x$的最小值为$7.5,\therefore$最多可打 7.5 折.故选 D.
$\therefore x$的最小值为$7.5,\therefore$最多可打 7.5 折.故选 D.
8. 「2024安徽中考」已知实数$ a $，$ b $满足$ a - b + 1 = 0 $，$ 0 ＜ a + b + 1 ＜ 1 $，则下列判断正确的是(
A.$ -\dfrac{1}{2} ＜ a ＜ 0 $
B.$ \dfrac{1}{2} ＜ b ＜ 1 $
C.$ -2 ＜ 2a + 4b ＜ 1 $
D.$ -1 ＜ 4a + 2b ＜ 0 $
C
)A.$ -\dfrac{1}{2} ＜ a ＜ 0 $
B.$ \dfrac{1}{2} ＜ b ＜ 1 $
C.$ -2 ＜ 2a + 4b ＜ 1 $
D.$ -1 ＜ 4a + 2b ＜ 0 $
答案
8. C $\because a - b + 1 = 0,\therefore a = b - 1,b = a + 1$.
$\because 0 ＜ a + b + 1 ＜ 1,\therefore 0 ＜ a + a + 1 + 1 ＜ 1$,即$0 ＜ 2a + 2 ＜ 1$,
$\therefore - 2 ＜ 2a ＜ - 1,\therefore - 1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$,故选项 A 错误;
$\because 0 ＜ a + b + 1 ＜ 1,\therefore 0 ＜ b - 1 + b + 1 ＜ 1$,即$0 ＜ 2b ＜ 1$,
$\therefore 0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$,故选项 B 错误;
$\because a = b - 1,\therefore 2a + 4b = 2b - 2 + 4b = 6b - 2,\because 0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$,
$\therefore - 2 ＜ 2a + 4b ＜ 1$,故选项 C 正确;
$\because a = b - 1,\therefore 4a + 2b = 4b - 4 + 2b = 6b - 4,\because 0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$,
$\therefore - 4 ＜ 4a + 2b ＜ - 1$,故选项 D 错误.
故选 C.
$\because 0 ＜ a + b + 1 ＜ 1,\therefore 0 ＜ a + a + 1 + 1 ＜ 1$,即$0 ＜ 2a + 2 ＜ 1$,
$\therefore - 2 ＜ 2a ＜ - 1,\therefore - 1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$,故选项 A 错误;
$\because 0 ＜ a + b + 1 ＜ 1,\therefore 0 ＜ b - 1 + b + 1 ＜ 1$,即$0 ＜ 2b ＜ 1$,
$\therefore 0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$,故选项 B 错误;
$\because a = b - 1,\therefore 2a + 4b = 2b - 2 + 4b = 6b - 2,\because 0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$,
$\therefore - 2 ＜ 2a + 4b ＜ 1$,故选项 C 正确;
$\because a = b - 1,\therefore 4a + 2b = 4b - 4 + 2b = 6b - 4,\because 0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$,
$\therefore - 4 ＜ 4a + 2b ＜ - 1$,故选项 D 错误.
故选 C.
9. 「2025江苏扬州仪征月考」已知$ (m + 4)x^{m - 3} + 6 ＞ 0 $是关于$ x $的一元一次不等式，则$ m $的值为
4
。答案
9. 答案 4
解析 $\because (m + 4)x^{|m| - 3} + 6 ＞ 0$是关于$x$的一元一次不等式,$\therefore \{\begin{array}{l}|m| - 3 = 1,\\m + 4≠ 0,\end{array} $解得$m = 4$.
解析 $\because (m + 4)x^{|m| - 3} + 6 ＞ 0$是关于$x$的一元一次不等式,$\therefore \{\begin{array}{l}|m| - 3 = 1,\\m + 4≠ 0,\end{array} $解得$m = 4$.
10. 下列说法：①4是不等式$ x + 3 ＞ 6 $的解；②$ x + 3 ＜ 6 $的解集是$ x ＜ 2 $；③3是不等式$ x + 3 ≤ 6 $的解；④$ x ＞ 4 $是不等式$ x + 3 ≥ 6 $解集的一部分。其中正确的有
①③④
。(填序号)答案
10. 答案 ①③④
解析 ①不等式$x + 3 ＞ 6$的解集为$x ＞ 3$,所以 4 是不等式$x + 3 ＞ 6$的解,故①正确;②解$x + 3 ＜ 6$,得$x ＜ 3$,故②错误;③不等式$x + 3≤ 6$的解集为$x≤ 3$,所以 3 是不等式$x + 3≤ 6$的解,故③正确;④不等式$x + 3≥ 6$的解集为$x≥ 3$,故$x ＞ 4$是不等式$x + 3≥ 6$解集的一部分,故④正确.所以正确的说法有①③④.
解析 ①不等式$x + 3 ＞ 6$的解集为$x ＞ 3$,所以 4 是不等式$x + 3 ＞ 6$的解,故①正确;②解$x + 3 ＜ 6$,得$x ＜ 3$,故②错误;③不等式$x + 3≤ 6$的解集为$x≤ 3$,所以 3 是不等式$x + 3≤ 6$的解,故③正确;④不等式$x + 3≥ 6$的解集为$x≥ 3$,故$x ＞ 4$是不等式$x + 3≥ 6$解集的一部分,故④正确.所以正确的说法有①③④.
11. 「2025青海中考」在平面直角坐标系中，点$ P(a - 2, 1 + a) $在第三象限，则$ a $的取值范围是
$a ＜ - 1$
。答案
11. 答案 $a ＜ - 1$
解析 $\because$点$P(a - 2,1 + a)$在第三象限,
$\therefore \{\begin{array}{l}a - 2 ＜ 0,\\1 + a ＜ 0,\end{array} $解$a - 2 ＜ 0$,得$a ＜ 2$.
解$1 + a ＜ 0$,得$a ＜ - 1$.
所以不等式组的解集为$a ＜ - 1$.
解析 $\because$点$P(a - 2,1 + a)$在第三象限,
$\therefore \{\begin{array}{l}a - 2 ＜ 0,\\1 + a ＜ 0,\end{array} $解$a - 2 ＜ 0$,得$a ＜ 2$.
解$1 + a ＜ 0$,得$a ＜ - 1$.
所以不等式组的解集为$a ＜ - 1$.
12. 「2025四川内江中考」对于$ x $，$ y $定义了一种新运算$ G $，规定$ G(x, y) = x + 3y $。若关于$ a $的不等式组$ \begin{cases}G(a, 1 - 2a) ≥ -2, \\ G(-2a, 1 + 4a) ＞ P\end{cases}$恰好有3个整数解，则实数$ P $的取值范围是 ______ 。
答案
12. 答案 $- 17≤ P ＜ - 7$
解析 $\because G(x,y) = x + 3y$,
$\therefore$关于$a$的不等式组$\{\begin{array}{l}G(a,1 - 2a)≥ - 2,\\G(- 2a,1 + 4a) ＞ P\end{array} $即为$\{\begin{array}{l}a + 3(1 - 2a)≥ - 2①,\\- 2a + 3(1 + 4a) ＞ P②,\end{array} $
解不等式①,得$a≤ 1$,解不等式②,得$a ＞ \frac{P - 3}{10}$,
$\because$不等式组有解,$\therefore \frac{P - 3}{10} ＜ a≤ 1$,
$\because$不等式组有 3 个整数解,$\therefore$整数解为$- 1,0,1$,
$\therefore - 2≤ \frac{P - 3}{10} ＜ - 1$,解得$- 17≤ P ＜ - 7$.
解析 $\because G(x,y) = x + 3y$,
$\therefore$关于$a$的不等式组$\{\begin{array}{l}G(a,1 - 2a)≥ - 2,\\G(- 2a,1 + 4a) ＞ P\end{array} $即为$\{\begin{array}{l}a + 3(1 - 2a)≥ - 2①,\\- 2a + 3(1 + 4a) ＞ P②,\end{array} $
解不等式①,得$a≤ 1$,解不等式②,得$a ＞ \frac{P - 3}{10}$,
$\because$不等式组有解,$\therefore \frac{P - 3}{10} ＜ a≤ 1$,
$\because$不等式组有 3 个整数解,$\therefore$整数解为$- 1,0,1$,
$\therefore - 2≤ \frac{P - 3}{10} ＜ - 1$,解得$- 17≤ P ＜ - 7$.
三、解答题（共40分）
13. （8分）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。
（1）「2024江苏连云港中考」$ \dfrac{x - 1}{2} ＜ x + 1 $。
（2）「2025北京中考改编」$ \begin{cases} 2(x + 1) ＞ x - 1, \\ \dfrac{x + 5}{2} ＞ 3x. \end{cases} $
13. （8分）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。
（1）「2024江苏连云港中考」$ \dfrac{x - 1}{2} ＜ x + 1 $。
（2）「2025北京中考改编」$ \begin{cases} 2(x + 1) ＞ x - 1, \\ \dfrac{x + 5}{2} ＞ 3x. \end{cases} $
答案
13. 解析 (1)去分母,得$x - 1 ＜ 2(x + 1)$,
去括号,得$x - 1 ＜ 2x + 2$,
移项,得$x - 2x ＜ 2 + 1$,
合并同类项,得$- x ＜ 3$,
系数化为 1,得$x ＞ - 3$.
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
(2)$\{\begin{array}{l}2(x + 1) ＞ x - 1①,\frac{x + 5}{2} ＞ 3x②,\end{array} $
解不等式①,得$x ＞ - 3$,解不等式②,得$x ＜ 1$,
所以不等式组的解集为$- 3 ＜ x ＜ 1$.
这个不等式组的解集在数轴上表示如图.
