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14. （10分）关于$ x $，$ y $的二元一次方程组$ \begin{cases} x - y = m - 5, \\ x + y = 3m + 3 \end{cases} $中，$ x $的值为负数，$ y $的值为正数。
（1）用含$ m $的代数式表示$ x $，$ y $。
（2）求$ m $的取值范围。
（1）用含$ m $的代数式表示$ x $，$ y $。
（2）求$ m $的取值范围。
答案
14. 解析 (1)$\{\begin{array}{l}x - y = m - 5①,\\x + y = 3m + 3②,\end{array} $
① + ②,得$2x = 4m - 2,\therefore x = 2m - 1$,
② - ①,得$2y = 2m + 8,\therefore y = m + 4$.
(2)$\because x$的值为负数,$y$的值为正数,$\therefore x ＜ 0,y ＞ 0$,
$\therefore \{\begin{array}{l}2m - 1 ＜ 0①,\\m + 4 ＞ 0②,\end{array} $
解不等式①,得$m ＜ \frac{1}{2}$,解不等式②,得$m ＞ - 4$,
$\therefore - 4 ＜ m ＜ \frac{1}{2}$.
① + ②,得$2x = 4m - 2,\therefore x = 2m - 1$,
② - ①,得$2y = 2m + 8,\therefore y = m + 4$.
(2)$\because x$的值为负数,$y$的值为正数,$\therefore x ＜ 0,y ＞ 0$,
$\therefore \{\begin{array}{l}2m - 1 ＜ 0①,\\m + 4 ＞ 0②,\end{array} $
解不等式①,得$m ＜ \frac{1}{2}$,解不等式②,得$m ＞ - 4$,
$\therefore - 4 ＜ m ＜ \frac{1}{2}$.
15. 「2025北京昌平期中」(10分)我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”。
(1)不等式$ x ≥ 2 $
(2)若关于$ x $的不等式$ x + 2m ≥ 0 $不是$ 2x - 3 ＜ x + 1 $的“云不等式”，求$ m $的取值范围。
(3)若$ a ≠ -1 $，关于$ x $的不等式$ x + 3 ＞ a $与不等式$ ax - 1 ≤ a - x $互为“云不等式”，求$ a $的取值范围。
(1)不等式$ x ≥ 2 $
是
$ x ≤ 2 $的“云不等式”。(填“是”或“不是”)。(2)若关于$ x $的不等式$ x + 2m ≥ 0 $不是$ 2x - 3 ＜ x + 1 $的“云不等式”，求$ m $的取值范围。
(3)若$ a ≠ -1 $，关于$ x $的不等式$ x + 3 ＞ a $与不等式$ ax - 1 ≤ a - x $互为“云不等式”，求$ a $的取值范围。
答案
15. 解析 (1)因为不等式$x≥ 2$和不等式$x≤ 2$有公共整数解 2,所以不等式$x≥ 2$是$x≤ 2$的“云不等式”.故答案为是.
(2)解不等式$x + 2m≥ 0$,得$x≥ - 2m$,
解不等式$2x - 3 ＜ x + 1$,得$x ＜ 4$,
因为关于$x$的不等式$x + 2m≥ 0$不是$2x - 3 ＜ x + 1$的“云不等式”,所以$- 2m ＞ 3$,解得$m ＜ -\frac{3}{2}$.
(3)解$x + 3 ＞ a$,得$x ＞ a - 3$,
整理$ax - 1≤ a - x$,得$(a + 1)x≤ a + 1$,
①当$a + 1 ＞ 0$,即$a ＞ - 1$时,由$(a + 1)x≤ a + 1$得$x≤ 1$,依题意得$a - 3 ＜ 1$,即$a ＜ 4$,故$- 1 ＜ a ＜ 4$;
②当$a + 1 ＜ 0$,即$a ＜ - 1$时,由$(a + 1)x≤ a + 1$得$x≥ 1$,始终符合题意,故$a ＜ - 1$.
综上,$a$的取值范围为$a ＜ - 1$或$- 1 ＜ a ＜ 4$.
(2)解不等式$x + 2m≥ 0$,得$x≥ - 2m$,
解不等式$2x - 3 ＜ x + 1$,得$x ＜ 4$,
因为关于$x$的不等式$x + 2m≥ 0$不是$2x - 3 ＜ x + 1$的“云不等式”,所以$- 2m ＞ 3$,解得$m ＜ -\frac{3}{2}$.
(3)解$x + 3 ＞ a$,得$x ＞ a - 3$,
整理$ax - 1≤ a - x$,得$(a + 1)x≤ a + 1$,
①当$a + 1 ＞ 0$,即$a ＞ - 1$时,由$(a + 1)x≤ a + 1$得$x≤ 1$,依题意得$a - 3 ＜ 1$,即$a ＜ 4$,故$- 1 ＜ a ＜ 4$;
②当$a + 1 ＜ 0$,即$a ＜ - 1$时,由$(a + 1)x≤ a + 1$得$x≥ 1$,始终符合题意,故$a ＜ - 1$.
综上,$a$的取值范围为$a ＜ - 1$或$- 1 ＜ a ＜ 4$.
16. 「2025湖南长沙宁乡期末」（12分）“安全骑行齐参与，戴好头盔记心中”，随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全。某小商店购进A种头盔2个和B种头盔1个共需208元，A种头盔3个和B种头盔5个共需620元。
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元。
（2）若该商店计划用不超过1368元的资金购进A，B两种头盔共20个，销售1个A种头盔可获利20元，销售1个B种头盔可获利32元，且购进A种头盔的数量不能超过B种头盔的3倍，求该商店共有几种购进方案。假如这些头盔能全部售出，最大利润是多少元？
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元。
（2）若该商店计划用不超过1368元的资金购进A，B两种头盔共20个，销售1个A种头盔可获利20元，销售1个B种头盔可获利32元，且购进A种头盔的数量不能超过B种头盔的3倍，求该商店共有几种购进方案。假如这些头盔能全部售出，最大利润是多少元？
答案
16. 解析 (1)设 A 种头盔的单价是$x$元,B 种头盔的单价是$y$元,根据题意得$\{\begin{array}{l}2x + y = 208,\\3x + 5y = 620,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l}x = 60,\\y = 88.\end{array} $
答:A 种头盔的单价是 60 元,B 种头盔的单价是 88 元.
(2)设购进$m$个 A 种头盔,则购进$(20 - m)$个 B 种头盔,根据题意得$\{\begin{array}{l}60m + 88(20 - m)≤ 1368,\\m≤ 3(20 - m),\end{array} $
解得$14≤ m≤ 15$,
$\because m$为整数,$\therefore m = 14$或 15,
$\therefore$该商店共有 2 种购进方案,
方案 1:购进 14 个 A 种头盔,6 个 B 种头盔,可获得的总利润为$20× 14 + 32× 6 = 472$(元),
方案 2:购进 15 个 A 种头盔,5 个 B 种头盔,可获得的总利润为$20× 15 + 32× 5 = 460$(元).
$\because 472 ＞ 460,\therefore$最大利润是 472 元.
答:该商店共有 2 种购进方案,假如这些头盔能全部售出,最大利润是 472 元.
答:A 种头盔的单价是 60 元,B 种头盔的单价是 88 元.
(2)设购进$m$个 A 种头盔,则购进$(20 - m)$个 B 种头盔,根据题意得$\{\begin{array}{l}60m + 88(20 - m)≤ 1368,\\m≤ 3(20 - m),\end{array} $
解得$14≤ m≤ 15$,
$\because m$为整数,$\therefore m = 14$或 15,
$\therefore$该商店共有 2 种购进方案,
方案 1:购进 14 个 A 种头盔,6 个 B 种头盔,可获得的总利润为$20× 14 + 32× 6 = 472$(元),
方案 2:购进 15 个 A 种头盔,5 个 B 种头盔,可获得的总利润为$20× 15 + 32× 5 = 460$(元).
$\because 472 ＞ 460,\therefore$最大利润是 472 元.
答:该商店共有 2 种购进方案,假如这些头盔能全部售出,最大利润是 472 元.
