一、选择题
1. 计算$\frac{1 - a}{a} ÷ (1 - \frac{1}{a})$，结果正确的是()。

A.$\frac{1 - a}{a + 1}$
B.1
C.$-1$
D.$1 - a$

1. C

$\begin{aligned}\frac{1 - a}{a} ÷ (1 - \frac{1}{a})&=\frac{1 - a}{a} ÷ (\frac{a}{a} - \frac{1}{a})\\&=\frac{1 - a}{a} ÷ \frac{a - 1}{a}\\&=\frac{1 - a}{a} × \frac{a}{a - 1}\\&=\frac{-(a - 1)}{a} × \frac{a}{a - 1}\\&=-1\end{aligned}$
C

2. 化简$(y - \frac{1}{x}) ÷ (x - \frac{1}{y})$的结果是()。

A.$-\frac{y}{x}$
B.$-\frac{x}{y}$
C.$\frac{x}{y}$
D.$\frac{y}{x}$

2. D

$\begin{aligned}(y - \frac{1}{x}) ÷ (x - \frac{1}{y})&=(\frac{xy - 1}{x}) ÷ (\frac{xy - 1}{y})\\&=\frac{xy - 1}{x} × \frac{y}{xy - 1}\\&=\frac{y}{x}\end{aligned}$
D

3. 化简$(\frac{a}{a - 2} - \frac{a}{a + 2}) · \frac{4 - a^2}{a}$的结果是()。

A.$-4$
B.4
C.$2a$
D.$-2a$

3. A

$\begin{aligned}&(\frac{a}{a - 2} - \frac{a}{a + 2}) · \frac{4 - a^2}{a}\\=&[\frac{a(a + 2) - a(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)}] · \frac{-(a^2 - 4)}{a}\\=&[\frac{a^2 + 2a - a^2 + 2a}{(a - 2)(a + 2)}] · \frac{-(a - 2)(a + 2)}{a}\\=&\frac{4a}{(a - 2)(a + 2)} · \frac{-(a - 2)(a + 2)}{a}\\=&-4\end{aligned}$
A

二、填空题
4. 计算：$\frac{x + y}{x - y} ÷ (x^2 + 2xy + y^2) =$。

4. $\frac{1}{(x + y)(x - y)}$

5. 计算：$\frac{a + b}{ab - b^2} ÷ \frac{ab + b^2}{(a - b)^2} =$。

5. $\frac{a - b}{b^{2}}$

$\begin{aligned}&\frac{a + b}{ab - b^2} ÷ \frac{ab + b^2}{(a - b)^2}\\=&\frac{a + b}{b(a - b)} × \frac{(a - b)^2}{b(a + b)}\\=&\frac{(a + b)(a - b)^2}{b(a - b)b(a + b)}\\=&\frac{a - b}{b^2}\end{aligned}$

6. 若$3ab - 3b^2 - 2 = 0$，则代数式$(1 - \frac{2ab - b^2}{a^2}) ÷ \frac{a - b}{a^2b}$的值为。

6. $\frac{2}{3}$

$\begin{aligned}&(1 - \frac{2ab - b^2}{a^2}) ÷ \frac{a - b}{a^2b}\\=&(\frac{a^2 - (2ab - b^2)}{a^2}) × \frac{a^2b}{a - b}\\=&\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2} × \frac{a^2b}{a - b}\\=&\frac{(a - b)^2}{a^2} × \frac{a^2b}{a - b}\\=&b(a - b)\\=&ab - b^2\end{aligned}$
由$3ab - 3b^2 - 2 = 0$得$3(ab - b^2) = 2$，即$ab - b^2 = \frac{2}{3}$，故原式的值为$\frac{2}{3}$。

三、解答题
7. 先化简$(x - 1 - \frac{3}{x + 1}) ÷ \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$，然后从$-1$，1，2 这三个数中选一个合适的数代入求值。

7. $x + 1$，2

$(x - 1 - \frac{3}{x + 1}) ÷ \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$
$=(\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}) ÷ \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x^2 - 1 - 3}{x + 1} × \frac{(x + 1)^2}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{x^2 - 4}{x + 1} × \frac{(x + 1)^2}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1} × \frac{(x + 1)^2}{(x + 2)(x - 2)}$
$=x + 1$
要使原式有意义，则$x + 1 ≠ 0$，$x^2 - 4 ≠ 0$，即$x ≠ -1$，$x ≠ \pm 2$，所以只能选$x = 1$。
当$x = 1$时，原式$=1 + 1 = 2$

8. 对于“当$x = 1234$时，求代数式$\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 - 2x}{x + 2} - \frac{1}{x} + 1$的值”一题，聪聪认为$x$只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果。他说得对吗？请说明理由。

8. 对，该式化简后为 1

对，理由如下：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 - 2x}{x + 2} - \frac{1}{x} + 1\\=&\frac{(x - 2)^2}{(x + 2)(x - 2)} · \frac{x + 2}{x(x - 2)} - \frac{1}{x} + 1\\=&\frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1\\=&1\end{aligned}$
化简结果为常数$1$，与$x$取值无关（$x$使原式有意义），故聪聪说得对。