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10.若$3^x=\frac{5}{2},3^y=25$,则$3^{y-x}=$
10
。答案
10.10
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，逆用这个法则可以把$3^{y-x}$转化为$3^y÷3^x$的形式，再将题目给出的$3^x$和$3^y$的数值代入式子，按照有理数除法规则计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法的逆运算规则可得：
$3^{y-x}=3^y÷3^x$
将$3^x=\frac{5}{2}$，$3^y=25$代入上式：
$3^{y-x}=25÷\frac{5}{2}=25×\frac{2}{5}=10$
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的除法、有理数除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对同底数幂除法法则的逆用，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，逆用这个法则可以把$3^{y-x}$转化为$3^y÷3^x$的形式，再将题目给出的$3^x$和$3^y$的数值代入式子，按照有理数除法规则计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法的逆运算规则可得：
$3^{y-x}=3^y÷3^x$
将$3^x=\frac{5}{2}$，$3^y=25$代入上式：
$3^{y-x}=25÷\frac{5}{2}=25×\frac{2}{5}=10$
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的除法、有理数除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对同底数幂除法法则的逆用，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11.已知$x+y=9$，$xy=14$，求$x^2+y^2$的值。
11.已知$x+y=9$，$xy=14$，求$x^2+y^2$的值。
答案
11.解:原式=(x+y)²−2xy,当x+y=9,xy=14时,原式=9²−2×14=53。
解析
【分析】
已知x+y和xy的取值，要求x²+y²，可回忆完全平方公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，对该公式变形可得x²+y²=(x+y)²−2xy，无需单独求解x、y的具体数值，直接将已知的x+y、xy整体代入变形后的式子即可计算出结果，解题更简便。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
将$x+y=9$，$xy=14$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=9^2-2×14\\&=81-28\\&=53\end{aligned}$
【答案】
53
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，采用整体代入的思想可降低计算量，解题关键是准确记忆完全平方公式的展开形式，避免出现符号、系数类的计算错误。
【难度系数】
0.8
已知x+y和xy的取值，要求x²+y²，可回忆完全平方公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，对该公式变形可得x²+y²=(x+y)²−2xy，无需单独求解x、y的具体数值，直接将已知的x+y、xy整体代入变形后的式子即可计算出结果，解题更简便。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
将$x+y=9$，$xy=14$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=9^2-2×14\\&=81-28\\&=53\end{aligned}$
【答案】
53
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，采用整体代入的思想可降低计算量，解题关键是准确记忆完全平方公式的展开形式，避免出现符号、系数类的计算错误。
【难度系数】
0.8
12.如图所示，$AD// EF$，$∠ 1=∠ E$，求证：AD平分$∠ BAC$。
答案
12.证明:
∵AD//EF,
∴∠DAC=∠1,∠DAB=∠E,
∵∠1=∠E,
∴∠BAD=∠DAC。
∴AD平分∠BAC。
∵AD//EF,
∴∠DAC=∠1,∠DAB=∠E,
∵∠1=∠E,
∴∠BAD=∠DAC。
∴AD平分∠BAC。
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是要证明∠BAD=∠DAC。首先结合已知条件AD//EF，利用平行线的性质可分别得到与∠1、∠E相等的角，再结合∠1=∠E的已知条件，通过等量代换即可推出∠BAD和∠DAC相等，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵AD//EF，
∴∠DAC=∠1（两直线平行，内错角相等），∠DAB=∠E（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠E，
∴∠BAD=∠DAC（等量代换），
∴AD平分∠BAC。
【答案】
证明:
∵AD//EF,
∴∠DAC=∠1,∠DAB=∠E,
∵∠1=∠E,
∴∠BAD=∠DAC。
∴AD平分∠BAC。
【知识点】
平行线的性质、等量代换、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别平行线截得的同位角、内错角，结合已知条件做等量代换即可推导结论，是巩固几何基础推导能力的典型题型。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，本质是要证明∠BAD=∠DAC。首先结合已知条件AD//EF，利用平行线的性质可分别得到与∠1、∠E相等的角，再结合∠1=∠E的已知条件，通过等量代换即可推出∠BAD和∠DAC相等，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵AD//EF，
∴∠DAC=∠1（两直线平行，内错角相等），∠DAB=∠E（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠E，
∴∠BAD=∠DAC（等量代换），
∴AD平分∠BAC。
【答案】
证明:
∵AD//EF,
∴∠DAC=∠1,∠DAB=∠E,
∵∠1=∠E,
∴∠BAD=∠DAC。
∴AD平分∠BAC。
【知识点】
平行线的性质、等量代换、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别平行线截得的同位角、内错角，结合已知条件做等量代换即可推导结论，是巩固几何基础推导能力的典型题型。
【难度系数】
0.8
13.观察下图,我们发现这是由8根火柴拼成的一条小鱼,如果让你帮忙使小鱼反方向游动,你会怎么办？
答案
解：只需移动2根火柴，将原鱼尾位置的两根火柴移动到原鱼头的另一侧，拼接出朝向相反的新鱼头，原鱼头区域调整为新的鱼尾，即可让小鱼向反方向游动。
解析
【分析】
首先观察小鱼的结构，它由鱼头、菱形鱼身、鱼尾三部分构成，当前鱼头朝向右侧。要让小鱼反方向游动，可借助图形的对称性思考：中间的菱形鱼身是轴对称结构，不需要调整，只需调整头尾部分即可。要尽可能减少移动火柴的数量，我们只需重新构造朝向相反的鱼头，原来的鱼头位置就会自然变成新的鱼尾，所以只需移动2根构成原鱼尾的火柴到原鱼头的另一侧即可完成调整。
【解析】
第一步：明确当前小鱼朝向为右，目标是让小鱼朝左反方向游动；
第二步：找到原左侧鱼尾位置、构成鱼尾的2根火柴；
第三步：将这2根火柴移动到原右侧鱼头的另一侧，拼接出朝向左侧的新鱼头，原本右侧的鱼头区域自然变为新的鱼尾，操作完成后小鱼就实现反方向游动。
【答案】
只需移动2根火柴，将原鱼尾位置的两根火柴移动到原鱼头的另一侧，拼接出朝向相反的新鱼头，原鱼头区域调整为新的鱼尾，即可让小鱼向反方向游动。
【知识点】
图形对称性、图形变换、动手操作
【点评】
这是一道趣味图形操作题，重点考察学生的图形观察能力和空间想象能力，解题关键是发现鱼身的对称结构，避免盲目移动所有火柴。
【难度系数】
0.7
首先观察小鱼的结构，它由鱼头、菱形鱼身、鱼尾三部分构成，当前鱼头朝向右侧。要让小鱼反方向游动，可借助图形的对称性思考：中间的菱形鱼身是轴对称结构，不需要调整，只需调整头尾部分即可。要尽可能减少移动火柴的数量，我们只需重新构造朝向相反的鱼头，原来的鱼头位置就会自然变成新的鱼尾，所以只需移动2根构成原鱼尾的火柴到原鱼头的另一侧即可完成调整。
【解析】
第一步：明确当前小鱼朝向为右，目标是让小鱼朝左反方向游动；
第二步：找到原左侧鱼尾位置、构成鱼尾的2根火柴；
第三步：将这2根火柴移动到原右侧鱼头的另一侧，拼接出朝向左侧的新鱼头，原本右侧的鱼头区域自然变为新的鱼尾，操作完成后小鱼就实现反方向游动。
【答案】
只需移动2根火柴，将原鱼尾位置的两根火柴移动到原鱼头的另一侧，拼接出朝向相反的新鱼头，原鱼头区域调整为新的鱼尾，即可让小鱼向反方向游动。
【知识点】
图形对称性、图形变换、动手操作
【点评】
这是一道趣味图形操作题，重点考察学生的图形观察能力和空间想象能力，解题关键是发现鱼身的对称结构，避免盲目移动所有火柴。
【难度系数】
0.7
