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11. 若一个菱形的边长是方程 $x^{2}-8x+15=0$ 的一个根,其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为（
A.48
B.24
C.24 或 40
D.48 或 80
B
）A.48
B.24
C.24 或 40
D.48 或 80
答案
11. B 解析:解方程$x^2-8x+15=0$,得$x_1=3,x_2=5$.又该菱形的一条对角线长为 8,所以$x=3$不合题意,舍去,所以$x=5$,所以该菱形的另一条对角线长为$2×\sqrt{5^2-(\dfrac{8}{2})^2}=6$,所以该菱形的面积为$\dfrac{1}{2}×6×8=24$.
12. 若2是关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+4=0$的一个根,则$k$的值为
$-3$
.答案
12. $-3$ 解析:把$x=2$代入$kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$,得$4k+2k^2-4+2k+4=0$,即$k^2+3k=0$,解得$k_1=-3,k_2=0$.又$k≠0$,所以$k$的值为$-3$.
13. 新趋势 开放探究 请你写出一个一元二次方程,使这个方程的二次项系数为2,且一个根为$x_{1}=-3$,另一个根$x_{2}$满足$1＜ x_{2} ＜ 3:$
$2x^2+x-15=0$（答案不唯一）
.答案
13. (答案不唯一)$2x^2+x-15=0$ 解析:不妨令$x_2=\dfrac{5}{2}$,则$(x+3)(x-\dfrac{5}{2})=0$,即$x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{15}{2}=0$,所以$2x^2+x-15=0$.
14. 对任意实数$a,b$，定义新运算“$\bigodot$”：$a\bigodot b=(a+b)^2-(a-b)^2$。若$(m+2)\bigodot(m-3)=24$，则$m$的值为
$-3$或$4$
。答案
14. $-3$ 或 $4$ 解析:由题意,得$(m+2)\bigodot(m-3)=(m+2+m-3)^2-(m+2-m+3)^2=(2m-1)^2-25$,所以$(2m-1)^2-25=24$,即$(2m-1)^2-49=0$,所以$(2m-1+7)(2m-1-7)=0$,即$(2m+6)(2m-8)=0$,解得$m_1=-3,m_2=4$.故$m$的值为$-3$ 或 $4$.
15. 【阅读材料】
根据多项式乘法公式: $(x+a)(x+b) = x^{2}+(a+b)x+ab$, 将该式从右到左使用, 即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式: $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$. 示例如下:
分解因式: $x^{2}+5x+6$.
解: $x^{2}+5x+6=x^{2}+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.
【解决问题】
(1) 分解因式: $x^{2}+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)·(x+\_\_\_\_\_\_)$;
(2) 请用上述方法解方程: $x^{2}-10x+9=0$.
根据多项式乘法公式: $(x+a)(x+b) = x^{2}+(a+b)x+ab$, 将该式从右到左使用, 即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式: $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$. 示例如下:
分解因式: $x^{2}+5x+6$.
解: $x^{2}+5x+6=x^{2}+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.
【解决问题】
(1) 分解因式: $x^{2}+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)·(x+\_\_\_\_\_\_)$;
(2) 请用上述方法解方程: $x^{2}-10x+9=0$.
答案
15. (1) 2 4
(2) 原方程可变形为 $x^2+[(-1)+(-9)]x+(-1)×(-9)=0$,即$(x-1)(x-9)=0$,解得$x_1=1,x_2=9$.
(2) 原方程可变形为 $x^2+[(-1)+(-9)]x+(-1)×(-9)=0$,即$(x-1)(x-9)=0$,解得$x_1=1,x_2=9$.
16. 若$x^{2}-x-1=(x+1)^{0}$，则$x$的值为（
A.$2$或$-1$
B.$0$或$1$
C.$2$
D.$-1$
C
）A.$2$或$-1$
B.$0$或$1$
C.$2$
D.$-1$
答案
16. C 解析:由题意,得$x+1≠0$,所以$x≠-1$. 因为$x^2-x-1=(x+1)^0$,所以$x^2-x-1=1$,即$x^2-x-2=0$,解得$x_1=2,x_2=-1$(不合题意,舍去).故$x$的值为 2.
17. (2026·江苏无锡期末)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+x+m-3=0$ 与方程$x^2-3x+2=0$ 有一个相同的根,则 $m$ 的值为
$\dfrac{3}{2}$
.答案
17. $\dfrac{3}{2}$ 解析:解方程$x^2-3x+2=0$,得$x_1=1,x_2=2$.若两个方程相同的根为 1,则$(m-1)×1^2+1+m-3=0$,解得$m=\dfrac{3}{2}$;若两个方程相同的根为 2,则$(m-1)×2^2+2+m-3=0$,解得$m=1$.因为$m-1≠0$,所以$m≠1$,所以$m$的值为$\dfrac{3}{2}$.
18. 新趋势 推导探究 已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$，其中$a$，$b$，$c$为$△ ABC$的三边长.
(1) 若$x=-1$是该方程的解，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2) 若$△ ABC$是等边三角形，试求该一元二次方程的解.
(1) 若$x=-1$是该方程的解，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2) 若$△ ABC$是等边三角形，试求该一元二次方程的解.
答案
18. (1) $△ ABC$ 是等腰三角形. 理由如下:把 $x=-1$ 代入方程$(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$,得$a+c-2b+a-c=0$. 化简,得 $2a-2b=0$,所以 $a=b$,所以$△ ABC$ 是等腰三角形.
(2) 因为$△ ABC$ 是等边三角形,所以 $a=b=c$,所以原方程可化为 $2ax^2+2ax=0$. 因为 $a＞0$,所以方程两边同除以 $2a$,得 $x^2+x=0$,解得 $x_1=0,x_2=-1$.
(2) 因为$△ ABC$ 是等边三角形,所以 $a=b=c$,所以原方程可化为 $2ax^2+2ax=0$. 因为 $a＞0$,所以方程两边同除以 $2a$,得 $x^2+x=0$,解得 $x_1=0,x_2=-1$.
