1. 一个盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标有数$-1,1,2$.先任意摸出一个小球(不放回),将所标数记为$p$,再任意摸出另一个小球,将所标数记为$q$,则满足关于$x$的多项式$x^{2}+px+q$能在实数范围内因式分解的概率为 （）

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$

1. B 解析:由题意,得 $x^{2}+px+q=0$ 有实数解,则 $p^{2}-4q≥0$. 画树状图如下：

由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中满足关于$x$的多项式$x^{2}+px+q$能在实数范围内因式分解的结果有$(1,-1),(2,-1),(2,1)$,共3种,所以所求概率为$\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

2. 新素养 推理能力 一项“过关游戏”规定:在第$n$关要抛掷一枚骰子$n$次,若这$n$次抛掷所出现的点数之和大于$\dfrac{3^{n}}{4}$,则算过关;否则不算过关.给出下列说法:
① 过第一关是必然事件;
② 过第二关的概率是$\dfrac{35}{36}$;
③ 可以过第四关;
④ 过第五关的概率大于0.
其中正确的个数为（）

A.4
B.3
C.2
D.1

2. B 解析:当 $n=1$ 时,$\dfrac{3^{n}}{4}=\dfrac{3}{4}$,所以过第一关是必然事件,故①正确;当 $n=2$ 时,$\dfrac{3^{n}}{4}=\dfrac{9}{4}$.列表如下：
| 和 第二次
第一次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
由表格可知,共有36种等可能的结果,其中两次抛掷所出现的点数之和大于$\dfrac{9}{4}$的结果有35种,所以过第二关的概率是$\dfrac{35}{36}$,故②正确;当 $n=4$ 时,$\dfrac{3^{4}}{4}=20.25$. 因为 $6×4=24$,且 $24≥20.25$,所以可以过第四关,故③正确;当 $n=5$ 时,$\dfrac{3^{5}}{4}=60.75$. 因为 $6×5=30＜60.75$,所以过第五关的概率为0,故④错误.综上所述,其中正确说法的个数为 3.

3. 一个不透明的袋子中装有四个完全相同的小球,小球上分别标有数 $1,-1,-2,-3$, 从中任意摸出一个小球,把这个小球上的数作为一次函数 $y=kx+5$ 中 $k$ 的值,则得到的一次函数 $y=kx+5$ 的图象不经过第四象限的概率为.

3. $\dfrac{1}{4}$ 解析:因为一次函数 $y=kx+5$ 的图象不经过第四象限,所以 $k＞0$,所以 $P$(一次函数 $y=kx+5$ 的图象不经过第四象限)$=\dfrac{1}{4}$.

4. 如图是一个可以自由转动的圆形转盘,转盘按 $1:2:3:4$ 的比例分成A,B,C,D四个扇形区域,指针的位置固定,任意转动转盘一次,当转盘停止转动时(指针指向分界线时重转),指针恰好落在B区域的概率为.

4. $\dfrac{1}{5}$ 解析:由题意,得 $P$(指针恰好落在 B 区域)$=\dfrac{2}{1+2+3+4}=\dfrac{1}{5}$.

5. 如图,有一个可以自由转动的转盘,其盘面被分为4等份,在每一等份中分别标有数2,3,4,5.小明打算自由转动转盘10次,现已经转了8次,每一次转动停止后,小明将指针所指数记录如下表:

(1) 求前8次指针所指数的平均数;
(2) 小明继续转动转盘2次,判断是否可能出现“这10次指针所指数的平均数不小于3.3,且不大于3.5”的结果.若有可能,计算其概率;若不可能,说明理由.(指针指向盘面分界线视为无效转次)

5. (1) 由题意,得前 8 次指针所指数的平均数为 $\dfrac{1}{8}×(3+5+2+3+3+4+3+5)=3.5$.
(2) 可能. 因为这 10 次指针所指数的平均数不小于3.3,且不大于 3.5,所以这 10 次指针所指数之和应不小于 33,且不大于 35,而前 8 次指针所指数之和为 28,所以后 2 次指针所指数之和要满足不小于 33-28,且不大于 35-28,即第 9 次和第 10 次指针所指数之和不小于 5,且不大于 7. 画树状图如下：

由树状图可知,共有 16 种等可能的结果,其中所指数之和不小于 5,且不大于 7 的结果有 9 种,所以所求概率为$\dfrac{9}{16}$.