1. 若关于 $x$ 的分式方程 $\dfrac{a}{x+1}-3=\dfrac{1-x}{x+1}$ 有负数解,且关于 $y$ 的不等式组
$\begin{cases} 2(a-y)≤ -y-4,\\ \dfrac{3y+4}{2}＜y+1 \end{cases}$
无解,则符合条件的所有整数 $a$ 中正数的概率为（）

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{2}{7}$
D.$\dfrac{3}{7}$

解析:分式方程去分母,得$a-3x-3=1-x$,所以$2x=a-4$,所以$x=\dfrac{a-4}{2}$. 因为该分式方程有负数解,所以$\dfrac{a-4}{2}＜0$且$\dfrac{a-4}{2}≠ -1$,解得$a＜4$且$a≠ 2$.解不等式$2(a-y)≤ -y-4$,得$y≥ 2a+4$;解不等式$\dfrac{3y+4}{2}＜y+1$,得$y＜-2$.因为该不等式组无解,所以$2a+4≥ -2$,解得$a≥ -3$,所以$-3≤ a＜4$且$a≠ 2$,所以$a$可取的整数为$-3,-2,-1,0,1,3$,共6个,其中正数有2个,所以所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

2. 已知不等式组$\begin{cases} 3x+4＞x\ ①,\\ \dfrac{4}{3}x≤ x+\dfrac{2}{3}\ ②.\\ \end{cases}$
(1) 求该不等式组的解集,并写出它的所有整数解；
(2) 在该不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数.请用画树状图或列表的方法,求所取两个整数的积为正数的概率.

(1) 解不等式①,得$x＞-2$;解不等式②,得$x≤ 2$,所以原不等式组的解集为$-2＜x≤ 2$,所以原不等式组的所有整数解为$x=-1,0,1,2$.
(2) 画树状图如下:

由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中所取两个整数的积为正数的结果有2种,所以$P$(所取两个整数的积为正数)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.

3. 已知一次函数 $y=mx+n.$ 若 $m,n$ 是任意不为0的实数，则该一次函数的图象经过第一象限的概率是.

解析:画树状图如下:

由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中一次函数的图象经过第一象限的结果有3种(只有当$m＜0$,$n＜0$时,一次函数的图象不经过第一象限),所以$P$(该一次函数的图象经过第一象限)$=\dfrac{3}{4}$.

4. 如图,在$y$轴上取点$A(0,4)$,在$x$轴上取点$B_1(1,0),B_2(2,0),B_3(3,0),B_4(4,0),B_5(5,0),B_6(6,0)$,现从$AB_1,AB_2,···,AB_6$这6条直线中任取一条,则该直线与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点的概率是.

解析:设直线$AB_n(1≤ n≤ 6$,且$n$为整数)的函数表达式为$y=kx+b$.把点$A(0,4)$,$B_n(n,0)$分别代入$y=kx+b$,得$\begin{cases} b=4,\\ nk+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{4}{n},\\ b=4, \end{cases}$所以直线$AB_n$的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{n}x+4$.联立方程组$\begin{cases} y=-\dfrac{4}{n}x+4,\\ y=\dfrac{4}{x}, \end{cases}$得$x^2-nx+n=0$.因为直线$AB_n$与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象有两个交点,所以$n^2-4n＞0$,即$n(n-4)＞0$.因为$n＞0$,所以$n-4＞0$,解得$n＞4$.因为$n$为整数,所以$n=5$或6.验证可知,当$n=5$或6时,方程$x^2-nx+n=0$的两个不相等的实数根都是正数,所以所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

5. (2026·江苏连云港期末)4张相同的卡片上分别写有数-1,-3,4,6,将卡片的背面朝上,并洗匀.
(1)从中任意抽取1张,抽到的卡片上的数是奇数的概率为;
(2)从中任意抽取1张,并将所取卡片上的数记作一次函数$y=kx+b$中的k;再从余下的卡片中任意抽取1张,并将所取卡片上的数记作一次函数$y=kx+b$中的b.利用画树状图或列表的方法求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.

(1) $\dfrac{1}{2}$
(2) 画树状图如下:

由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中满足一次函数的图象经过第一、二、四象限,即$k＜0$,$b＞0$的结果有4种,所以所求概率为$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.