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1. 若方程$(m-1)x^{2}+\sqrt{m}x=1$是关于$x$的一元二次方程,则$m$的取值范围是 （
A.$m ≠ 1$
B.$m ≥ 0$
C.$m ≥ 0$且$m ≠ 1$
D.$m$为任意实数
C
）A.$m ≠ 1$
B.$m ≥ 0$
C.$m ≥ 0$且$m ≠ 1$
D.$m$为任意实数
答案
1. C 解析:由题意,得$m≥0$且$m≠1$.故$m$的取值范围是$m≥0$且$m≠1$.
2. (2026·江苏苏州月考) 已知关于 $x$ 的方程
$(m+1)x^{|4m|-2}+27mx+5=0$ 是一元二次方程, 则 $m=$
$(m+1)x^{|4m|-2}+27mx+5=0$ 是一元二次方程, 则 $m=$
1
.答案
2. 1 解析:由题意,得$|4m|-2=2$且$m+1≠0$,解得$m=1$.
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-3)x^2+x+m^2-9=0$ 的常数项为0 , 则 $m$ 的值为 （
A.0
B.3
C.$-3$
D.$-3$ 或 3
C
）A.0
B.3
C.$-3$
D.$-3$ 或 3
答案
3. C 解析:由题意,得$m^2-9=0$且$m-3≠0$,解得$m=-3$.
4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(x-1)^2+m(x-1)+n=0$ 化为一般式后为 $x^2-3x+8=0$,则一次函数 $y=mx+n$ 的图象不经过 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4. C 解析:因为$(x-1)^2+m(x-1)+n=0$,所以$x^2-(2 - m)x + (1 - m + n) = 0$. 由题意,得$\begin{cases}2-m=3,\\1-m+n=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=6,\end{cases}$所以一次函数$y=mx+n$即为$y=-x+6$,它的图象不经过第三象限.
5. 已知方程$(a-x)^{2}=a(x^{2}+x+a)-8 a+16$是关于$x$的一元二次方程.
(1) 求$a$的取值范围；
(2) 若该方程的一次项系数为0,求该方程的解.
(1) 求$a$的取值范围；
(2) 若该方程的一次项系数为0,求该方程的解.
答案
5. (1) 因为$(a-x)^{2}=a(x^{2}+x+a)-8a+16$,所以$(a-1)x^{2}+3ax-8a+16=0$,所以$a-1≠0$,解得$a≠1$.故$a$的取值范围为$a≠1$.
(2) 因为该方程的一次项系数为0,所以$a=0$,所以原方程即为$-x^{2}+16=0$.因为$(±4)^{2}=16$,所以$x_1=4$,$x_2=-4$.
(2) 因为该方程的一次项系数为0,所以$a=0$,所以原方程即为$-x^{2}+16=0$.因为$(±4)^{2}=16$,所以$x_1=4$,$x_2=-4$.
6. 已知关于$x$的一元二次方程$a(x-2)^2+ b(x-3)+c=0$化为一般形式后为$x^2-3x- 1=0$.
(1) 能否确定$a=1$? 请说明理由;
(2) 求代数式$\dfrac{a+2b-3c}{a-b+2c}$的值.
(1) 能否确定$a=1$? 请说明理由;
(2) 求代数式$\dfrac{a+2b-3c}{a-b+2c}$的值.
答案
6. (1) 不能确定$a=1$.理由如下:因为$a(x-2)^{2}+b(x-3)+c=0$,所以$ax^{2}-(4a-b)x+4a-3b+c=0$,该方程与方程$x^{2}-3x-1=0$的解相同,但不一定各项系数一致,如$a=2,b=2,c=-4$,所以不能确定$a=1$.
(2) 不妨设$\begin{cases}a=k,\\4a-b=3k,\\4a-3b+c=-k\end{cases}$(其中$k≠0$),解得$\begin{cases}a=k,\\b=k,\\c=-2k,\end{cases}$所以$\dfrac{a+2b-3c}{a-b+2c}=\dfrac{k+2k+6k}{k-k-4k}=-\dfrac{9}{4}$.
(2) 不妨设$\begin{cases}a=k,\\4a-b=3k,\\4a-3b+c=-k\end{cases}$(其中$k≠0$),解得$\begin{cases}a=k,\\b=k,\\c=-2k,\end{cases}$所以$\dfrac{a+2b-3c}{a-b+2c}=\dfrac{k+2k+6k}{k-k-4k}=-\dfrac{9}{4}$.
7. 已知三个关于x的一元二次方程
$a x^{2}+b x+c=0, b x^{2}+c x+a=0,$
$c x^{2}+a x+b=0$恰有一个公共实数根,则代数式$\dfrac{a^{2}}{b c}+\dfrac{b^{2}}{c a}+\dfrac{c^{2}}{a b}$的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
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$a x^{2}+b x+c=0, b x^{2}+c x+a=0,$
$c x^{2}+a x+b=0$恰有一个公共实数根,则代数式$\dfrac{a^{2}}{b c}+\dfrac{b^{2}}{c a}+\dfrac{c^{2}}{a b}$的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
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答案
7. D 解析:设方程$ax^{2}+bx+c=0$,$bx^{2}+cx+a=0$,$cx^{2}+ax+b=0$的公共实数根为$m$,则$am^{2}+bm+c=0$①,$bm^{2}+cm+a=0$②,$cm^{2}+am+b=0$③. ①+②+③,得$(a+b+c)(m^{2}+m+1)=0$. 因为$m^{2}+m+1=(m+\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{3}{4}＞0$,所以$a+b+c=0$,所以$a+b=-c$,所以$\dfrac{a^{2}}{bc}+\dfrac{b^{2}}{ca}+\dfrac{c^{2}}{ab}=\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}=\dfrac{a^{3}+b^{3}-(a+b)^{3}}{abc}=\dfrac{-3ab(a+b)}{abc}=-\dfrac{3(a+b)}{c}=3$.
8. 若$x = -1$是关于$x$的一元二次方程$ax^{2} - bx - 2\ 026 = 0$的一个解，则代数式$\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a - b}$的值为
2 026
.答案
8. 2 026 解析:把$x=-1$代入$ax^{2}-bx-2\ 026=0$,得$a+b-2\ 026=0$,所以$a+b=2\ 026$,所以$\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=a+b=2\ 026$.
9. 已知 $a,b$ 是有理数，且方程 $x^2+ax+b=0$ 的一根是 $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ , 则 $\dfrac{a^2+b^2}{ab}=$
-2
.答案
9. -2 解析:因为$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^{2}-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1)^{2}$,所以$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$. 把$x=\sqrt{3}-1$代入$x^{2}+ax+b=0$,得$4-2\sqrt{3}+a(\sqrt{3}-1)+b=0$,即$(a-2)\sqrt{3}+4-a+b=0$. 因为$a,b$是有理数,所以$\begin{cases}a-2=0,\\4-a+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=-2,\end{cases}$所以$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\dfrac{2^{2}+(-2)^{2}}{2×(-2)}=-2$.
10. 新素养 推理能力 是否存在某个实数m,使得方程$x^{2}+mx+2=0$和$x^{2}+2x+m=0$有且只有一个公共根？若存在,求出这个实数m及两个方程的公共根;若不存在,请说明理由.
答案
10. 设方程$x^{2}+mx+2=0$和$x^{2}+2x+m=0$的公共根为$a$,则$a^{2}+ma+2=0$①,$a^{2}+2a+m=0$②. ①-②,得$(m-2)a=m-2$. 由题意,得$m≠2$,所以$a=1$. 把$a=1$代入$x^{2}+mx+2=0$,得$1+m+2=0$,解得$m=-3$. 故当$m=-3$时,两个方程有且只有一个公共根,且这个公共根为1.
