10. 观察下列关于$x$的一元二次方程：
① $x^{2}-2x+1=0$；
② $x^{2}-3x+2=0$；
③ $x^{2}-4x+3=0$；
④ $x^{2}-5x+4=0$；
……
根据观察到的规律,写出第⑩个一元二次方程:.

$x^2-11x+10=0$ 解析:观察可知第$n$个一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为$-(n+1)$,常数项为$n$。

11. 如图,在一块长为22 m、宽为17 m的矩形地面ABCD上,要修建一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK,剩余部分铺上草坪,使草坪面积为$300\ \mathrm{m}^2$.若$LM = RS = x\ \mathrm{m}$,则根据题意可列方程为.

$(22-x)(17-x)=300$ 解析:通过平移可得草坪的面积为$(22-x)(17-x)\ \mathrm{m}^2$,所以可列方程为$(22-x)(17-x)=300$。

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+ax+1=0$
$(a ≠ -1)$ 和 $x^2-x-a=0$ 有一个公共解，则
$a=$。

2 解析:因为关于$x$的一元二次方程$x^2+ax+1=0$和$x^2-x-a=0$有一个公共解,所以$x^2+ax+1=x^2-x-a$,即$(a+1)x=-(a+1)$。因为$a≠-1$,所以$a+1≠0$,所以公共解是$x=-1$。把$x=-1$代入$x^2+ax+1=0$,得$1-a+1=0$,解得$a=2$。

13. (2026·江苏无锡期末)已知关于 $x$ 的方程
$(m-1) x^{m^{2}+1}+(m-2) x-1=0.$
(1) 若该方程是一元二次方程,求 $m$ 的值;
(2) 若该方程是一元一次方程,则 $m$ 的值是否存在? 若存在,请求出 $m$ 的值,并求出该方程的解;若不存在,请说明理由.

(1) 由题意,得$\begin{cases}m^2+1=2,\\m-1≠0,\end{cases}$解得$m=-1$。
(2) 存在。分三种情况讨论:① 当$m^2+1=1$且$(m-1)+(m-2)≠0$时,解得$m=0$,则原方程即为$-3x-1=0$,解得$x=-\frac{1}{3}$;② 当$m-1=0$且$m-2≠0$时,解得$m=1$,则原方程即为$-x-1=0$,解得$x=-1$;③ 当$m^2+1=0$且$m-2≠0$时,不存在这样的$m$的值。综上所述,$m$的值为0或1,对应方程的解分别为$x=-\frac{1}{3}$,$x=-1$。

14. 亮点原创 已知$m$是方程$x^{2}+x-2026=0$的一个根，则代数式$\dfrac{2}{m^{2}-1}-\dfrac{1}{m^{2}-m}$的值为（）

A.$2\ 025$
B.$2\ 026$
C.$\dfrac{1}{2\ 025}$
D.$\dfrac{1}{2\ 026}$

D 解析:因为$m$是方程$x^2+x-2026=0$的一个根,所以$m^2+m-2026=0$,所以$m^2+m=2026$,所以原式$=\frac{2m}{m(m+1)(m-1)}-\frac{m+1}{m(m+1)(m-1)}=\frac{2m-m-1}{m(m+1)(m-1)}=\frac{1}{m^2+m}=\frac{1}{2026}$。

15. 新素养 抽象能力 对于任意实数$a,b$，定义新运算“$*$”：$a*b=a(2b-1)$。若$m,n$都是关于$x$的方程$2x^{2}-x+k=0$的根，则$m*m-n*n=$。

0 解析:因为$m,n$都是关于$x$的方程$2x^2-x+k=0$的根,所以$2m^2-m+k=0,2n^2-n+k=0$,所以$2m^2-m=-k,2n^2-n=-k$,所以$m*m-n*n=m(2m-1)-n(2n-1)=2m^2-m-(2n^2-n)=-k-(-k)=0$。

16. 【阅读材料】
已知方程 $x^2+x-1=0$,求一个关于 $y$ 的一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:由题意,得 $y=2x$,所以 $x=\dfrac{y}{2}$. 把 $x=\dfrac{y}{2}$ 代入方程 $x^2+x-1=0$,得 $(\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{y}{2}-1=0$. 化简,得 $y^2+2y-4=0$. 故所求方程为 $y^2+2y-4=0$. 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称之为“换根法”.
【解决问题】
(1) 已知一元二次方程 $x^2+x-2=0$,求一个关于 $y$ 的一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求的方程为;
(2) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 有两个不等于零的实数根,求一个关于 $y$ 的一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

(1) $y^2-y-2=0$
(2) 由题意,得$y=\frac{1}{x}(x≠0)$,所以$x=\frac{1}{y}(y≠0)$。把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^2+bx+c=0$,得$a(\frac{1}{y})^2+b·\frac{1}{y}+c=0$。去分母,得$a+by+cy^2=0$。若$c=0$,则$ax^2+bx=0$,即$x(ax+b)=0$,可得有一个解为$x=0$,不合题意,所以$c≠0$。故所求方程为$cy^2+by+a=0$。