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1. (2025·青海改编)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+c=0$的一个根为1,则$c$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-3)x^2+$ $m^2x=9x+5$ 化为一般形式后不含一次项，则$m$ 的值为（
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
D 解析:一元二次方程$(m-3)x^2+m^2x=9x+5$化为一般形式后为$(m-3)x^2+(m^2-9)x-5=0$。因为该方程不含一次项,所以$m^2-9=0$,所以$m^2=9$。因为$(±3)^2=9$,所以$m=±3$。因为$m-3≠0$,所以$m≠3$,所以$m$的值为$-3$。
易错警示
一元二次方程的二次项系数不为0。
易错警示
一元二次方程的二次项系数不为0。
3. (教材习题变式) 一元二次方程 $3x^{2}-2x-5=$ 0 的二次项系数为
3
，一次项系数为-2
，常数项为-5
.答案
3 -2 -5
4. (2023·山东枣庄) 若 $x=3$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 - bx = 6$ 的解，则代数式$2023 - 6a + 2b$ 的值为
2019
.答案
2019
5. 新素养 应用意识 根据题意列方程：
(1) 在某次聚会上,任意两个人都握一次手，$x$ 个人共握手 10 次；
(2) 某纪念品的原价为 150 元,连续两次降价$a\%$后的售价为 96 元；
(3) 如图,一架 5 m 长的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是 3 m. 现改变梯子的位置,使梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离都为 $x$ m.
(1) 在某次聚会上,任意两个人都握一次手，$x$ 个人共握手 10 次；
(2) 某纪念品的原价为 150 元,连续两次降价$a\%$后的售价为 96 元；
(3) 如图,一架 5 m 长的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是 3 m. 现改变梯子的位置,使梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离都为 $x$ m.
答案
(1) 可列方程$\frac{x(x-1)}{2}=10$。
(2) 可列方程$150(1-a\%)^2=96$。
(3) 可列方程$(4-x)^2+(3+x)^2=25$。
(2) 可列方程$150(1-a\%)^2=96$。
(3) 可列方程$(4-x)^2+(3+x)^2=25$。
6. (2026·江苏南京期中)若关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2+nx-1=0$ 的一个根是 1,则 $m+n$ 的值为（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
C 解析:把$x=1$代入$mx^2+nx-1=0$,得$m+n-1=0$,所以$m+n=1$。
7. 若 $a x^{2}-5 x+3=0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程,且 $a$ 满足不等式 $3 a+6＞0$,则 $a$ 的取值范围是（
A.$a＞-2$
B.$a＞-2$ 且 $a ≠ 0$
C.$a＞-\dfrac{1}{2}$
D.$a＜-2$
B
）A.$a＞-2$
B.$a＞-2$ 且 $a ≠ 0$
C.$a＞-\dfrac{1}{2}$
D.$a＜-2$
答案
B 解析:解不等式$3a+6＞0$,得$a＞-2$。又$a≠0$,所以$a$的取值范围是$a＞-2$且$a≠0$。
8. 新趋势 传统文化 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$x$株，则符合题意的方程是（
A.$3(x-1)x=6\ 210$
B.$3(x-1)=6\ 210$
C.$(3x-1)x=6\ 210$
D.$3x=6\ 210$
A
）A.$3(x-1)x=6\ 210$
B.$3(x-1)=6\ 210$
C.$(3x-1)x=6\ 210$
D.$3x=6\ 210$
答案
A 解析:根据题意列方程即可。
9. 已知关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$. 若$x=1$ 是它的一个解, 则 $a+b+c=$
0
; 若$a-b+c=0$, 则该方程必有一解是 x=-1
.答案
0 $x=-1$ 解析:把$x=1$代入$ax^2+bx+c=0$,得$a+b+c=0$。因为$a-b+c=0$,所以$a×(-1)^2+b×(-1)+c=0$,所以该方程必有一解是$x=-1$。
