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三、解答题(本题有8小题,共72分,各小题都必须写出解答过程)
17.(8分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-2}+(-1)^{3}-(π - 3.14)^{0}$。
17.(8分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-2}+(-1)^{3}-(π - 3.14)^{0}$。
答案
原式$=4+(-1)-1=2$。
解析
【分析】
本题是有理数的混合运算，需分别计算负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂这三项，再将结果进行加减运算。首先回忆相关运算法则：负整数指数幂法则为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，据此计算$(\frac{1}{2})^{-2}$；有理数的乘方中，$-1$的奇数次方为$-1$；零指数幂法则为$a^0=1(a≠0)$，据此计算$(π - 3.14)^0$，最后合并结果即可。
【解析】
解：原式$=4 + (-1) - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方运算
【点评】
本题考查基础的幂运算与有理数加减运算，属于常规基础计算题，需牢记负整数指数幂、零指数幂的运算法则，注意符号处理，是学生应熟练掌握的题型。
【难度系数】
0.8
本题是有理数的混合运算，需分别计算负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂这三项，再将结果进行加减运算。首先回忆相关运算法则：负整数指数幂法则为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，据此计算$(\frac{1}{2})^{-2}$；有理数的乘方中，$-1$的奇数次方为$-1$；零指数幂法则为$a^0=1(a≠0)$，据此计算$(π - 3.14)^0$，最后合并结果即可。
【解析】
解：原式$=4 + (-1) - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方运算
【点评】
本题考查基础的幂运算与有理数加减运算，属于常规基础计算题，需牢记负整数指数幂、零指数幂的运算法则，注意符号处理，是学生应熟练掌握的题型。
【难度系数】
0.8
18.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$。
(1)$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$。
答案
(1)$\begin{cases}2x+y=7,①\\2x-3y=3,②\end{cases}$ ①−②，得$4y=4$，解得$y=1$，把$y=1$代入①，得$2x+1=7$，解得$x=3$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=1。\end{cases}$
(2)方程两边同时乘$(x-1)$，得$2=-x-(x-1)$，去括号，得$2=-x-x+1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，把$x=-\frac{1}{2}$代入$x-1≠0$，所以分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
(2)方程两边同时乘$(x-1)$，得$2=-x-(x-1)$，去括号，得$2=-x-x+1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，把$x=-\frac{1}{2}$代入$x-1≠0$，所以分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问是二元一次方程组，观察到两个方程中x的系数相同，可采用加减消元法消去x，先求出y的值，再代入方程求x；第(2)问是分式方程，需先将分式方程转化为整式方程求解，且分式方程必须检验解是否使分母为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} 2x + y = 7,① \\ 2x - 3y = 3;② \end{cases}$
用① - ②消去x：$(2x + y) - (2x - 3y) = 7 - 3$，
化简得：$4y = 4$，解得$y = 1$；
把$y = 1$代入①式：$2x + 1 = 7$，解得$x = 3$；
因此方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$，
注意到$1 - x = -(x - 1)$，方程两边同时乘最简公分母$(x - 1)$（需保证$x ≠ 1$），得：
$2 = -x - (x - 1)$，
去括号：$2 = -x - x + 1$，
合并同类项：$2 = -2x + 1$，
移项得：$2x = 1 - 2$，即$2x = -1$，解得$x = -\dfrac{1}{2}$；
检验：把$x = -\dfrac{1}{2}$代入$x - 1 = -\dfrac{3}{2} ≠ 0$，符合分母不为0的要求，
因此分式方程的解为$x = -\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=3,\\y=1;\end{cases}$
(2)$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为初中数学基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验增根，是学生需熟练掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.7
本题包含两小问，第(1)问是二元一次方程组，观察到两个方程中x的系数相同，可采用加减消元法消去x，先求出y的值，再代入方程求x；第(2)问是分式方程，需先将分式方程转化为整式方程求解，且分式方程必须检验解是否使分母为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} 2x + y = 7,① \\ 2x - 3y = 3;② \end{cases}$
用① - ②消去x：$(2x + y) - (2x - 3y) = 7 - 3$，
化简得：$4y = 4$，解得$y = 1$；
把$y = 1$代入①式：$2x + 1 = 7$，解得$x = 3$；
因此方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$，
注意到$1 - x = -(x - 1)$，方程两边同时乘最简公分母$(x - 1)$（需保证$x ≠ 1$），得：
$2 = -x - (x - 1)$，
去括号：$2 = -x - x + 1$，
合并同类项：$2 = -2x + 1$，
移项得：$2x = 1 - 2$，即$2x = -1$，解得$x = -\dfrac{1}{2}$；
检验：把$x = -\dfrac{1}{2}$代入$x - 1 = -\dfrac{3}{2} ≠ 0$，符合分母不为0的要求，
因此分式方程的解为$x = -\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=3,\\y=1;\end{cases}$
(2)$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为初中数学基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验增根，是学生需熟练掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.7
19.(8分)某小区有一块长为$(x+2y)$米、宽为$(2x+y)$米的长方形空地,现要美化这块空地,在上面修建如图所示的“T”型花圃(阴影部分),在花圃内种花草。
(1)求“T”型花圃的面积(用含$x,y$的式子表示)。
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”型花圃的面积。
(1)求“T”型花圃的面积(用含$x,y$的式子表示)。
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”型花圃的面积。
答案
(1)“T”型花圃的面积为$(2x+y)(x+2y)-2y^2=2x^2+4xy+xy+2y^2-2y^2=(2x^2+5xy)$平方米。
(2)当$x=3,y=8$时，“T”型花圃的面积为$2×3^2+5×3×8=2×9+5×3×8=18+120=138$(平方米)。
(2)当$x=3,y=8$时，“T”型花圃的面积为$2×3^2+5×3×8=2×9+5×3×8=18+120=138$(平方米)。
解析
【分析】
要计算“T”型花圃的面积，采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，得到花圃面积，最后化简代数式并代入数值计算具体结果。
【解析】
(1) 长方形空地的长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，根据长方形面积公式，其面积为：
$(2x+y)(x+2y)=2x· x +2x·2y + y· x + y·2y=2x^2+4xy+xy+2y^2=2x^2+5xy+2y^2$（平方米）
空白部分是2个边长为$y$的正方形，总面积为$2y^2$平方米。
因此，“T”型花圃的面积为：
$2x^2+5xy+2y^2 -2y^2=2x^2+5xy$（平方米）
(2) 当$x=3$，$y=8$时，代入$2x^2+5xy$计算：
$2×3^2 +5×3×8=2×9 +120=18+120=138$（平方米）
【答案】
(1) $(2x^2+5xy)$平方米；(2) 138平方米
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、面积计算
【点评】
本题通过“整体减空白”法求组合图形面积，核心是掌握长方形、正方形面积公式及多项式乘多项式运算，属于整式应用的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算“T”型花圃的面积，采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，得到花圃面积，最后化简代数式并代入数值计算具体结果。
【解析】
(1) 长方形空地的长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，根据长方形面积公式，其面积为：
$(2x+y)(x+2y)=2x· x +2x·2y + y· x + y·2y=2x^2+4xy+xy+2y^2=2x^2+5xy+2y^2$（平方米）
空白部分是2个边长为$y$的正方形，总面积为$2y^2$平方米。
因此，“T”型花圃的面积为：
$2x^2+5xy+2y^2 -2y^2=2x^2+5xy$（平方米）
(2) 当$x=3$，$y=8$时，代入$2x^2+5xy$计算：
$2×3^2 +5×3×8=2×9 +120=18+120=138$（平方米）
【答案】
(1) $(2x^2+5xy)$平方米；(2) 138平方米
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、面积计算
【点评】
本题通过“整体减空白”法求组合图形面积，核心是掌握长方形、正方形面积公式及多项式乘多项式运算，属于整式应用的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
