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8. 如图，$AB// CD$，直线$EF$分别与$AB,CD$交于点$E,F$，$FG$平分$∠ EFD$交$AB$于点$G$，$∠ FGB=154°$，则$∠ AEF$的度数等于 （
A.$26°$
B.$52°$
C.$54°$
D.$77°$
B
）A.$26°$
B.$52°$
C.$54°$
D.$77°$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质和角平分线的定义逐步推导：首先利用平行线同旁内角互补求出∠GFD的度数，再通过角平分线定义得到∠EFD的度数，最后利用平行线内错角相等得出∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠FGB + ∠GFD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠FGB=154°（已知），
∴ ∠GFD = 180° - 154° = 26°，
∵ FG平分∠EFD（已知），
∴ ∠EFD = 2∠GFD = 2×26° = 52°，
又
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF=52°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线性质与角平分线的综合应用，解题核心是熟练运用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，结合角平分线的定义推导角度，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行线的性质和角平分线的定义逐步推导：首先利用平行线同旁内角互补求出∠GFD的度数，再通过角平分线定义得到∠EFD的度数，最后利用平行线内错角相等得出∠AEF的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠FGB + ∠GFD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠FGB=154°（已知），
∴ ∠GFD = 180° - 154° = 26°，
∵ FG平分∠EFD（已知），
∴ ∠EFD = 2∠GFD = 2×26° = 52°，
又
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF=52°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线性质与角平分线的综合应用，解题核心是熟练运用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，结合角平分线的定义推导角度，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
9. 如图,在一次数学实践活动课上,某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠。折痕分别为AB,CD,若$CD // BE$,且$∠ ABC = 3∠ EBC$,则$∠ 1$的度数为……………（
A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
A
）A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
A 解析:由折叠可知，$2∠ABE + ∠CBE = 180°$，因为$∠ABC=3∠EBC$，$∠ABC=∠ABE+∠CBE$，所以$∠ABE=2∠CBE$，所以$4∠CBE+∠CBE=180°$，所以$∠CBE=36°$，因为$BE// CD$，所以$∠BCD=180°-∠CBE=144°$，由折叠可知，$2(144°-∠1)+∠1=180°$，所以$∠1=108°$，故选A。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合折叠的性质和平行线的性质逐步推导角度关系：首先根据折叠的性质，找到折痕AB对应的角的关系，结合已知∠ABC=3∠EBC，求出∠EBC的度数；再利用CD//BE，根据平行线同旁内角互补得到∠BCD的度数；最后根据折痕CD的折叠性质，建立关于∠1的方程，求解得到∠1的度数。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，平角∠ABE + ∠ABC = 180°，而∠ABC = ∠ABE + ∠EBC，结合已知∠ABC = 3∠EBC，可得∠ABE = 2∠EBC。
2. 将∠ABE = 2∠EBC代入∠ABE + ∠ABC = 180°，即2∠EBC + 3∠EBC = 180°，解得∠EBC = 36°。
3. 因为CD//BE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠BCD + ∠EBC = 180°，则∠BCD = 180° - 36° = 144°。
4. 再由折叠的性质，折痕CD对应的角度关系为2(∠BCD - ∠1) + ∠1 = 180°，将∠BCD=144°代入得：2(144° - ∠1) + ∠1 = 180°，展开计算：288° - 2∠1 + ∠1 = 180°，即288° - ∠1 = 180°，解得∠1 = 108°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角度计算
【点评】
本题综合考查折叠性质与平行线性质，需要理清折叠前后的角度等量关系，结合平行线性质建立角度联系，逐步推导求解，是典型的几何角度计算问题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合折叠的性质和平行线的性质逐步推导角度关系：首先根据折叠的性质，找到折痕AB对应的角的关系，结合已知∠ABC=3∠EBC，求出∠EBC的度数；再利用CD//BE，根据平行线同旁内角互补得到∠BCD的度数；最后根据折痕CD的折叠性质，建立关于∠1的方程，求解得到∠1的度数。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，平角∠ABE + ∠ABC = 180°，而∠ABC = ∠ABE + ∠EBC，结合已知∠ABC = 3∠EBC，可得∠ABE = 2∠EBC。
2. 将∠ABE = 2∠EBC代入∠ABE + ∠ABC = 180°，即2∠EBC + 3∠EBC = 180°，解得∠EBC = 36°。
3. 因为CD//BE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠BCD + ∠EBC = 180°，则∠BCD = 180° - 36° = 144°。
4. 再由折叠的性质，折痕CD对应的角度关系为2(∠BCD - ∠1) + ∠1 = 180°，将∠BCD=144°代入得：2(144° - ∠1) + ∠1 = 180°，展开计算：288° - 2∠1 + ∠1 = 180°，即288° - ∠1 = 180°，解得∠1 = 108°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角度计算
【点评】
本题综合考查折叠性质与平行线性质，需要理清折叠前后的角度等量关系，结合平行线性质建立角度联系，逐步推导求解，是典型的几何角度计算问题。
【难度系数】
0.5
10.如图,正方形ABCD,E为CD延长线上一点,以CE为边向右作正方形CEFG,连结AE,AG,EG。若要求出$△ AEG$的面积,只需知道……………………（
A.AB 的长
B.AG 的长
C.AE 的长
D.CG 的长
D
）A.AB 的长
B.AG 的长
C.AE 的长
D.CG 的长
答案
D 解析:设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，所以$AB=BC=CD=a$，$CG=CE=b$，所以$BG=BC+CG=a+b$，所以$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}BG· AB=\frac{1}{2}(a+b)a$，$S_{△ CGE}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}b^2$，又因为$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}(AB+CE)· BC=\frac{1}{2}(a+b)a$，所以$S_{△ AEG}=S_{梯形ABCE}+S_{△ CGE}-S_{△ ABG}=\frac{1}{2}(a+b)a+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}(a+b)a=\frac{1}{2}b^2$，所以若要求出三角形AEG的面积，只需知道CG的长。故选D。
解析
【分析】
要计算△AEG的面积，可采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差来推导。先设两个正方形的边长，分别表示相关图形的面积，通过面积的加减运算，得到△AEG面积的表达式，再判断该表达式与哪个选项的量相关，从而确定答案。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，则$AB=BC=CD=a$，$CG=CE=b$。
1. 计算各相关图形的面积：
$BG = BC + CG = a + b$，因此$S_{△ABG}=\frac{1}{2}×BG×AB=\frac{1}{2}(a+b)a$；
$S_{△CGE}=\frac{1}{2}×CG×CE=\frac{1}{2}b^2$；
梯形ABCE的面积：$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}×(AB+CE)×BC=\frac{1}{2}(a+b)a$；
2. 用割补法求△AEG的面积：
$S_{△AEG}=S_{梯形ABCE}+S_{△CGE}-S_{△ABG}$，代入上述面积表达式：
$S_{△AEG}=\frac{1}{2}(a+b)a + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}(a+b)a=\frac{1}{2}b^2$；
由于$b=CG$，所以只要知道CG的长，就能求出△AEG的面积。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形面积的和差，简化了计算过程，核心是推导△AEG面积的表达式与已知量的关系，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.5
要计算△AEG的面积，可采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差来推导。先设两个正方形的边长，分别表示相关图形的面积，通过面积的加减运算，得到△AEG面积的表达式，再判断该表达式与哪个选项的量相关，从而确定答案。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，则$AB=BC=CD=a$，$CG=CE=b$。
1. 计算各相关图形的面积：
$BG = BC + CG = a + b$，因此$S_{△ABG}=\frac{1}{2}×BG×AB=\frac{1}{2}(a+b)a$；
$S_{△CGE}=\frac{1}{2}×CG×CE=\frac{1}{2}b^2$；
梯形ABCE的面积：$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}×(AB+CE)×BC=\frac{1}{2}(a+b)a$；
2. 用割补法求△AEG的面积：
$S_{△AEG}=S_{梯形ABCE}+S_{△CGE}-S_{△ABG}$，代入上述面积表达式：
$S_{△AEG}=\frac{1}{2}(a+b)a + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}(a+b)a=\frac{1}{2}b^2$；
由于$b=CG$，所以只要知道CG的长，就能求出△AEG的面积。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形面积的和差，简化了计算过程，核心是推导△AEG面积的表达式与已知量的关系，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.5
11.若分式$\frac{3}{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是________。
答案
x≠1
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，需牢记分式的基本性质：分式有意义的前提是分母不能为0。对于给定的分式$\frac{3}{x-1}$，其分母为$x-1$，因此只需保证分母$x-1≠0$，即可让该分式有意义，据此列出不等式求解即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得$x-1≠0$，解此不等式得$x≠1$。
【答案】
x≠1
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基本条件，属于代数基础题型，难度较低，只需准确掌握分式的概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，需牢记分式的基本性质：分式有意义的前提是分母不能为0。对于给定的分式$\frac{3}{x-1}$，其分母为$x-1$，因此只需保证分母$x-1≠0$，即可让该分式有意义，据此列出不等式求解即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得$x-1≠0$，解此不等式得$x≠1$。
【答案】
x≠1
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基本条件，属于代数基础题型，难度较低，只需准确掌握分式的概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
12.分解因式:$3a - a^2 = \underline{\hspace{10cm}}$。
答案
a(3−a)
解析
【分析】分解因式时，先观察多项式各项是否存在公因式，本题中多项式$3a - a^2$的两项都含有公因式$a$，因此可通过提取公因式的方法完成因式分解。
【解析】解：提取多项式$3a - a^2$的公因式$a$，可得：
$3a - a^2 = a · 3 - a · a = a(3 - a)$
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是基础因式分解题，直接考查提公因式法的基本应用，属于因式分解的入门题型，侧重巩固基础方法。
【难度系数】0.9
【解析】解：提取多项式$3a - a^2$的公因式$a$，可得：
$3a - a^2 = a · 3 - a · a = a(3 - a)$
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是基础因式分解题，直接考查提公因式法的基本应用，属于因式分解的入门题型，侧重巩固基础方法。
【难度系数】0.9
13. 已知$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，则$\frac{a}{a+b}=$______。
答案
$\frac{4}{9}$
解析
【分析】已知两个数的比值，求相关分式的值，可采用设参数法简化计算。根据$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$），则$b=5k$，将其代入所求分式，k会约去，即可快速得到结果。
【解析】解：由$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$），则$b=5k$。
将$a=4k$，$b=5k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{4k}{4k+5k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$（$k≠0$，k可约去）。
【答案】$\frac{4}{9}$
【知识点】比例的性质，代数式求值
【点评】本题是比例相关的基础计算题，通过设参数的方法简化了分式运算，思路清晰，是代数部分的常见基础题型，适合巩固比例的应用。
【难度系数】0.8
【解析】解：由$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$），则$b=5k$。
将$a=4k$，$b=5k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{4k}{4k+5k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$（$k≠0$，k可约去）。
【答案】$\frac{4}{9}$
【知识点】比例的性质，代数式求值
【点评】本题是比例相关的基础计算题，通过设参数的方法简化了分式运算，思路清晰，是代数部分的常见基础题型，适合巩固比例的应用。
【难度系数】0.8
14.(改编)如图,小明在走廊上看到一个“安全出口”标志,他从中抽象出这样一个数学图形,其中$AB// DG,AE// CF,∠BAC=50°,∠CDG=70°,∠EAC=80°$,则$∠DCF=$
20°
。答案
20°
解析
【分析】要解决这个问题，需利用平行线的性质推导角度关系：先通过作辅助线结合平行线内错角相等求出∠ACD的度数，再根据平行线同旁内角互补求出∠ACF的度数，最后通过角度差计算出∠DCF。
【解析】解：过点C作$CM// AB$，
$\because AB// DG$，
$\therefore CM// DG$（平行于同一直线的两条直线平行）。
$\therefore ∠ BAC=∠ ACM$（两直线平行，内错角相等），
$∠ CDG=∠ DCM$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ ACD=∠ ACM+∠ DCM=∠ BAC+∠ CDG=50°+70°=120°$。
又$\because AE// CF$，
$\therefore ∠ EAC+∠ ACF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ EAC=80°$，
$\therefore ∠ ACF=180°-80°=100°$。
$\therefore ∠ DCF=∠ ACD-∠ ACF=120°-100°=20°$。
【答案】$20°$
【知识点】平行线的性质
【点评】本题考查平行线性质的应用，通过作辅助线拆分角度，利用平行线的内错角、同旁内角关系计算，属于基础几何角度题，难度适中。
【难度系数】0.4
【解析】解：过点C作$CM// AB$，
$\because AB// DG$，
$\therefore CM// DG$（平行于同一直线的两条直线平行）。
$\therefore ∠ BAC=∠ ACM$（两直线平行，内错角相等），
$∠ CDG=∠ DCM$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ ACD=∠ ACM+∠ DCM=∠ BAC+∠ CDG=50°+70°=120°$。
又$\because AE// CF$，
$\therefore ∠ EAC+∠ ACF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ EAC=80°$，
$\therefore ∠ ACF=180°-80°=100°$。
$\therefore ∠ DCF=∠ ACD-∠ ACF=120°-100°=20°$。
【答案】$20°$
【知识点】平行线的性质
【点评】本题考查平行线性质的应用，通过作辅助线拆分角度，利用平行线的内错角、同旁内角关系计算，属于基础几何角度题，难度适中。
【难度系数】0.4
15.若 $ 8^x · 2^y = 16 $，则 $ 3x + y = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
4 解析:因为$8^x·2^y=16$，所以$(2^3)^x·2^y=16$，所以$2^{3x}·2^y=16$，所以$2^{3x+y}=2^4$，所以$3x+y=4$，故答案为4。
解析
【分析】观察等式中的底数8、2、16，均能转化为以2为底的幂，利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则将等式左边化简为同底数幂形式，再根据“同底数幂相等时指数相等”的性质，即可求出$3x+y$的值。
【解析】因为$8^x·2^y = 16$，将各数转化为以2为底的幂：$8=2^3$，$16=2^4$，则原式变形为$(2^3)^x·2^y = 2^4$。根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，左边化简为$2^{3x}·2^y$；再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，进一步化简为$2^{3x+y}$。此时等式为$2^{3x+y}=2^4$，由于同底数幂相等时指数相等，因此$3x+y=4$。
【答案】4
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘法、指数相等性质
【点评】本题考查幂的运算性质，核心是统一底数进行化简，属于基础题型，掌握基本运算法则即可解答。
【难度系数】0.7
【解析】因为$8^x·2^y = 16$，将各数转化为以2为底的幂：$8=2^3$，$16=2^4$，则原式变形为$(2^3)^x·2^y = 2^4$。根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，左边化简为$2^{3x}·2^y$；再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，进一步化简为$2^{3x+y}$。此时等式为$2^{3x+y}=2^4$，由于同底数幂相等时指数相等，因此$3x+y=4$。
【答案】4
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘法、指数相等性质
【点评】本题考查幂的运算性质，核心是统一底数进行化简，属于基础题型，掌握基本运算法则即可解答。
【难度系数】0.7
16.“九宫图”又称“龟背图”。数学上的“九宫图”所体现的是一个$3×3$表格，每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等，也称为三阶幻方。如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则$x$的值为________。
答案
2 解析:设第二行第二个方格中的数为a，第一行第二个方格中的数为$2a+4$，则第二行第一个方格中的数为$2a-8$，第三行第三个方格中的数为$2a-x$，根据题意得$x+2a-8=-4+2a-x$，即$x-8=-4-x$，解得$x=2$，所以x的值为2。故答案为2。
解析
【分析】
要解决这个三阶幻方问题，需利用“每行、每列、斜对角三个数之和相等”的核心性质。首先设第二行中间的数为参数$a$，根据幻方的和相等可推导其他位置数与$a$的关系，再找到包含未知数$x$的等式，消去参数$a$后转化为一元一次方程，即可求出$x$的值。
【解析】
设第二行中间方格中的数为$a$，根据三阶幻方每行的和相等，第二行的和为$(2a - 8) + a + 8 = 2a$，即每行的和为$2a$。
根据幻方的和相等，第一列三个数的和等于第三行三个数的和，可列出等式：
$x + (2a - 8) = -4 + (2a - x)$
化简等式：
$x + 2a - 8 = -4 + 2a - x$
两边同时减去$2a$，得：
$x - 8 = -4 - x$
移项合并同类项：
$2x = 4$
解得：$x = 2$
【答案】
2
【知识点】
三阶幻方、一元一次方程
【点评】
本题考查三阶幻方的性质，核心是利用幻方中各行列、对角线和相等的特点，通过设参数简化计算，消去参数后转化为一元一次方程求解，是幻方问题的基础应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个三阶幻方问题，需利用“每行、每列、斜对角三个数之和相等”的核心性质。首先设第二行中间的数为参数$a$，根据幻方的和相等可推导其他位置数与$a$的关系，再找到包含未知数$x$的等式，消去参数$a$后转化为一元一次方程，即可求出$x$的值。
【解析】
设第二行中间方格中的数为$a$，根据三阶幻方每行的和相等，第二行的和为$(2a - 8) + a + 8 = 2a$，即每行的和为$2a$。
根据幻方的和相等，第一列三个数的和等于第三行三个数的和，可列出等式：
$x + (2a - 8) = -4 + (2a - x)$
化简等式：
$x + 2a - 8 = -4 + 2a - x$
两边同时减去$2a$，得：
$x - 8 = -4 - x$
移项合并同类项：
$2x = 4$
解得：$x = 2$
【答案】
2
【知识点】
三阶幻方、一元一次方程
【点评】
本题考查三阶幻方的性质，核心是利用幻方中各行列、对角线和相等的特点，通过设参数简化计算，消去参数后转化为一元一次方程求解，是幻方问题的基础应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
