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15.(真题·绍兴柯桥)把一个可活动的长方形框拉成一个平行四边形(图1),它的周长,面积;如果把一个平行四边形割补成一个长方形(图2),它的周长,面积。
横线处应该填写(
A.改变,改变;改变,改变
B.不变,改变;改变,不变
C.改变,不变;改变,不变
D.不变,不变;不变,不变
横线处应该填写(
B
)。A.改变,改变;改变,改变
B.不变,改变;改变,不变
C.改变,不变;改变,不变
D.不变,不变;不变,不变
答案
15. B
解析
【分析】
要解决这个问题，需分别分析两种图形变换（长方形拉成平行四边形、平行四边形割补成长方形）中周长和面积的变化：
1. 长方形拉成平行四边形：周长是四条边长度的和，拉伸时边的长度未改变，因此周长不变；面积公式为“底×高”，拉伸后底等于原长方形的长，但高小于原长方形的宽，所以面积改变。
2. 平行四边形割补成长方形：割补仅改变图形形状，所占空间大小不变，因此面积不变；原平行四边形的斜边在割补后变为长方形的宽，而斜边长度大于割补后长方形的宽（即平行四边形的高），所以周长改变。
综上，对应选项B。
【解析】
长方形拉成平行四边形：
周长：围成图形的所有边长的总和，拉伸过程中四条边的长度未发生变化，故周长不变；
面积：长方形面积=长×宽，拉成平行四边形后，底=原长方形的长，高＜原长方形的宽，因此面积=底×高＜长×宽，面积改变。
平行四边形割补成长方形：
面积：割补是将平行四边形的部分移动拼接成长方形，图形所占平面的大小未改变，故面积不变；
周长：平行四边形的周长=（底+斜边）×2，割补后长方形的周长=（底+高）×2，由于斜边＞高，因此周长改变。
所以四个空依次为：不变、改变、改变、不变，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形周长面积、长方形周长面积、图形变换的周长面积变化
【点评】
本题考查图形拉伸和割补过程中周长与面积的变化规律，核心是明确周长看边长总和、面积看底高乘积，属于几何基础题，需准确理解变换的本质。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分别分析两种图形变换（长方形拉成平行四边形、平行四边形割补成长方形）中周长和面积的变化：
1. 长方形拉成平行四边形：周长是四条边长度的和，拉伸时边的长度未改变，因此周长不变；面积公式为“底×高”，拉伸后底等于原长方形的长，但高小于原长方形的宽，所以面积改变。
2. 平行四边形割补成长方形：割补仅改变图形形状，所占空间大小不变，因此面积不变；原平行四边形的斜边在割补后变为长方形的宽，而斜边长度大于割补后长方形的宽（即平行四边形的高），所以周长改变。
综上，对应选项B。
【解析】
长方形拉成平行四边形：
周长：围成图形的所有边长的总和，拉伸过程中四条边的长度未发生变化，故周长不变；
面积：长方形面积=长×宽，拉成平行四边形后，底=原长方形的长，高＜原长方形的宽，因此面积=底×高＜长×宽，面积改变。
平行四边形割补成长方形：
面积：割补是将平行四边形的部分移动拼接成长方形，图形所占平面的大小未改变，故面积不变；
周长：平行四边形的周长=（底+斜边）×2，割补后长方形的周长=（底+高）×2，由于斜边＞高，因此周长改变。
所以四个空依次为：不变、改变、改变、不变，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形周长面积、长方形周长面积、图形变换的周长面积变化
【点评】
本题考查图形拉伸和割补过程中周长与面积的变化规律，核心是明确周长看边长总和、面积看底高乘积，属于几何基础题，需准确理解变换的本质。
【难度系数】
0.5
16.(真题·丽水缙云)一个长8cm,宽6cm,高3cm的长方体,切割成3个体积相等的长方体,表面积最大可增加(
A.72
B.96
C.144
D.192
D
)$\mathrm{cm}^2$。A.72
B.96
C.144
D.192
答案
16. D 解析:想要切割后表面积最大,切割时需选择和底面平行的方向切割,切两次就可以分成3个体积相等的长方体。每次增加两个和底面相同的面积。所以表面积最大可增加8×6×(2×2)=192(cm²)
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确：把长方体切割成3个体积相等的长方体，需要切2次；每切割1次，表面积会增加2个切面的面积，因此切2次共增加4个切面的面积。要使表面积增加最大，需选择长方体最大的面作为切面，这样增加的总面积才最大。
【解析】
1. 确定切割后增加的面数：切割成3个长方体需要切2次，每次增加2个面，共增加 $2 × 2 = 4$ 个面。
2. 找出长方体最大的面：长方体三个面的面积分别为 $8×6=48\ \mathrm{cm}^2$、$8×3=24\ \mathrm{cm}^2$、$6×3=18\ \mathrm{cm}^2$，最大面的面积是 $48\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算增加的最大表面积：增加的总面积为 $48 × 4 = 192\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积、切割后表面积变化
【点评】
本题考查长方体切割时表面积的变化规律，关键是理解切割次数与增加面数的关系，以及选择最大面切割才能使表面积增加最多，需结合长方体面的面积计算求解。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确：把长方体切割成3个体积相等的长方体，需要切2次；每切割1次，表面积会增加2个切面的面积，因此切2次共增加4个切面的面积。要使表面积增加最大，需选择长方体最大的面作为切面，这样增加的总面积才最大。
【解析】
1. 确定切割后增加的面数：切割成3个长方体需要切2次，每次增加2个面，共增加 $2 × 2 = 4$ 个面。
2. 找出长方体最大的面：长方体三个面的面积分别为 $8×6=48\ \mathrm{cm}^2$、$8×3=24\ \mathrm{cm}^2$、$6×3=18\ \mathrm{cm}^2$，最大面的面积是 $48\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算增加的最大表面积：增加的总面积为 $48 × 4 = 192\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积、切割后表面积变化
【点评】
本题考查长方体切割时表面积的变化规律，关键是理解切割次数与增加面数的关系，以及选择最大面切割才能使表面积增加最多，需结合长方体面的面积计算求解。
【难度系数】
0.5
17.(真题·金华金东、婺城)如图,梯形的面积公式$S=(a+b)×h÷2$适用于长方形、正方形、平行四边形和三角形的面积计算,以下式子中,证明梯形面积公式适用于平行四边形面积计算的是(
A.$(a+a)×b÷2$
B.$(a+a)×a÷2$
C.$(a+a)×h÷2$
D.$(0+a)×h÷2$
C
)。A.$(a+a)×b÷2$
B.$(a+a)×a÷2$
C.$(a+a)×h÷2$
D.$(0+a)×h÷2$
答案
17. C
解析
【分析】要证明梯形面积公式适用于平行四边形，需明确：当梯形的上底和下底长度相等时，梯形会转化为平行四边形，此时梯形的上底$a$与下底$b$相等，梯形的高$h$就是平行四边形的高。将$b=a$代入梯形面积公式，就能得到平行四边形的面积表达式，据此判断选项。
【解析】梯形的面积公式为$ S=(a+b)×h÷2 $，当梯形的上底和下底相等时，图形变为平行四边形，即$ b=a $，把$ b=a $代入梯形面积公式，可得平行四边形的面积表达式为$ (a+a)×h÷2 $，对应选项C。
【答案】C
【知识点】梯形面积公式、平行四边形面积公式
【点评】本题考查梯形面积公式与其他图形面积公式的关联，核心是理解梯形转化为平行四边形时上下底相等的特点，通过公式变形推导得出结论，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】梯形的面积公式为$ S=(a+b)×h÷2 $，当梯形的上底和下底相等时，图形变为平行四边形，即$ b=a $，把$ b=a $代入梯形面积公式，可得平行四边形的面积表达式为$ (a+a)×h÷2 $，对应选项C。
【答案】C
【知识点】梯形面积公式、平行四边形面积公式
【点评】本题考查梯形面积公式与其他图形面积公式的关联，核心是理解梯形转化为平行四边形时上下底相等的特点，通过公式变形推导得出结论，难度适中。
【难度系数】0.5
18.(真题·丽水龙泉)在我们在研究圆的面积计算公式时可以将圆平均分成16份,拼成一个近似的梯形(如右图)。那么梯形的上底与下底的和相当于圆的(
A.半径
B.直径
C.周长
D.周长的一半
D
)。A.半径
B.直径
C.周长
D.周长的一半
答案
18. D
解析
【分析】
要解决这道题，需结合圆面积公式的推导过程：把圆平均分成若干份扇形后拼成近似梯形，梯形的上底和下底由扇形的弧长组成。先计算每份扇形的弧长，再分析上底与下底的弧长总和，最后和圆的相关量对比，即可得出结论。
【解析】
1. 圆的周长公式为 $ C = 2π r $，将圆平均分成16份，则每份扇形的弧长为：$ \frac{C}{16} = \frac{2π r}{16} = \frac{π r}{8} $。
2. 观察拼成的近似梯形，上底由4个扇形的弧长组成，下底也由4个扇形的弧长组成，因此上底与下底的和为：$ 4×\frac{π r}{8} + 4×\frac{π r}{8} = π r $。
3. 圆周长的一半为 $ \frac{C}{2} = \frac{2π r}{2} = π r $，所以梯形上底与下底的和相当于圆周长的一半，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆的周长、圆面积公式推导
【点评】
本题考查圆面积推导中图形转化的对应关系，核心是理解拼成的梯形各部分与圆的弧长的联系，属于基础题型，需掌握圆面积推导的基本思路。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合圆面积公式的推导过程：把圆平均分成若干份扇形后拼成近似梯形，梯形的上底和下底由扇形的弧长组成。先计算每份扇形的弧长，再分析上底与下底的弧长总和，最后和圆的相关量对比，即可得出结论。
【解析】
1. 圆的周长公式为 $ C = 2π r $，将圆平均分成16份，则每份扇形的弧长为：$ \frac{C}{16} = \frac{2π r}{16} = \frac{π r}{8} $。
2. 观察拼成的近似梯形，上底由4个扇形的弧长组成，下底也由4个扇形的弧长组成，因此上底与下底的和为：$ 4×\frac{π r}{8} + 4×\frac{π r}{8} = π r $。
3. 圆周长的一半为 $ \frac{C}{2} = \frac{2π r}{2} = π r $，所以梯形上底与下底的和相当于圆周长的一半，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆的周长、圆面积公式推导
【点评】
本题考查圆面积推导中图形转化的对应关系，核心是理解拼成的梯形各部分与圆的弧长的联系，属于基础题型，需掌握圆面积推导的基本思路。
【难度系数】
0.7
19.(真题·台州三门)右图是寓意“海上生明月，天涯共此时”的“月光环”景观灯，其外直径是36m，内直径是22m，计算“月光环”正面的近似面积的正确算式是(
A.$(36^2 - 22^2)π$
B.$(36 - 22)^2π$
C.$(36÷2 - 22÷2)^2π$
D.$(36÷2)^2π - (22÷2)^2π$
D
)。A.$(36^2 - 22^2)π$
B.$(36 - 22)^2π$
C.$(36÷2 - 22÷2)^2π$
D.$(36÷2)^2π - (22÷2)^2π$
答案
19. D
解析
【分析】
本题要求计算“月光环”正面的面积，该图形是圆环，解题思路为：圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，需先根据直径求出外圆和内圆的半径，再分别计算外圆、内圆的面积，最后用外圆面积减去内圆面积得到结果。
【解析】
“月光环”正面是圆环，圆环面积公式为$ S = π R^2 - π r^2 $（其中$ R $为外圆半径，$ r $为内圆半径）。已知外直径为36m，则外圆半径$ R = 36÷2 $；内直径为22m，则内圆半径$ r = 22÷2 $。将半径代入公式，可得面积的算式为$ (36÷2)^2π - (22÷2)^2π $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算、圆的面积公式
【点评】
本题结合实际景观考查圆环面积的计算，核心是掌握圆环面积的推导逻辑（外圆面积减内圆面积），需注意计算时使用半径而非直径，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
本题要求计算“月光环”正面的面积，该图形是圆环，解题思路为：圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，需先根据直径求出外圆和内圆的半径，再分别计算外圆、内圆的面积，最后用外圆面积减去内圆面积得到结果。
【解析】
“月光环”正面是圆环，圆环面积公式为$ S = π R^2 - π r^2 $（其中$ R $为外圆半径，$ r $为内圆半径）。已知外直径为36m，则外圆半径$ R = 36÷2 $；内直径为22m，则内圆半径$ r = 22÷2 $。将半径代入公式，可得面积的算式为$ (36÷2)^2π - (22÷2)^2π $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算、圆的面积公式
【点评】
本题结合实际景观考查圆环面积的计算，核心是掌握圆环面积的推导逻辑（外圆面积减内圆面积），需注意计算时使用半径而非直径，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
