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22.综合与实践
定义学习:若一个四边形有一组对角互补(即对角之和为$180°$),则称这个四边形为“圆满四边形”。
(1)概念理解:在①矩形,②菱形中,是“圆满四边形”的是
(2)性质探究:如图1,已知四边形ABCD是“圆满四边形”,若$AB=AD=3,CB=CD$,对角线$AC=5$,求四边形ABCD的周长。
(3)判定探究:如图2,已知OD平分$∠AOB$,点C在射线OD上,$CE⊥OA$于点E,$CF⊥OB$于点F,点G在射线EA上,点H在线段OF上,$EG=FH$,连结CG,CH。求证:四边形GOHC为“圆满四边形”。
定义学习:若一个四边形有一组对角互补(即对角之和为$180°$),则称这个四边形为“圆满四边形”。
(1)概念理解:在①矩形,②菱形中,是“圆满四边形”的是
①
。(请填写序号)(2)性质探究:如图1,已知四边形ABCD是“圆满四边形”,若$AB=AD=3,CB=CD$,对角线$AC=5$,求四边形ABCD的周长。
(3)判定探究:如图2,已知OD平分$∠AOB$,点C在射线OD上,$CE⊥OA$于点E,$CF⊥OB$于点F,点G在射线EA上,点H在线段OF上,$EG=FH$,连结CG,CH。求证:四边形GOHC为“圆满四边形”。
答案
22.(1)① 解析:矩形四个角都为直角,对角互补,故矩形为“圆满四边形”。
(2)因为AB=AD,CB=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),所以∠B=∠D,因为四边形ABCD是“圆满四边形”,所以∠B+∠D=180°,所以∠B=∠D=90°,因为AB=AD=3,AC=5,所以CB=CD=√(AC²-AB²)=4,所以四边形ABCD的周长=2AB+2BC=6+8=14。
(3)证明:因为OD平分∠AOB,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,所以CE=CF,∠CEG=∠CFH=90°,因为EG=FH,所以△CEG≌△CFH(SAS),所以∠CGE=∠CHF,因为∠CHF+∠OHC=180°,所以∠CGE+∠OHC=180°,所以四边形GOHC为“圆满四边形”。
(2)因为AB=AD,CB=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),所以∠B=∠D,因为四边形ABCD是“圆满四边形”,所以∠B+∠D=180°,所以∠B=∠D=90°,因为AB=AD=3,AC=5,所以CB=CD=√(AC²-AB²)=4,所以四边形ABCD的周长=2AB+2BC=6+8=14。
(3)证明:因为OD平分∠AOB,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,所以CE=CF,∠CEG=∠CFH=90°,因为EG=FH,所以△CEG≌△CFH(SAS),所以∠CGE=∠CHF,因为∠CHF+∠OHC=180°,所以∠CGE+∠OHC=180°,所以四边形GOHC为“圆满四边形”。
解析
【分析】
本题围绕“圆满四边形”的定义，分三个层次考查几何知识的应用：
1. 概念理解：需紧扣“圆满四边形”“一组对角和为180°”的定义，结合矩形、菱形的角的特征判断；
2. 性质探究：利用SSS证明三角形全等，得到角相等，结合“圆满四边形”定义推出直角，再用勾股定理求边长，进而计算周长；
3. 判定探究：利用角平分线性质得线段相等，结合SAS证明三角形全等，通过角的互补关系推出四边形的一组对角和为180°，完成判定。
【解析】
(1) 矩形的四个角均为直角，任意一组对角之和为90°+90°=180°，符合“圆满四边形”定义；菱形对角相等，但仅当内角为90°时对角和才为180°，并非所有菱形都满足，故填①。
(2) 在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ CB=CD\\ AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS），得∠B=∠D。
∵四边形ABCD是“圆满四边形”，
∴∠B+∠D=180°，故∠B=∠D=90°。
在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，由勾股定理：
$CB=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，则CD=CB=4。
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=3+4+4+3=14。
(3)
∵OD平分∠AOB，CE⊥OA，CF⊥OB，
∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等），且∠CEG=∠CFH=90°。
在△CEG和△CFH中：
$\{\begin{array}{l}CE=CF\\ ∠CEG=∠CFH\\ EG=FH\end{array} $
∴△CEG≌△CFH（SAS），得∠CGE=∠CHF。
∵∠CHF+∠OHC=180°（平角定义），
∴∠CGE+∠OHC=180°，即四边形GOHC的一组对角和为180°，故四边形GOHC为“圆满四边形”。
【答案】
(1) ①；(2) 14；(3) 证明如上。
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的性质
【点评】
本题为新定义几何综合题，以“圆满四边形”为载体，融合全等、角平分线、勾股定理等核心知识点，既考查新概念的理解应用，又巩固基础几何技能，逻辑连贯，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕“圆满四边形”的定义，分三个层次考查几何知识的应用：
1. 概念理解：需紧扣“圆满四边形”“一组对角和为180°”的定义，结合矩形、菱形的角的特征判断；
2. 性质探究：利用SSS证明三角形全等，得到角相等，结合“圆满四边形”定义推出直角，再用勾股定理求边长，进而计算周长；
3. 判定探究：利用角平分线性质得线段相等，结合SAS证明三角形全等，通过角的互补关系推出四边形的一组对角和为180°，完成判定。
【解析】
(1) 矩形的四个角均为直角，任意一组对角之和为90°+90°=180°，符合“圆满四边形”定义；菱形对角相等，但仅当内角为90°时对角和才为180°，并非所有菱形都满足，故填①。
(2) 在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ CB=CD\\ AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS），得∠B=∠D。
∵四边形ABCD是“圆满四边形”，
∴∠B+∠D=180°，故∠B=∠D=90°。
在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，由勾股定理：
$CB=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，则CD=CB=4。
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=3+4+4+3=14。
(3)
∵OD平分∠AOB，CE⊥OA，CF⊥OB，
∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等），且∠CEG=∠CFH=90°。
在△CEG和△CFH中：
$\{\begin{array}{l}CE=CF\\ ∠CEG=∠CFH\\ EG=FH\end{array} $
∴△CEG≌△CFH（SAS），得∠CGE=∠CHF。
∵∠CHF+∠OHC=180°（平角定义），
∴∠CGE+∠OHC=180°，即四边形GOHC的一组对角和为180°，故四边形GOHC为“圆满四边形”。
【答案】
(1) ①；(2) 14；(3) 证明如上。
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的性质
【点评】
本题为新定义几何综合题，以“圆满四边形”为载体，融合全等、角平分线、勾股定理等核心知识点，既考查新概念的理解应用，又巩固基础几何技能，逻辑连贯，难度适中。
【难度系数】
0.5
23.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现:销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元?
(3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗?若可以，请求出该糖果的销售单价;若不可以，请说明理由。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元?
(3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗?若可以，请求出该糖果的销售单价;若不可以，请说明理由。
答案
23.(1)设y=kx+b(k≠0),由题意得{12k+b=56,14k+b=52,解得{k=-2,b=80,所以y关于x的函数表达式为y=-2x+80。
(2)由题意得:(x-10)(-2x+80)=448,整理得:x²-50x+624=0,解得:x₁=26,x₂=24,答:糖果销售单价定为26元或24元时,所获日销售利润为448元。
(3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元,理由如下:由题意得:(x-10)(-2x+80)-2(-2x+80)=400,整理得:x²-52x+680=0,因为Δ=(-52)²-4×680=-16＜0,所以原方程无解,所以该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元。
(2)由题意得:(x-10)(-2x+80)=448,整理得:x²-50x+624=0,解得:x₁=26,x₂=24,答:糖果销售单价定为26元或24元时,所获日销售利润为448元。
(3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元,理由如下:由题意得:(x-10)(-2x+80)-2(-2x+80)=400,整理得:x²-52x+680=0,因为Δ=(-52)²-4×680=-16＜0,所以原方程无解,所以该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元。
解析
【分析】
本题包含三个小问，第(1)问利用一次函数的待定系数法，通过表格中两组对应值求解函数表达式；第(2)问根据“日销售利润=每盒利润×销售量”的关系，结合已知利润列一元二次方程求解；第(3)问先表示出捐款后的每盒利润，再根据利润条件列方程，通过判别式判断方程是否有解，得出结论。
【解析】
(1)设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$x=12,y=56$和$x=14,y=52$代入得：
$\begin{cases}12k + b = 56 \\14k + b = 52 \end{cases}$
两式相减得$2k=-4$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$12k + b=56$，得$-24 + b=56$，解得$b=80$，因此y关于x的函数表达式为$y=-2x+80$。
(2)日销售利润为每盒利润$(x-10)$元乘以销售量$y$盒，根据题意列方程：
$(x - 10)(-2x + 80) = 448$
整理得$x^2 -50x +624=0$，解得$x_1=24$，$x_2=26$，均满足销售单价不低于进价10元的条件，故销售单价定为24元或26元时，日销售利润为448元。
(3)捐款后每盒利润为$(x-10-2)=(x-12)$元，根据题意列方程：
$(x -12)(-2x +80)=400$
整理得$x^2 -52x +680=0$，计算判别式$\Delta=(-52)^2 -4×1×680=-16＜0$，方程无实数解，因此日销售利润去掉捐款后不可以为400元。
【答案】
(1)$y=-2x+80$；
(2)销售单价定为24元或26元；
(3)不可以，理由见解析。
【知识点】
一次函数表达式、一元二次方程应用、利润问题
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，考查待定系数法求函数解析式，以及利用方程解决利润问题，需注意实际问题中解的合理性，判别式的应用是判断方程解的情况的关键。
【难度系数】
0.5
本题包含三个小问，第(1)问利用一次函数的待定系数法，通过表格中两组对应值求解函数表达式；第(2)问根据“日销售利润=每盒利润×销售量”的关系，结合已知利润列一元二次方程求解；第(3)问先表示出捐款后的每盒利润，再根据利润条件列方程，通过判别式判断方程是否有解，得出结论。
【解析】
(1)设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$x=12,y=56$和$x=14,y=52$代入得：
$\begin{cases}12k + b = 56 \\14k + b = 52 \end{cases}$
两式相减得$2k=-4$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$12k + b=56$，得$-24 + b=56$，解得$b=80$，因此y关于x的函数表达式为$y=-2x+80$。
(2)日销售利润为每盒利润$(x-10)$元乘以销售量$y$盒，根据题意列方程：
$(x - 10)(-2x + 80) = 448$
整理得$x^2 -50x +624=0$，解得$x_1=24$，$x_2=26$，均满足销售单价不低于进价10元的条件，故销售单价定为24元或26元时，日销售利润为448元。
(3)捐款后每盒利润为$(x-10-2)=(x-12)$元，根据题意列方程：
$(x -12)(-2x +80)=400$
整理得$x^2 -52x +680=0$，计算判别式$\Delta=(-52)^2 -4×1×680=-16＜0$，方程无实数解，因此日销售利润去掉捐款后不可以为400元。
【答案】
(1)$y=-2x+80$；
(2)销售单价定为24元或26元；
(3)不可以，理由见解析。
【知识点】
一次函数表达式、一元二次方程应用、利润问题
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，考查待定系数法求函数解析式，以及利用方程解决利润问题，需注意实际问题中解的合理性，判别式的应用是判断方程解的情况的关键。
【难度系数】
0.5
