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24.如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连结BE,点C关于直线BE的对称点为点F,连结BF,EF。
(1)如图1,若点F恰好落在对角线BD上,连结AF,求∠CAF的度数。
(2)如图2,连结DF,CF,若DF//BE,试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系,并说明理由。
(3)如图3,连结DF,DE,记△DEF的面积为S₁,△BEF的面积为S₂,若DF⊥FE,求$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值。
(1)如图1,若点F恰好落在对角线BD上,连结AF,求∠CAF的度数。
(2)如图2,连结DF,CF,若DF//BE,试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系,并说明理由。
(3)如图3,连结DF,DE,记△DEF的面积为S₁,△BEF的面积为S₂,若DF⊥FE,求$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值。
答案
24.(1)因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC,∠BAD=∠ABC=90°,∠ABD=1/2∠ABC=45°,∠BAC=1/2∠BAD=45°,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以BF=BC,所以AB=BF,所以∠BAF=∠BFA=(180°-∠ABD)/2=67.5°,所以∠CAF=∠BAF-∠BAC=22.5°。
(2)DF⊥CF,CF=2DF,理由如下,延长BE,交CF于点G,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以BG⊥CF,CF=2CG,所以∠BGC=∠BGF=90°,因为DF//BE,所以∠CFD=∠BGF=∠BGC=90°,所以DF⊥CF,因为∠CFD=90°,所以∠DCF+∠CDF=90°,因为∠BCD=90°,所以∠BCG+∠DCF=90°,所以∠CDF=∠BCG,因为BC=CD,所以△BCG≌△CDF(AAS),所以CG=DF,所以CF=2CG=2DF
(3)(方法一)如图2,作BH⊥DF,交DF的延长线于点H,作BG⊥FE,交FE的延长线于点G,连结BD,交AC于点O,不妨设正方形的边长是2,因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,BD=√2 AB=2√2,OB=OD=√2,∠ACB=1/2∠BCD=45°,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以S△BCE=S△BEF,CE=EF,∠BFE=∠ACB=45°,BF=BC=2,所以1/2 EF·BG=1/2 CE·OB,所以BG=OB=√2,因为DF⊥EF,所以∠DFE=90°,所以∠BFH=180°-∠DFE-∠BFE=45°,所以BH=FH=√2/2 BF=√2,所以DH=√(BD²-BH²)=√((2√2)²-(√2)²)=√6,所以DF=DH-FH=√6-√2,所以S₁/S₂=(1/2 EF·DF)/(1/2 EF·BG)=(√6-√2)/√2=√3-1
(方法二)如图3,连结BD,作BG⊥DF,交DF的延长线于点G,作EW⊥BC于点W,不妨设正方形的边长是2,由上知,DF=√6-√2,BG=FG=√2,BD=2√2,因为∠ACB=45°,所以EF=CE=√2 EW,所以S₁/S₂=(1/2 DF·EF)/(1/2 BC·EW)=√3-1
解析
【分析】
本题是正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步突破：
(1) 利用正方形四边相等、对角线平分内角的性质，结合对称点的性质（对称点到对称轴上点的距离相等），得到AB=BF，再通过等腰三角形内角和计算角度差，求出∠CAF；
(2) 由对称性质得BE垂直平分CF，结合DF//BE推出DF⊥CF，再通过角的关系证明三角形全等，得到CF与DF的数量关系；
(3) 作辅助线构造高，利用对称的面积关系、勾股定理计算相关线段长度，结合三角形面积公式求出面积比。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠BAC=∠ABD=45°。
又点C关于直线BE的对称点为F，故BF=BC，因此AB=BF。
在△ABF中，∠ABF=∠ABD=45°，所以∠BAF=(180°-45°)/2=67.5°，
则∠CAF=∠BAF - ∠BAC=67.5°-45°=22.5°。
(2) DF⊥CF，CF=2DF，理由如下：
延长BE交CF于点G。
因为点C关于直线BE的对称点为F，所以BE垂直平分CF，即BG⊥CF，CF=2CG，∠BGC=∠BGF=90°。
又DF//BE，所以∠CFD=∠BGF=90°，故DF⊥CF。
因为∠BCD=90°，所以∠BCG + ∠DCF=90°，又∠DCF + ∠CDF=90°，故∠CDF=∠BCG。
在△BCG和△CDF中：
∠BGC=∠CFD=90°，
∠BCG=∠CDF，
BC=CD，
所以△BCG≌△CDF(AAS)，得CG=DF，因此CF=2CG=2DF。
(3) 作BH⊥DF交DF延长线于H，BG⊥FE交FE延长线于G，连结BD交AC于O，设正方形边长为2。
正方形中BD⊥AC，BD=2√2，OB=OD=√2，∠ACB=45°。
由对称得S△BCE=S△BEF，CE=EF，∠BFE=∠ACB=45°，BF=BC=2。
因为S△BEF=1/2 EF·BG，S△BCE=1/2 CE·OB，且CE=EF，所以BG=OB=√2。
又DF⊥FE，故∠DFE=90°，则∠BFH=180°-90°-45°=45°，
在Rt△BFH中，BH=FH=BF·sin45°=2×(√2/2)=√2，
在Rt△BDH中，DH=√(BD² - BH²)=√((2√2)² - (√2)²)=√6，
所以DF=DH - FH=√6 - √2，
则S₁/S₂=(1/2 EF·DF)/(1/2 EF·BG)=DF/BG=(√6 - √2)/√2=√3 - 1。
【答案】
(1) 22.5°
(2) DF⊥CF，CF=2DF
(3) √3 - 1
【知识点】
正方形性质、轴对称性质、全等三角形判定
【点评】
本题是正方形与轴对称结合的综合题，需熟练运用正方形性质、对称性质，通过构造辅助线、证明全等解决线段关系和面积比问题，考察几何推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.4
本题是正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步突破：
(1) 利用正方形四边相等、对角线平分内角的性质，结合对称点的性质（对称点到对称轴上点的距离相等），得到AB=BF，再通过等腰三角形内角和计算角度差，求出∠CAF；
(2) 由对称性质得BE垂直平分CF，结合DF//BE推出DF⊥CF，再通过角的关系证明三角形全等，得到CF与DF的数量关系；
(3) 作辅助线构造高，利用对称的面积关系、勾股定理计算相关线段长度，结合三角形面积公式求出面积比。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠BAC=∠ABD=45°。
又点C关于直线BE的对称点为F，故BF=BC，因此AB=BF。
在△ABF中，∠ABF=∠ABD=45°，所以∠BAF=(180°-45°)/2=67.5°，
则∠CAF=∠BAF - ∠BAC=67.5°-45°=22.5°。
(2) DF⊥CF，CF=2DF，理由如下：
延长BE交CF于点G。
因为点C关于直线BE的对称点为F，所以BE垂直平分CF，即BG⊥CF，CF=2CG，∠BGC=∠BGF=90°。
又DF//BE，所以∠CFD=∠BGF=90°，故DF⊥CF。
因为∠BCD=90°，所以∠BCG + ∠DCF=90°，又∠DCF + ∠CDF=90°，故∠CDF=∠BCG。
在△BCG和△CDF中：
∠BGC=∠CFD=90°，
∠BCG=∠CDF，
BC=CD，
所以△BCG≌△CDF(AAS)，得CG=DF，因此CF=2CG=2DF。
(3) 作BH⊥DF交DF延长线于H，BG⊥FE交FE延长线于G，连结BD交AC于O，设正方形边长为2。
正方形中BD⊥AC，BD=2√2，OB=OD=√2，∠ACB=45°。
由对称得S△BCE=S△BEF，CE=EF，∠BFE=∠ACB=45°，BF=BC=2。
因为S△BEF=1/2 EF·BG，S△BCE=1/2 CE·OB，且CE=EF，所以BG=OB=√2。
又DF⊥FE，故∠DFE=90°，则∠BFH=180°-90°-45°=45°，
在Rt△BFH中，BH=FH=BF·sin45°=2×(√2/2)=√2，
在Rt△BDH中，DH=√(BD² - BH²)=√((2√2)² - (√2)²)=√6，
所以DF=DH - FH=√6 - √2，
则S₁/S₂=(1/2 EF·DF)/(1/2 EF·BG)=DF/BG=(√6 - √2)/√2=√3 - 1。
【答案】
(1) 22.5°
(2) DF⊥CF，CF=2DF
(3) √3 - 1
【知识点】
正方形性质、轴对称性质、全等三角形判定
【点评】
本题是正方形与轴对称结合的综合题，需熟练运用正方形性质、对称性质，通过构造辅助线、证明全等解决线段关系和面积比问题，考察几何推理能力，综合性较强。
【难度系数】
0.4
