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20. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,AD 上,
$BE=DF$,连结 AE,CF,AC。
(1)求证:四边形 AECF 为平行四边形。
(2)若$CF=AF=5,AC=8$,求四边形 AECF 的面积。
$BE=DF$,连结 AE,CF,AC。
(1)求证:四边形 AECF 为平行四边形。
(2)若$CF=AF=5,AC=8$,求四边形 AECF 的面积。
答案
20.(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD=BC,AD//BC即AF//EC,又因为BE=DF,所以AF=EC。所以四边形AECF是平行四边形。
(2)因为四边形AECF是平行四边形,CF=AF=5,所以四边形AECF是菱形,如图,连结EF交AC于点O,因为四边形AECF是菱形,所以AC⊥EF,所以AO=1/2 AC=4,EF=2OF,所以OF=√(AF²-AO²)=√(5²-4²)=3,所以EF=2OF=6,所以四边形AECF的面积=1/2 AC·EF=1/2×8×6=24
解析
【分析】
要解决本题，第(1)问需利用平行四边形ABCD的性质，结合已知条件推导四边形AECF的一组对边平行且相等，从而证明其为平行四边形；第(2)问由邻边相等的平行四边形是菱形，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长度，最后根据菱形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC，即AF // EC。
又
∵ BE = DF，
∴ AD - DF = BC - BE，即AF = EC。
∴ AF 平行且等于 EC，
∴ 四边形AECF为平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形AECF是平行四边形，且CF = AF = 5，
∴ 四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
连接EF交AC于点O，如图：
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
∴ AC ⊥ EF，AO = 1/2 AC = 1/2 × 8 = 4，EF = 2OF。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
OF = √(AF² - AO²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ EF = 2OF = 6。
∴ 四边形AECF的面积 = 1/2 × AC × EF = 1/2 × 8 × 6 = 24。
【答案】
20.(1) 证明见上述解析；(2) 四边形AECF的面积为24
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定与性质、菱形面积计算
【点评】
本题考查平行四边形和菱形的基础知识点，属于常规题型，需熟练掌握平行四边形判定定理、菱形对角线性质，利用勾股定理计算对角线长度，解题时需注意逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决本题，第(1)问需利用平行四边形ABCD的性质，结合已知条件推导四边形AECF的一组对边平行且相等，从而证明其为平行四边形；第(2)问由邻边相等的平行四边形是菱形，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长度，最后根据菱形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC，即AF // EC。
又
∵ BE = DF，
∴ AD - DF = BC - BE，即AF = EC。
∴ AF 平行且等于 EC，
∴ 四边形AECF为平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形AECF是平行四边形，且CF = AF = 5，
∴ 四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
连接EF交AC于点O，如图：
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
∴ AC ⊥ EF，AO = 1/2 AC = 1/2 × 8 = 4，EF = 2OF。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
OF = √(AF² - AO²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ EF = 2OF = 6。
∴ 四边形AECF的面积 = 1/2 × AC × EF = 1/2 × 8 × 6 = 24。
【答案】
20.(1) 证明见上述解析；(2) 四边形AECF的面积为24
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定与性质、菱形面积计算
【点评】
本题考查平行四边形和菱形的基础知识点，属于常规题型，需熟练掌握平行四边形判定定理、菱形对角线性质，利用勾股定理计算对角线长度，解题时需注意逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.6
21.(改编)利用韦达定理,解决下列问题:
(1)已知$a,b$是方程$x^2+10x+5=0$的两个根,求$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$的值。
(2)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知$\begin{cases} x=x_1, \\ y=y_1 \end{cases}$和$\begin{cases} x=x_2, \\ y=y_2 \end{cases}$是关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1 \end{cases}$的两个不相等的实数解。问:是否存在实数$k$,使得$y_1y_2 - \dfrac{x_1}{x_2} - \dfrac{x_2}{x_1} = 2$? 若存在,求出的$k$的值;若不存在,请说明理由。
(1)已知$a,b$是方程$x^2+10x+5=0$的两个根,求$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$的值。
(2)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知$\begin{cases} x=x_1, \\ y=y_1 \end{cases}$和$\begin{cases} x=x_2, \\ y=y_2 \end{cases}$是关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1 \end{cases}$的两个不相等的实数解。问:是否存在实数$k$,使得$y_1y_2 - \dfrac{x_1}{x_2} - \dfrac{x_2}{x_1} = 2$? 若存在,求出的$k$的值;若不存在,请说明理由。
答案
21.(1)因为a,b是方程x²+10x+5=0的两个根,所以a+b=-10,ab=5,所以a/b + b/a = (a+b)²-2ab / ab = (-10)²-2×5 /5 =18。
(2)存在,当k=-2时,y₁y₂ - x₁/x₂ -x₂/x₁=2,由x² - y +k=0变形得:y=x² +k,由x - y=1变形得:y=x-1,所以y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1),把y=x² +k代入y=x-1,并整理得:x² -x +k +1=0,由题意可知,x₁,x₂是方程x² -x +k +1=0的两个不相等的实数根,故有:Δ=(-1)²-4(k+1)＞0,k＜-3/4,x₁+x₂=1,x₁x₂=k+1,所以y₁y₂ -x₁/x₂ -x₂/x₁=(x₁-1)(x₂-1) - (x₁+x₂)²-2x₁x₂ /x₁x₂ =x₁x₂ -(x₁+x₂)+1 - (x₁+x₂)²-2x₁x₂ /x₁x₂ =k+1 -1 +1 -(1-2k-2)/(k+1),所以k+1 -1 +1 -(1-2k-2)/(k+1)=2,解得:k=-2。
(2)存在,当k=-2时,y₁y₂ - x₁/x₂ -x₂/x₁=2,由x² - y +k=0变形得:y=x² +k,由x - y=1变形得:y=x-1,所以y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1),把y=x² +k代入y=x-1,并整理得:x² -x +k +1=0,由题意可知,x₁,x₂是方程x² -x +k +1=0的两个不相等的实数根,故有:Δ=(-1)²-4(k+1)＞0,k＜-3/4,x₁+x₂=1,x₁x₂=k+1,所以y₁y₂ -x₁/x₂ -x₂/x₁=(x₁-1)(x₂-1) - (x₁+x₂)²-2x₁x₂ /x₁x₂ =x₁x₂ -(x₁+x₂)+1 - (x₁+x₂)²-2x₁x₂ /x₁x₂ =k+1 -1 +1 -(1-2k-2)/(k+1),所以k+1 -1 +1 -(1-2k-2)/(k+1)=2,解得:k=-2。
解析
【分析】
本题分两小问，均需运用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）解决。第(1)问：已知方程的两根，先根据韦达定理求出两根和与积，再将所求分式通分变形为含两根和与积的式子，代入计算即可；第(2)问：先将二元方程组转化为关于x的一元二次方程，确定$x_1,x_2$是该方程的两个根，利用韦达定理得根的和与积，同时需保证方程有两个不相等实根（判别式＞0），再将所求式子转化为用根的和与积表示的形式，代入后解方程，最后验证k是否满足判别式条件。
【解析】
(1) 因为$a,b$是方程$x^2+10x+5=0$的两个根，根据韦达定理得：$a+b=-10$，$ab=5$。
对$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分变形：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$，
代入数值计算：
$\frac{(-10)^2-2×5}{5}=\frac{100-10}{5}=18$。
(2) 存在实数$k$，使得$y_1y_2-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=2$，理由如下：
由方程组$\begin{cases}x^2-y+k=0 \\ x-y=1 \end{cases}$，变形得$y=x^2+k$和$y=x-1$，联立得$x^2+k=x-1$，整理为$x^2-x+k+1=0$。
因为方程组有两个不相等的实数解，所以$x_1,x_2$是方程$x^2-x+k+1=0$的两个不相等实根，故判别式$\Delta=(-1)^2-4(k+1)＞0$，解得$k＜-\frac{3}{4}$；根据韦达定理得：$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=k+1$。
又$y_1=x_1-1$，$y_2=x_2-1$，则$y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$；
对$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$变形得：$\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$。
将上述结果代入所求式子：
$y_1y_2-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，
代入$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=k+1$：
$=(k+1-1+1)-\frac{1^2-2(k+1)}{k+1}=(k+1)-\frac{-2k-1}{k+1}$，
令其等于2，解方程：
$(k+1)-\frac{-2k-1}{k+1}=2$，
两边乘$(k+1)$得：$(k+1)^2+2k+1=2(k+1)$，
整理得$k^2+2k=0$，解得$k=0$或$k=-2$。
结合$k＜-\frac{3}{4}$，舍去$k=0$，故$k=-2$符合条件。
【答案】
(1) 18；(2) 存在，$k=-2$
【知识点】
韦达定理、一元二次方程判别式、分式化简求值
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，需将所求代数式转化为用两根和与积表示的形式，同时需注意方程有两个不相等实根的判别式条件，解题时需细心变形，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
本题分两小问，均需运用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）解决。第(1)问：已知方程的两根，先根据韦达定理求出两根和与积，再将所求分式通分变形为含两根和与积的式子，代入计算即可；第(2)问：先将二元方程组转化为关于x的一元二次方程，确定$x_1,x_2$是该方程的两个根，利用韦达定理得根的和与积，同时需保证方程有两个不相等实根（判别式＞0），再将所求式子转化为用根的和与积表示的形式，代入后解方程，最后验证k是否满足判别式条件。
【解析】
(1) 因为$a,b$是方程$x^2+10x+5=0$的两个根，根据韦达定理得：$a+b=-10$，$ab=5$。
对$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分变形：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$，
代入数值计算：
$\frac{(-10)^2-2×5}{5}=\frac{100-10}{5}=18$。
(2) 存在实数$k$，使得$y_1y_2-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=2$，理由如下：
由方程组$\begin{cases}x^2-y+k=0 \\ x-y=1 \end{cases}$，变形得$y=x^2+k$和$y=x-1$，联立得$x^2+k=x-1$，整理为$x^2-x+k+1=0$。
因为方程组有两个不相等的实数解，所以$x_1,x_2$是方程$x^2-x+k+1=0$的两个不相等实根，故判别式$\Delta=(-1)^2-4(k+1)＞0$，解得$k＜-\frac{3}{4}$；根据韦达定理得：$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=k+1$。
又$y_1=x_1-1$，$y_2=x_2-1$，则$y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$；
对$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$变形得：$\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$。
将上述结果代入所求式子：
$y_1y_2-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，
代入$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=k+1$：
$=(k+1-1+1)-\frac{1^2-2(k+1)}{k+1}=(k+1)-\frac{-2k-1}{k+1}$，
令其等于2，解方程：
$(k+1)-\frac{-2k-1}{k+1}=2$，
两边乘$(k+1)$得：$(k+1)^2+2k+1=2(k+1)$，
整理得$k^2+2k=0$，解得$k=0$或$k=-2$。
结合$k＜-\frac{3}{4}$，舍去$k=0$，故$k=-2$符合条件。
【答案】
(1) 18；(2) 存在，$k=-2$
【知识点】
韦达定理、一元二次方程判别式、分式化简求值
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，需将所求代数式转化为用两根和与积表示的形式，同时需注意方程有两个不相等实根的判别式条件，解题时需细心变形，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
