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17.计算：
(1)$3\sqrt{3}+\sqrt{8}-\sqrt{2}-\sqrt{27}$；
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$。
(1)$3\sqrt{3}+\sqrt{8}-\sqrt{2}-\sqrt{27}$；
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$。
答案
17.(1)$3\sqrt{3}+\sqrt{8}-\sqrt{2}-\sqrt{27}=3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-3\sqrt{3}=\sqrt{2}$；
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$。
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路如下：
(1) 二次根式的加减运算核心是合并同类二次根式，需先将各项化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（同类二次根式）的系数相加减，被开方数和根指数保持不变；
(2) 二次根式的乘法运算中，式子符合平方差公式的结构，直接套用公式计算更简便，可快速简化运算过程。
【解析】
(1) 先将原式中的二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$，
代入原式得：
$3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3\sqrt{3}$，
合并同类二次根式：
$(3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) + (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$；
(2) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，令$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，则：
原式$= (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$。
【答案】
17.(1)$3\sqrt{3}+\sqrt{8}-\sqrt{2}-\sqrt{27}=3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-3\sqrt{3}=\sqrt{2}$；(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$。
【知识点】
二次根式的化简、同类二次根式的合并、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考察最简二次根式的化简、同类二次根式的合并以及平方差公式的应用，属于初中数学二次根式章节的核心基础内容，学生掌握基本规则即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算，解题思路如下：
(1) 二次根式的加减运算核心是合并同类二次根式，需先将各项化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（同类二次根式）的系数相加减，被开方数和根指数保持不变；
(2) 二次根式的乘法运算中，式子符合平方差公式的结构，直接套用公式计算更简便，可快速简化运算过程。
【解析】
(1) 先将原式中的二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$，
代入原式得：
$3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3\sqrt{3}$，
合并同类二次根式：
$(3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) + (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$；
(2) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，令$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，则：
原式$= (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$。
【答案】
17.(1)$3\sqrt{3}+\sqrt{8}-\sqrt{2}-\sqrt{27}=3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-3\sqrt{3}=\sqrt{2}$；(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$。
【知识点】
二次根式的化简、同类二次根式的合并、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考察最简二次根式的化简、同类二次根式的合并以及平方差公式的应用，属于初中数学二次根式章节的核心基础内容，学生掌握基本规则即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
18.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx - 12 = 0$。
(1)当$b=4$时,求方程的解。
(2)若$x=3$是方程的一个解,求$b$的值和方程的另一个解。
(1)当$b=4$时,求方程的解。
(2)若$x=3$是方程的一个解,求$b$的值和方程的另一个解。
答案
18.(1)当b=4,原方程为x²+4x-12=0,Δ=4²+4×12=64,x=(-4±8)/2,解得x₁=-6,x₂=2。
(2)设方程的另一个解为m,由根与系数的关系可知:3m=-12,解得m=-4,3+(-4)=-b,解得b=1,所以方程的另一个根为-4,b=1。
(2)设方程的另一个解为m,由根与系数的关系可知:3m=-12,解得m=-4,3+(-4)=-b,解得b=1,所以方程的另一个根为-4,b=1。
解析
【分析】
第(1)问：将b=4代入原方程得到标准一元二次方程，通过计算判别式，利用求根公式求解方程的根；第(2)问：已知方程的一个根，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）先求另一个根，再通过两根之和求出参数b的值。
【解析】
(1)当b=4时，原方程为$x^2 + 4x - 12 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，这里$a=1$，$b=4$，$c=-12$，则：
$\Delta = 4^2 - 4×1×(-12) = 16 + 48 = 64$。
由求根公式$x = \frac{-b ± \sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x = \frac{-4 ± \sqrt{64}}{2×1} = \frac{-4 ± 8}{2}$，
解得$x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$，$x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$。
(2)设方程的另一个解为$m$，对于一元二次方程$x^2 + bx - 12 = 0$，根据根与系数的关系：两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -12$，已知一个根为3，则：
$3m = -12$，解得$m = -4$。
又因为两根之和$x_1 + x_2 = -b$，所以$3 + (-4) = -b$，即$-1 = -b$，解得$b = 1$。
【答案】
(1)$x_1 = -6$，$x_2 = 2$；(2)$b = 1$，方程的另一个解为$-4$
【知识点】
一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程的基本解法和韦达定理的应用，属于基础题型，解题思路清晰，步骤明确，主要检验学生对一元二次方程核心知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
第(1)问：将b=4代入原方程得到标准一元二次方程，通过计算判别式，利用求根公式求解方程的根；第(2)问：已知方程的一个根，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）先求另一个根，再通过两根之和求出参数b的值。
【解析】
(1)当b=4时，原方程为$x^2 + 4x - 12 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，这里$a=1$，$b=4$，$c=-12$，则：
$\Delta = 4^2 - 4×1×(-12) = 16 + 48 = 64$。
由求根公式$x = \frac{-b ± \sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x = \frac{-4 ± \sqrt{64}}{2×1} = \frac{-4 ± 8}{2}$，
解得$x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$，$x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$。
(2)设方程的另一个解为$m$，对于一元二次方程$x^2 + bx - 12 = 0$，根据根与系数的关系：两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -12$，已知一个根为3，则：
$3m = -12$，解得$m = -4$。
又因为两根之和$x_1 + x_2 = -b$，所以$3 + (-4) = -b$，即$-1 = -b$，解得$b = 1$。
【答案】
(1)$x_1 = -6$，$x_2 = 2$；(2)$b = 1$，方程的另一个解为$-4$
【知识点】
一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程的基本解法和韦达定理的应用，属于基础题型，解题思路清晰，步骤明确，主要检验学生对一元二次方程核心知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
19.李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下：
小聪:76,80,79,85,80；
小亮:77,79,81,82,81。
李老师将两人的成绩分析如下:(单位:分)。
(1)填空:$a=\_\_\_\_\_\_;b=\_\_\_\_\_\_;c=\_\_\_\_\_\_$。
(2)李老师已经求得小聪 5 次测试成绩的方差$S^{2}_{小聪}=8.4$,请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差。
(3)根据以上信息,请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择,并说明理由。
小聪:76,80,79,85,80；
小亮:77,79,81,82,81。
李老师将两人的成绩分析如下:(单位:分)。
(1)填空:$a=\_\_\_\_\_\_;b=\_\_\_\_\_\_;c=\_\_\_\_\_\_$。
(2)李老师已经求得小聪 5 次测试成绩的方差$S^{2}_{小聪}=8.4$,请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差。
(3)根据以上信息,请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择,并说明理由。
答案
19.(1)80 81 80 解析:平均值a=(76+80+79+85+80)/5=80,小亮成绩的中间值为81,故b=81,小聪得分中80分出现了2次,故众数c=80。
(2)S²小亮=1/5×[(77-80)²+(79-80)²+2×(81-80)²+(82-80)²]=3.2。
(3)选小亮参加知识竞赛,理由如下:因为两人的平均数相同,S²小亮＜S²小聪,小亮成绩更稳定,所以选小亮参加知识竞赛。(言之有理即可)
(2)S²小亮=1/5×[(77-80)²+(79-80)²+2×(81-80)²+(82-80)²]=3.2。
(3)选小亮参加知识竞赛,理由如下:因为两人的平均数相同,S²小亮＜S²小聪,小亮成绩更稳定,所以选小亮参加知识竞赛。(言之有理即可)
解析
【分析】
本题需依次解决三个问题：第(1)问计算平均成绩、中位数、众数，要牢记各统计量的定义：平均成绩是数据总和除以个数，奇数个数据的中位数是排序后中间位置的数，众数是出现次数最多的数；第(2)问计算方差，需运用方差公式$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$（$\bar{x}$为平均成绩，$n$为数据个数）；第(3)问根据统计量意义，平均成绩相同时，方差越小数据越稳定，据此选择参赛人员。
【解析】
(1) 计算平均成绩$a$：小聪5次成绩总和为$76+80+79+85+80=400$，则$a=\frac{400}{5}=80$；
将小亮的成绩从小到大排序为：77,79,81,81,82，共5个数据，中位数是第3个数据，故$b=81$；
小聪的成绩中80出现2次，次数最多，故众数$c=80$。
(2) 计算小亮的方差：小亮平均成绩为80，代入方差公式：
$S^2_{小亮}=\frac{1}{5}×[(77-80)^2+(79-80)^2+(81-80)^2+(81-80)^2+(82-80)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)=\frac{16}{5}=3.2$。
(3) 选择小亮参加知识竞赛，理由：两人平均成绩均为80分，小聪方差为8.4，小亮方差为3.2，因$S^2_{小亮}＜S^2_{小聪}$，说明小亮成绩更稳定，故选小亮参赛。
【答案】
(1) $80$；$81$；$80$ (2) $3.2$ (3) 选小亮参加知识竞赛，理由：两人平均成绩相同，小亮的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数、中位数、众数、方差
【点评】
本题考查统计中集中趋势和离散程度统计量的计算与应用，需熟练掌握各统计量的定义及计算方法，能利用方差判断数据稳定性，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题需依次解决三个问题：第(1)问计算平均成绩、中位数、众数，要牢记各统计量的定义：平均成绩是数据总和除以个数，奇数个数据的中位数是排序后中间位置的数，众数是出现次数最多的数；第(2)问计算方差，需运用方差公式$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$（$\bar{x}$为平均成绩，$n$为数据个数）；第(3)问根据统计量意义，平均成绩相同时，方差越小数据越稳定，据此选择参赛人员。
【解析】
(1) 计算平均成绩$a$：小聪5次成绩总和为$76+80+79+85+80=400$，则$a=\frac{400}{5}=80$；
将小亮的成绩从小到大排序为：77,79,81,81,82，共5个数据，中位数是第3个数据，故$b=81$；
小聪的成绩中80出现2次，次数最多，故众数$c=80$。
(2) 计算小亮的方差：小亮平均成绩为80，代入方差公式：
$S^2_{小亮}=\frac{1}{5}×[(77-80)^2+(79-80)^2+(81-80)^2+(81-80)^2+(82-80)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)=\frac{16}{5}=3.2$。
(3) 选择小亮参加知识竞赛，理由：两人平均成绩均为80分，小聪方差为8.4，小亮方差为3.2，因$S^2_{小亮}＜S^2_{小聪}$，说明小亮成绩更稳定，故选小亮参赛。
【答案】
(1) $80$；$81$；$80$ (2) $3.2$ (3) 选小亮参加知识竞赛，理由：两人平均成绩相同，小亮的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数、中位数、众数、方差
【点评】
本题考查统计中集中趋势和离散程度统计量的计算与应用，需熟练掌握各统计量的定义及计算方法，能利用方差判断数据稳定性，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
